数学理卷·2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考（2017

数学理卷·2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考（2017

江西省八所重点中学2017届高三联考 ‎2017.4‎ 数学（理科）试卷 考试用时：120分 全卷满分：150分 ‎ 注意事项：‎ ‎1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎5.考试结束后，请将答题卡上交；‎ 第Ι卷（选择题部分，共60分）‎ 一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知为虚数单位，，复数，若为负实数，则的取值集合为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知集合，集合，则集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4 .已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，与交于两点，且，为抛物线准线上一点，则 的面积为（ ）‎ A. 16 B. 18 C. 24 D. 32‎ ‎5.给出下列四个命题：‎ ‎①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；‎ ‎②“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是 ‎③若命题，则；‎ ‎④命题“，使得”的否定是：“均有”.‎ 其中不正确的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 若执行如右图所示的程序框图，输出的值为4，则判断框中应填入的条件是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 已知，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 若一个四位数的各位数字相加和为，则称该数为“完美四位数”，如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有（ ）个 A． B． C． D． ‎ ‎11. 已知双曲线与双曲线的离心率相同，且双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上的某一点，且，，则双曲线的实轴长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知定义在上的函数与其导函数满足，‎ 若，则点所在区域的面积为（ ）‎ A. 12 B. 6 C. 18 D. 9‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分 ‎13.已知，若，则 .‎ ‎14. 若正实数满足，则的最小值为 .‎ ‎15. 已知等差数列的前项和为，并且，数列满足，记集合，若的子集个数为16，则实数的取值范围为 .‎ ‎16. 已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：‎ ‎① ； ②； ③‎ ‎④函数在上是增函数，在上是减函数.‎ 其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）‎ 三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）已知分别为锐角三个内角的对边，且 ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：‎ 时间（分钟）‎ 次数 ‎8‎ ‎14‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎2‎ 以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.‎ ‎（Ⅰ）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.‎ ‎（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，多面体中，四边形是菱形，,，相交于，∥，点在平面ABCD上的射影恰好是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎20. （本小题满分12分）如图所示，在中，的中点为,且，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆与边，边的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴，为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线交曲线于两点，且以为直径的圆经过点，求面积的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数 ，．‎ ‎（Ⅰ）当 时， 恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当 时，研究函数的零点个数；‎ ‎（Ⅲ）求证： (参考数据：)．‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为，直线的参数方程为，定点. ‎ ‎（Ⅰ）以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与圆相交于两点，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集包含 ，求实数的取值范围.‎ 江西省高三2017届八校联考数学（理）试卷答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B A C B C A D D D A 二、填空题：本题共4题，每小题5分 ‎13.； 14. ； 15. ； 16. ①④；‎ 三、解答题 ‎17. 解：（Ⅰ）因为，‎ 由正弦定理有 即有 …………3分 由余弦定理得，又A为锐角，∴ A= …………6分 ‎（Ⅱ）由题，‎ ‎ ………8分 又在锐角中，有， …………10分 所以，所以， ‎ ‎∴的取值范围是. . ……………12分 ‎18. 解：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率 ‎ 依题意的值可能为0，1，2，3，4…………………2分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎………… ………6分 ‎ 或………… ………8分 ‎（Ⅱ）每次用车路上平均花的时间（分钟）‎ ‎… …………………………10 分 每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元.‎ 一个月的平均用车费用约为542元. ……………………………12分 ‎19.解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD ‎∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD ┄┄┄┄┄2分 又菱形ABCD中，AC⊥BD 且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内 ‎∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF ┄┄┄┄┄5分 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz ┄┄┄┄┄┄┄6分 ‎∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，‎ 即∠EAH＝45°，又菱形ABCD的边长为4，则 ‎ 各点坐标分别为,E(0,0,) ┄┄………7分 易知为平面ABCD的一个法向量，记=，= ,= ‎ ‎∵EF//AC， ∴ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 设平面DEF的一个法向量为 （注意：此处可以用替代）‎ 即 ＝ ,‎ 令，则，∴ ┄┄┄┄…………9分 ‎∴‎ 平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为. ┄┄┄┄┄┄┄12分 ‎20. 解：（Ⅰ）依题意得，设动圆与边的延长线相切于，与边相切于， 则 所以 ‎ …………………2分 所以点轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点.则曲线的方程 为. …………………4分 ‎（Ⅱ）【法一】‎ 由于曲线要挖去长轴两个顶点，所以直线斜率存在且不为，所以可设直线 …………………5分 由得,，同理可得：,；‎ 所以，‎ 又，所以 …………………8分 令，则且，所以 ‎ …………………10分 又，所以，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以面积的取值范围为. …………………12分 ‎【法二】‎ 依题意得直线斜率不为0，且直线不过椭圆的顶点，则可设直线：，且。‎ 设，又以为直径的圆经过点，则，所以 …………………5分 由得，则 且，所以 又 ‎ 代入①得：，所以， ‎ 代入②得：恒成立所以且. ‎ 又；‎ 点到直线的距离为， …………………7分 所以 ……9分 ‎（Ⅰ）当时，；‎ ‎（Ⅱ）当且时，，‎ 又，当且仅当时取“”，所以，所以，所以，所以，所以； ……11分 综合（1），（2）知. …………………12分 ‎21. 解： (Ⅰ)令则 ‎①若，则，，在递增，，即在 恒成立，满足，所以； …………………2分 ‎②若，在递增，且 且时，，则使进而在递减，在递增，‎ 所以当时，即当时， ，不满足题意，舍去；‎ 综合①，②知的取值范围为. …………………4分 ‎ (Ⅱ)依题意得，则，‎ 则在上恒成立，故在递增，‎ 所以，且时，；‎ ‎①若，即，则，故在递减，所以，‎ 在无零点； …………………6分 ‎②若，即，则使，进而在递减，在递增，且时，，在上有一个零点，在无零点，故在有一个零点.‎ 综合①②，当时无零点；当时有一个公共点. …………………8分 ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时，对恒成立， ‎ 令，则 即； …………………10分 由(Ⅱ)知，当时，对恒成立， ‎ 令，则，所以；‎ 故有. …………………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）依题意得圆的一般方程为，将代入上式得，所以圆的极坐标方程为；…………………4分 ‎（Ⅱ）依题意得点在直线上，所以直线的参数方程又可以表示为，‎ 代入圆的一般方程为得，‎ 设点分别对应的参数为，则，‎ 所以异号，不妨设，所以，‎ 所以. …………………10分 ‎23. 解：（Ⅰ）因为，当且仅当时取等号，‎ 故，即． …………………5分 ‎ ‎（Ⅱ） 则< 0. >0.‎ 由已知得1->在上恒成立 ‎<<在上恒成立 ‎-4<<3. ‎ 实数的取值范围是（-4，3）…………………10分