数学文卷·2018届福建省高三毕业班质量检查测试（2018

数学文卷·2018届福建省高三毕业班质量检查测试（2018

‎2018年福建省高三毕业班质量检查测试 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知向量，，则下列向量中与垂直的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A．-2 B．-1 C．1 D．2 ‎ ‎4.如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.若是第二象限角，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”‎ 如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（ ）‎ A．120 B．84 C．56 D．28‎ ‎8.某校有，，，四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：‎ 甲说：“、同时获奖”；‎ 乙说：“、不可能同时获奖”；‎ 丙说：“获奖”；‎ 丁说：“、至少一件获奖”.‎ 如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ）‎ A．作品与作品 B．作品与作品 C．作品与作品 D．作品与作品 ‎9.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10.已知是定义在上的偶函数，且时，均有，，则满足条件的可以是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11.已知，为双曲线：的左、右焦点，为上异于顶点的点.直线分别与，为直径的圆相切于，两点，则（ ）‎ A． B．3 C．4 D．5‎ ‎12.已知数列的前项和为，，且，则所有满足条件的数列中，的最大值为（ ）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.已知复数满足，则 ．‎ ‎14.若，满足约束条件，则的取值范围为 ．‎ ‎15.已知，分别为椭圆的长轴端点和短轴端点，是的焦点.若为等腰三角形，则的离心率等于 ．‎ ‎16.已知底面边长为，侧棱长为的正四棱锥内接于球.若球在球内且与平面相切，则球的直径的最大值为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.的内角，，的对边分别为，，.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，为边上一点，且，求.‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，，，，.‎ ‎（1）试在线段上找一个异于，的点，使得，并证明你的结论；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求多面体的体积.‎ ‎19.某种常见疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：‎ 初次患病年龄 ‎（单位：岁）‎ 甲地Ⅰ型患者 ‎（单位：人）‎ 甲地Ⅱ型患者 ‎（单位：人）‎ 乙地Ⅰ型患者 ‎（单位：人）‎ 乙地Ⅱ型患者 ‎（单位：人）‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎（1）从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；‎ ‎（2）记“初次患病年龄在的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在的患者”为“高龄患者”.根据表中数据，解决以下问题：‎ ‎（i）将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”‎ 这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由）‎ 表一：‎ 疾 病 类 型 患 者 所 在 地 域 Ⅰ型 Ⅱ型 合计 甲地 乙地 合计 ‎100‎ 表二：‎ 疾 病 类 型 初 次 患 病 年 龄 Ⅰ型 Ⅱ型 合计 低龄 高龄 合计 ‎100‎ ‎（ii）记（i）中与该疾病的类型有关联的可能性更大的变量为.问：是否有的把握认为“该疾病的类型与有关？”‎ 附：，‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20.在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直径的圆与轴相切.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设是上横坐标为2的点，的平行线交于，两点，交在处的切线于点.求证：.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调区间；‎ ‎（2）若，证明：恰有三个零点.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），，为过点的两条直线，交于，两点，交于，两点，且的倾斜角为，.‎ ‎（1）求和的极坐标方程；‎ ‎（2）当时，求点到，，，四点的距离之和的最大值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数，.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求的值；‎ ‎（2）若当时，，求的取值范围.‎ ‎2018年福建省高三毕业班质量检查测试 文科数学答题分析 一、选择题 ‎1-5: CDAAC 6-10: ABDBC 11、12：BB 二、填空题 ‎13. 1 14. 15. 16. 8‎ 三、解答题 ‎17.（1）【考查意图】本小题以三角形边角关系为载体，考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想.