新课标版高考数学复习题库考点17 推理与证明

新课标版高考数学复习题库考点17 推理与证明

‎ ‎ 考点17 推理与证明 ‎ ‎1.（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ）‎ ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题，解决问题的能力.‎ ‎【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论.‎ ‎【规范解答】选D．通过观察所给的结论可知，若是偶函数，则其导函数是奇函数，故选D．‎ ‎2.（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式：,……根据上述规律，第五个等式为 ____________.‎ ‎【命题立意】本题考查归纳推理，属送分题．‎ ‎【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键．‎ ‎【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：‎ 即左边底数的和等于右边的底数，故第五个等式为：‎ ‎【答案】 ‎ ‎3.（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：‎ 可以推测，m – n + p = .‎ ‎【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．‎ ‎【思路点拨】根据归纳推理可得． ‎ ‎【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，，，又，，． ‎ ‎【答案】962‎ ‎4.（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设，‎ 将的最小值记为，则 其中=__________________ .‎ ‎【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键．‎ ‎【思路点拨】观察的奇数项与偶数项的特点．‎ ‎【规范解答】观察表达式的特点可以看出，……当为偶数时，；，，……当为奇数时，．‎ ‎【答案】‎ ‎5.（2010·北京高考文科·Ｔ20）‎ 已知集合，对于，定义A与B的差为，‎ A与B之间的距离为.‎ ‎（1）当n=5时，设，求，.‎ ‎（2）证明：，且.‎ ‎（3） 证明：三个数中至少有一个是偶数.‎ ‎【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力.本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求.要求教师真正重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”“创新能力”的培养．‎ ‎【思路点拨】（1）（2）直接按定义求解证明即可.(3) “至少”问题可采用反证法证明．‎ ‎【规范解答】（1）＝（1,0,1,0,1），‎ ‎＝3.‎ ‎(2)设，‎ 所以中1的个数为k,中1的个数为，‎ 设是使成立的的个数，则，‎ 由此可知，三个数不可能都是奇数，‎ 即三个数中至少有一个是偶数． ‎ ‎6.（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合，‎ 对于，定义A与B的差为 A与B之间的距离为.‎ ‎（1）证明：，且.‎ ‎（2）证明：三个数中至少有一个是偶数.‎ ‎(3) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).‎ ‎ 证明：（P）≤.‎ ‎【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识．本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求．要求教师真正重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”“创新能力”的培养．‎ ‎【思路点拨】（1）直接按定义证明即可．（2）“至少”问题可采用反证法证明．(3)把表示出来，再利用基本不等式证明．‎ ‎【规范解答】（1）设，，，‎ ‎ 因为，，所以 ，‎ ‎ 从而，‎ ‎ 又,‎ 由题意知，，.‎ 当时，;‎ ‎ 当时，,‎ 所以.‎ ‎(2)设，，,‎ ‎ ，，.‎ ‎ 记，由（1）可知,‎ ‎ ， ,‎ ‎ ,‎ ‎ 所以中1的个数为，中1的个数为．‎ ‎ 设是使成立的的个数，则,‎ ‎ 由此可知，三个数不可能都是奇数，‎ ‎ 即,,三个数中至少有一个是偶数．‎ ‎（3）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，‎ 设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0,‎ 则＝,‎ 由于,‎ 所以,‎ 从而.‎ ‎【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”时，一般采用反证法．‎ ‎（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式．‎ ‎7.（2010·江苏高考·Ｔ23）已知△ABC的三边长都是有理数，‎ （1） 求证：cosA是有理数.‎ ‎（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数.‎ ‎【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA，由三边是有理数，求得结论.‎ ‎（2）可利用数学归纳法证明.‎ ‎【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为，，∵是有理数，‎ 是有理数，分母为有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，‎ ‎∴必为有理数，∴cosA是有理数.‎ ‎（2）①当时，显然cosA是有理数；‎ 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数.‎ ‎②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数，‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，‎ ‎∴是有理数，‎ 即当时，结论成立.‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数.‎ 方法二：（1）由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知，‎ 是有理数.‎ ‎（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数，‎ ‎①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数.‎ ‎②假设当时，和都是有理数.‎ 当时，由，‎ ‎，‎ 由①和归纳假设，知和都是有理数，‎ 即当时，结论成立.‎ 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数. ‎