数学卷·2019届山西省平遥中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学卷·2019届山西省平遥中学高二上学期期中考试（2017-11）

‎2017-2018学年度第一学期高二期中考试 数 学 试 题 本试卷满分150分 考试时间120分 ‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1. 直线的倾斜角为 （　 　）‎ A．60° B．90° C．120° D．不存在 ‎2．棱台不一定具有的性质是 (　 )‎ A.两底面相似 B.侧面都是梯形 ‎ ‎ C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点 ‎3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4．已知 若直线m，n满足 则 （ ）‎ A．∥ B．∥ C．⊥ D． ⊥‎ ‎5．平行线和的距离是 （ 　　）‎ ‎ A． B.2 C． D． ‎ ‎6． 已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为 的正三角形．若P为底面 的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 ( 　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在坐标平面内，与点A(1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有 （ ）‎ ‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎8．在长方体中，，，，由在表面到达 的最短行程为 （ ）‎ A．12 B． 　　C． D． ‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （　 　）‎ A．4 B． ‎ C． D．12‎ ‎10．若直线 平分圆, 则的最小值是 （　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．过三点 的圆交y轴于M,N两点，则( )‎ A．4 B．8 C．2 D．10‎ ‎12．在四面体ABCD中，已知，AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为 ( )‎ A． B． 3 C． D． ‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13. 直线, 将单位圆 分成长度相等的四段弧，则 ________. ‎ ‎14. 圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ‎ ‎15. 四面体ABCD中，所有棱长都相等，O是A在平面BCD内的射影，E是BC的中点，则异面直线OE与BD所成的角为 ‎ ‎16. 已知直线：与圆交于两点，过 分别做的垂线与轴交于两点，若，则____________. ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分， ）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ ‎（1）直线过点P(－1，2)，且点，B(2,5)到直线的距离相等，求直线的方程；‎ ‎（2）已知圆心为C的圆过点A（﹣2，2），B（﹣5，5），且圆心在直线 ‎ ： 上，求圆心为C的圆的标准方程；‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 棱长为1的正方体 中，M、N分别是,的中点．‎ ‎（1）求证：直线MN∥平面ABCD．‎ ‎（2）求到平面的距离．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知圆，直线过点。‎ ‎（1）若直线 与圆C相切，求直线的方程；‎ ‎ (2）若直线与圆C交于两点，求使得面积最大的直线方程。‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，∠BCA=90°， ‎ ‎ PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，‎ 点F在PA上，且AF=2FP.‎ 求证：（1）CM∥平面BEF.‎ ‎（2）求三棱锥M-BEF的体积 ‎21．（本小题满分12分）‎ 在直三棱柱中，BC=CC1，‎ AB⊥BC．点M，N分别是CC1，B1C的中点，‎ G是棱AB上的动点．‎ ‎（1）求证：B1C⊥平面BNG；‎ ‎（2）若CG∥平面AB1M，试确定G点的位置，‎ 并给出证明．‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知过点A（-1，0）的动直线与圆C：相交于P、Q两点，M是PQ的中点，与直线m：相交于N。‎ ‎（1）当与m垂直时，求证：直线必过圆心C ‎（2）当 时，求直线的方程； （3）是否与直线 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；‎ ‎ 若有关，请说明理由。‎ ‎2017-2018学年度第一学期高二期中考试 数 学 参 考 答 案 一、选择题： ACAD BCBD BCAD ‎ 二、填空题 13、 2 14、 15、 16、 4 ‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎18、（Ⅰ）证明：连结B‎1C、AC，则N也是B‎1C的中点∴MN是△B‎1AC的中位线，即有MN∥AC ∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD ∴MN∥平面ABCD ‎（Ⅱ）解：△A1BC1是边长为的等边三角形，‎ ‎∴‎ 设B1到平面A1BC1的距离为h，由得，∴‎ ‎19、‎ ‎20、（1）证明：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM， ∵E为PC中点，FA=2FP，∴EF∥CG． ∵CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CG∥平面BEF． 同理可证：GM∥平面BEF． 又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF． ∵CM⊂平面CDG，∴CM∥平面BEF ‎（2）‎ ‎∵PB⊥平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC，M为AB的中点，‎ ‎∴CM⊥AB,CM⊥平面PAB ∴ ‎ ‎ ‎ ‎21、‎ 解：（1）：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1=BB1， 点N是B1C的中点，‎ ‎∴BN⊥B1C ‎∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BB1∩BC=B ∴AB⊥平面B1BCC1‎ ‎∵B1C⊂平面B1BCC1 ∴B1C⊥AB，即B1C⊥GB 又∵BN∩BG=B，BN、BG⊂平面BNG ∴B1C⊥平面BNG ‎（2）当G是棱AB的中点时，CG∥平面AB1M．‎ 证明如下：‎ 连接AB1，取AB1的中点H，连接HG、HM、GC，‎ 则HG为△AB1B的中位线 ∴GH∥BB1，GH=BB1‎ ‎∵由已知条件，B1BCC1为正方形 ∴CC1∥BB1，CC1=BB1‎ ‎∵M为CC1的中点，∴ ∴MC∥GH，且MC=GH ∴四边形HGCM为平行四边形 ‎∴GC∥HM 又∵GC⊈平面AB1M，HM⊂平面AB1M，‎ ‎∴CG∥平面AB1M ‎22、(1)证明：∵l与m垂直，且km＝－， ∴kl＝3.又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C. (2)解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴直线l：4x－3y＋4＝0.从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0. (3)解：∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·. ①当l与x轴垂直时，易得N，则＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②‎ 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由 得N，则＝. ∴·＝·＝＝－5. 综上，·与直线l的斜率无关，且·＝－5. 另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.‎