‎ ‎【解法综述】只要掌握正弦定理，三角函数公式等基础知识，利用正弦定理把边化为角，再由三角形内角定理，便可求解.‎ 思路：由正弦定理化边为角，再将代入，化简得的值，最后得到答案.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：不会运用正弦定理进行边角的转化，从而无从下手；不懂得利用实现消元，思维受阻；两角和的三角函数公式记忆出错，导致答案错误；由求时出错.‎ ‎【难度属性】易.‎ ‎（2）【考查意图】本题以求三角形的边长问题为载体，考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.‎ ‎【解法综述】只要掌握正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，并且能理清图中各三角形的边角关系，选择适当的三角形列出关系式，便可求解.‎ 思路一：在中由余弦定理求得边长，再利用正弦定理求得.进而在中利用正弦定理求得.‎ 思路二：在中由正弦定理求得，再利用同角三角函数的基本关系求得 ‎，接着通过及求得.进而在中利用正弦定理求得.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：不会分析中的边角关系合理利用正、余弦定理求或，的值；在求或，及在中利用正弦定理求的过程中计算错误.‎ ‎【难度属性】中.‎ ‎18.（1）【考查意图】本小题以直三棱柱为载体，考查直线与平面垂直的性质及判定等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想.‎ ‎【解法综述】只要根据直三棱柱的性质，结合已知条件确定点的位置，再利用直线与平面垂直的性质及判定定理进行证明，便可解决问题.‎ 思路一：先由直三棱柱的性质及得到平面，从而有，所以要使，只需即可，然后以此为条件进行证明即可.‎ 思路二：同思路一得到，要使，只需即可.然后以为条件求得，再证明当时即可.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据已知条件正确找到点；证明过程逻辑混乱.‎ ‎【难度属性】中.‎ ‎（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查多面体的体积、直线与平面垂直的性质等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等.‎ ‎【解法综述】将所求多面体分割成两个三棱锥进行求解.‎ 思路：把多面体分割为三棱锥和三棱锥，分别计算体积并求和.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：不能将所求多面体正确割补成易于计算体积的几何体；体积公式记忆错误或计算错误.‎ ‎【难度属性】中.‎ ‎19.（1）【考查意图】本小题以某疾病Ⅰ型患者的初次患病年龄的分布情况为载体，考查频数分布表、概率的意义等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，考查统计与概率思想.‎ ‎【解法综述】只要读懂频数分布表，结合概率的意义即可求解.‎ 思路：从频数分布表统计出样本中Ⅰ型患者的人数和Ⅰ型患者中初次患病年龄小于40岁的人数，再根据概率的意义，即可估计所求事件的概率.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：计算错误.‎ ‎【难度属性】易.‎ ‎（2）（i）【考查意图】本小题以某疾病的类型与地域、初次患病年龄的相关性问题为载体；考查列联表、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想.‎ ‎【解法综述】只要读懂频数分布表，便可正确填写列联表，再根据表中数据比较两者相应的或的大小，便可直接判断哪个变量与该疾病类型有关联的可能性更大.‎ 思路：从频数分布表分别统计出甲地、乙地Ⅰ型患者的频数，甲地、乙地Ⅱ型患者的频数，Ⅰ型患者中低龄患者、高龄患者的频数，Ⅱ型患者中低龄患者、高龄患者的频数，正确填入对应的列联表即可；再根据表中数据比较两者相应的或的大小，便可直接判断哪个变量与该疾病类型有关联的可能性更大.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：不能从频数分布表中获取相关数据正确填写列联表；不能根据列联表中数据的含义作出正确判断.‎ ‎【难度属性】易.‎ ‎（2）（ii）【考查意图】本小题以某疾病的类型与初次患病年龄的相关性问题为载体，考查独立性检验等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想.‎ ‎【解法综述】只要正确计算的观测值，对照临界值表即可正确判断.‎ 思路：只要正确理解公式中，，，，的含义，并代入公式计算，再将计算结果对照临界值表，即可判断.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理解计算公式中，，，及的含义或者计算出错；虽然正确求出的观测值，但不能正确理解临界值表中数据的含义导致判断错误.‎ ‎【难度属性】中.‎ ‎20.（1）【考查意图】本小题以轨迹问题为载体，考查直线与圆的位置关系、动点轨迹方程的求法、抛物线定义及其标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想.‎ ‎【解法综述】只要将直线与圆的相切关系转化为代数关系，即通过直线法列出动点坐标满足的方程并化简，便可求得轨迹方程；或者由直线与圆的相切关系，结合抛物线定义得出轨迹方程.‎ 思路一：设动点的坐标，由直线与圆的相切关系得到，化简即可.‎ 思路二：设以为直径的圆的圆心为，切点为，作直线：，过作轴于点，延长交于点，根据梯形中位线性质、圆的切线性质等平面几何知识可推出，结合抛物线定义，即可求得轨迹方程.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得将几何关系转化为代数关系，或者转化出错；含根式、绝对值的代数关系整理出错；无法借助平面几何知识将已知条件转化为满足抛物线定义的几何关系.‎ ‎【难度属性】中.