安徽省六安市六安二中霍邱一中金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文）试题

安徽省六安市六安二中霍邱一中金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文）试题

‎2018~2019学年度高二年级第二学期期末联考试卷 数学（文科）2019．7‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（ ）‎ A. 7 B. 6 C. 5 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 求得圆心角的弧度数，用求得扇形半径.‎ ‎【详解】依题意为，所以．故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.‎ ‎2.已知角的终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的终边上一点的坐标，求得的值，对所求表达式分子分母同时除以，转化为只含的形式，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】依题意可知，．故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题.‎ ‎3.在曲线的图象上取一点及附近一点，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的值，再除以，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】因为，所以．故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.‎ ‎4.如图所示正方形，、分别是、的中点，则向正方形内随机掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率.‎ ‎【详解】根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.‎ ‎5.函数的递增区间为（ ）‎ A. ， B. ‎ C. ， D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：直接对函数求导，令导函数大于0，即可求得增区间.‎ 详解：，， 增区间.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，需要注意的是函数的单调区间一定是函数的定义域的子集，因此求函数的单调区间一般下，先求定义域；或者直接求导，在定义域内求单调区间.‎ ‎6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】=cos2x,=,所以只需将函数图象向右平移个单位可得到 故选B ‎7.某产品的销售收入（万元）关于产量（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量（千台）的函数为，为使利润最大，应生产产品( )‎ A. 9千台 B. 8千台 C. 7千台 D. 6千台 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。‎ ‎【详解】设利润为万元，则，，‎ 令，得，令，得，‎ ‎∴当时，取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题。‎ ‎8.已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式.‎ ‎【详解】由题图可知，且即，所以，‎ 将点的坐标代入函数，‎ 得，即，‎ 因为，所以，‎ 所以函数的表达式为．故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.‎ ‎9.已知，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数判断出在上递增，而，由此将不等式转化为，然后利用单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】由，故函数在上单调递增，‎ 又由，‎ 故不等式可化为，，得，‎ 解得．故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题.‎ ‎10.若函数存在增区间，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设函数不存在增区间，则单调递减，利用的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数的取值范围.‎ ‎【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，‎ 此时在区间恒成立，‎ 可得，则，可得，‎ 故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎11.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为，，则满足的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，得到或.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算出所求的概率.‎ ‎【详解】由，有，得或，‎ 则满足条件的为，，，，，，，，，所求概率为 ．故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数运算，考查列举法求得古典概型概率有关问题，属于基础题.‎ ‎12.若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令分离常数，构造函数，利用导数研究的单调性和极值，结合与有三个交点，求得的取值范围.‎ ‎【详解】方程可化为，令，有，‎ 令可知函数的增区间为，减区间为、，‎ 则，，‎ 当时，，则若函数有3个零点，实数的取值范围为．故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题．‎ ‎13.某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所示：‎ 学校 高中 高中 高中 高中 参考人数 ‎800‎ ‎1200‎ ‎1000‎ ‎600‎ 现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在高中中抽取的学生人数为_______．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出高中人数占总人数的比例，乘以得到在高中抽取的学生人数.‎ ‎【详解】应在高中抽取的学生人数为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查频率的计算，属于基础题.‎ ‎14.已知函数，则__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 分析：对函数求导，将x=1代入导函数即可求得结果.‎ 详解：函数，= ‎ 解得-2.‎ 故答案为：-2.‎ 点睛:这个题目考查了导数的几何意义，导数几何意义指的是在曲线上任意一点处的切线的斜率.‎ ‎15.f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】函数f(x)的周期T＝，‎ 因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，‎ ‎∵0<ω<1，∴是的子集，‎ ‎∴f(x)在上是增函数，‎ ‎∴＝，即2sin＝，‎ ‎∴ω＝，‎ ‎∴ω＝，故答案为.‎ ‎16.