‎ ‎（2）【考查意图】本小题以证明几何关系为载体，考查直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想等.‎ ‎【解法综述】只要利用直线与抛物线的位置关系，通过联立方程，并将有关点的坐标与相应方程的解建立对应关系，进而将几何关系转化为代数关系并加以证明.‎ 思路：先根据抛物线方程求出点的坐标，求出抛物线在处的切线方程，并得到直线的斜率，从而设出直线的方程，进而求出点的坐标，再根据两点间的距离公式求出；然后将的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，即可得证.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：不会求抛物线在点处的切线；不会求的斜率，从而不会设出直线的方程；在消元、化简的过程中计算出错.‎ ‎【难度属性】难.‎ ‎21.（1）【考查意图】本小题以含对数函数的初等函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.‎ ‎【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题.‎ 思路：先求得的定义域为，再求得，然后对的符号进行分类讨论.先直接判断当时，即，从而得到的单调区间；再对的情况结合一元二次方程的判别式及一元二次函数的图象，进一步分为和两种情况进行讨论，分别求得的单调区间.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误；分类讨论错误.‎ ‎【难度属性】中.‎ ‎（2）【考查意图】本小题以函数的零点问题为载体，考查利用导数研究函数的极值和零点等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等.‎ ‎【解法综述】只要掌握导数与函数的极值关系、零点存在定理等知识，结合函数的单调性合理选取含零点的区间的端点值，即可解决问题.‎ 思路一：先根据（1）的结论得到时的单调性，结合函数的图象特征，根据可判断的极大值与极小值的符号，并在和分别取点并判断其对应的函数值的符号，如计算，的值，结合零点存在定理即可证明.‎ 思路二：根据，将方程等价变形为，问题转化为研究函数的零点.先求得，再通过构造研究的单调性与极值，结合函数的图象特征，并在和分别取点并判断其对应的函数值的符号，如计算，，等，判断出在和各有一个零点，分别记为，，再判断在，，的单调性，以下解题思路同思路一.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：没有注意到，无法判断极值符号；不会通过特殊值找到函数的零点；重新构造函数求导后无法求得其导函数的零点，不会研究其导函数的性质，因此思路受阻.‎ ‎【难度属性】难.‎ ‎22.（1）【考查意图】本小题以直线和圆为载体，考查直线的极坐标方程、参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.‎ ‎【解法综述】只要能写出极坐标系中简单图形的极坐标方程，能进行极坐标和直角坐标的互化，能进行参数方程和普通方程的互化，便可解决问题.‎ 思路：首先，结合图形易得直线的极坐标为.其次，先将的参数方程化为普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式将的普通方程化为极坐标方程，便可得到正确答案.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：极坐标的概念不清晰，在求的极坐标方程时，忽略的限制导致错误；直角坐标与极坐标的互化错误.‎ ‎【难度属性】易.‎ ‎（2）【考查意图】本小题以两点间的距离为载体，考查极坐标的几何意义、韦达定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.‎ ‎【解法综述】只要明确极坐标中，的几何意义，并能正确进行三角恒等变换，便可以解决问题.‎ 思路：根据极坐标的几何意义，，，，分别是点，，，的极径，从而可利用韦达定理得到：‎ ‎，把问题转化为求三角函数的最值问题，易得所求的最大值为.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：不熟悉极坐标的几何意义，无法将问题转化为，，，四点的极径之和；无法由，及的极坐标方程得到，；在求的最值时，三角恒等变形出错.‎ ‎【难度属性】中.‎ ‎23.（1）【考查意图】本小题以含绝对值不等式为载体，考查含绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等.‎ ‎【解法综述】根据解集特征判断的符号，并结合含绝对值不等式的解法，求得的解集，根据集合相等即可求出的值.‎ 思路：先将转化为，再根据不等式的解集为得出，从而得到的解集为，进而由得.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：无法判断的符号导致无从入手；不等式的解集求错；不会根据集合相等求出的值.‎ ‎【难度属性】易.‎ ‎（2）【考查意图】本小题以不等式恒成立问题为载体，考查含绝对值不等式、绝对值三角不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等.‎ ‎【解法综述】通过分离参数将含参数的绝对值不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，或将不等式转化为两个函数图象的位置关系，均能求出的取值范围.‎ 思路一：当时，易得对任意实数成立；当时，将转化为，再通过分段讨论确定函数的最小值，从而得到的取值范围.‎ 思路二：当时，易得对任意实数成立；当时，将转化为，再利用绝对值三角不等式得到的最小值，从而得到的取值范围.‎ 思路三：当时，，，得到成立；当 时，不等式等价于函数的图象恒不在函数的图象的下方，从而根据这两个函数图象的位置关系便可得到的取值范围.‎ ‎【错因分析】考生可能存在的错误有：不能通过合理分类简化问题；不会通过分离参数转化问题；无法分段讨论去绝对值或利用绝对值三角不等式确定函数的最小值；不能将不等式转化为两个函数图象的位置关系进行求解.‎ ‎【难度属性】中.‎