设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式解集为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，结合题意求得，由此判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.‎ ‎【详解】令，，‎ 故函数在上单调递增，不等式可化为，‎ 则，解得：．‎ ‎【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．‎ ‎17.已知是第三象限角，且．‎ ‎（1）求，值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用诱导公式化简已知条件求得的值，进而求得的值，再根据二倍角公式求得的值.（2）利用结合两角和的正弦公式，以及（1）的结果，求得的值.‎ ‎【详解】解：（1）由，有，‎ 又由是第三象限角，有，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎（2）由，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，属于中档题.‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求过点且与曲线相切的直线方程．‎ ‎【答案】(1) ； (2) 或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（１） 根据题意，先对函数进行求导，再求函数在点处的导数即切线斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可。‎ ‎（２） 设切点坐标为，将代入得出，利用点斜式表达出直线方程，再将点代入直线方程，即可求解出，从而推得直线方程的解析式。‎ ‎【详解】解：（1）由，，‎ 则曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（2）设切点的坐标为，‎ 则所求切线方程为 ‎ 代入点的坐标得，‎ 解得或 ‎ 当时，所求直线方程为 由（1）知过点且与曲线相切的直线方程为或．‎ 故答案为或。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程。若已知曲线过点，求曲线过点的切线方程，则需分点是切点和不是切点两种情况求解。‎ ‎19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各随机抽取了100件产品作为样本来检测一项质量指标值，若产品的该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图是乙套设备的样本的频率分布直方图．‎ 表甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 频数 ‎2‎ ‎10‎ ‎36‎ ‎38‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎（1）将频率视为概率．若乙套设备生产了10000件产品，则其中的合格品约有多少件？‎ ‎（2）填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 附表及公式：，其中；‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）8600件；（2）列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出不合格品率，和不合格品件数，由此求得合格品件数.（2）根据题目所给表格和图像数据，填写好联表，计算出的值，由此判断出“不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．”‎ ‎【详解】解：（1）由题图1知，乙套设备生产的不合格品的概率约为，‎ ‎∴乙套设备生产的10000件产品中不合格品约为（件），‎ 故合格品的件数为（件）．‎ ‎（2）由题中的表1和图1得到2×2列联表如下：‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 ‎96‎ ‎86‎ ‎182‎ 不合格品 ‎4‎ ‎14‎ ‎18‎ 合计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算得的观测值，‎ 因为6.105<6.635，‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．‎ ‎【点睛】本小题主要考查用频率估计总体，考查联表独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.某酱油厂对新品种酱油进行了定价，在各超市得到售价与销售量的数据如下表：‎ 单价（元）‎ ‎5‎ ‎5.2‎ ‎5.4‎ ‎5.6‎ ‎5.8‎ ‎6‎ 销量（瓶）‎ ‎9.0‎ ‎8.4‎ ‎8.3‎ ‎8.0‎ ‎7.5‎ ‎6.8‎ ‎（1）求售价与销售量的回归直线方程；（ ，）‎ ‎（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/瓶，为使工厂获得最大利润（利润=销售收入成本），该产品的单价应定为多少元？‎ 相关公式：，．‎ ‎【答案】（1）．（2）6.75元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质，求得为使工厂获得最大利润（利润=销售收入成本），该产品的单价.‎ ‎【详解】解：（1）因为，，‎ 所以，，‎ 从而回归直线方程为． ‎ ‎（2）设工厂获得的利润为元，‎ 依题意得 当时，取得最大值 故当单价定为6.75元时，工厂可获得最大利润．‎ ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查实际应用问题，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.函数 ‎（1）若函数在内有两个极值点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） 或．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导、然后因式分解，根据函数在在内有两个极值点列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）先对函数求导并因式分解.对分成三种情况，利用的单调性，结合不等式在上恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知，．‎ 有得： 或． ‎ ‎（2）．‎ ‎①当时，，符合题意． ‎ ‎②当时，令，得或，‎ 此时函数的增区间为，减区间为．‎ 此时只需：‎ 解得：或，故． ‎ ‎③当时，令，得或，‎ 此时函数的增区间为，，减区间为，‎ 此时只需：解得：，故，‎ 由上知实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导并因式分解，对分成四种情况，讨论函数的单调性.（2）先将函数解析式转化为，当时，，符合题意.当时，由分离常数得到，构造函数，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）， ‎ ‎①当时，，令得，‎ 可得函数的增区间为，减区间为．‎ ‎②当时，由，当时，；‎ 当时，，故，‎ 此时函数在上单调递增，增区间为，没有减区间． ‎ ‎③当时，令得或，‎ 此时函数的增区间为，，减区间为．‎ ‎④当时，令得：或，‎ 此时函数的增区间为，，减区间为．‎ ‎（2）由 ‎ ‎①当时，，符合题意；‎ ‎②当时，若，有，得 令，有，‎ 故函数为增函数，，故，‎ 由上知实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.‎ ‎ ‎