黑龙江省哈尔滨市第九中学2020接高三第二次模拟考试理科数学试题

黑龙江省哈尔滨市第九中学2020接高三第二次模拟考试理科数学试题

‎ ‎ 哈尔滨市第九中学2020 届高三第二次模拟考试数学(理)试题 一、选择题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足，则复数的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．“”是“，”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C．D．‎ ‎5．刘徽（约公元225年-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到°的近似值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知的展开式中所有项的系数和为，则展开式中含项的系数为（ ）‎ A．80 B． C．40 D．‎ ‎8．已知双曲线，过右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线交于两点，且三点共线，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎9．正方体中，在平面上，为的中点，连接且在线段好．已知，，则的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．若抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦的中点在准线上的射影为，则的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎11．在数列中，，，，，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）‎ A．数列为等差数列 B． C． D．‎ ‎12．已知函数，且对于任意的，当时都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，，若，则______．‎ ‎ ‎ ‎14．记表示正整数除以正整数后所得的余数为，例如表示8除以6后所得的余数为2．执行右图的程序框图，若输入的值为5，则输出的值为______．‎ ‎15．如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形，现分别从图（2）和图（3）中各随机选取一个点，则此两点均取自阴影部分的概率为______．‎ ‎（1） （2） （3） （4）‎ ‎16．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为2 ,则其体积为______；若其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．‎ 三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）‎ ‎（一）必考题：（共60分）‎ ‎ ‎ ‎17．已知多面体中，，，，是的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎18．（12分）在中，角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求角的大小；（2）若，求的值．‎ ‎19．已知椭圆的离心率为，、分别为左右焦点，直线与椭圆交于、两点，和的重心分别为、，当时，的面积为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）当时，证明：原点在以为直径的圆的外部．‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）近期，湖北省武汉市等多个地区发生新型冠状病毒感染的肺炎疫情．为了尽快遏制住疫情，我国科研工作者坚守在科研一线，加班加点、争分夺秒与病毒抗争，夜以继日地进行研究．新型冠状病毒的潜伏期检测是疫情控制的关键环节之一．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．钟南山院士带领的研究团队统计了武汉市某地区10000 名医学观察者的相关信息，并通过咽拭子核酸检测得到1000名确诊患者的信息如下表格：‎ 潜伏期（单位：天）‎ 人数 ‎800‎ ‎190‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎（1）求这1000名确诊患者的潜伏期样本数据的平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代表）.‎ ‎（2）新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素影响，为了研究潜伏期与患者性别的关系，以潜伏期是否超过7 天 为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100名，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据 列联表判断是否有90% 的把握认为潜伏期与患者性别有关．‎ 潜伏期天 潜伏期天 总计 男性患者 ‎12‎ 女性患者 ‎50‎ 总计 ‎100‎ ‎（3）由于采样不当、标本保存不当、采用不同类型的标本以及使用不同厂家试剂都可能造成核酸检测结果“假阴性”而出现漏诊.当核酸检测呈阴性时，需要进一步进行血清学抗体检测，以弥补核酸检测漏诊的缺点.现对10名核酸检测结果呈阴性的人员逐一地进行血清检测,记每个人检测出 (是近期感染的标志)呈阳性的概率为且相互独立，设至少检测了9个人才检测出呈阳性的概率为，求取得最大值时相应的概率．‎ 附：，其中．‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎21．已知函数，．（1）当时，直线与函数的图象相切，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题：（共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）‎ ‎（1）写出直线的普通方程和圆的极坐标方程；（2）已知点，直线与圆交于两点，求的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知为正数，且满足，证明：（1）；（2）．‎ ‎ ‎ 哈尔滨市第九中学2020届高三第二次模拟考试答案 一．选择题：‎ ‎1-6．CDAAD 7-12．DBBBDC 二．填空题：‎ ‎13． 14． 17 15． 16．‎ 三．解答题 ：‎ ‎17．（1）证明：取的中点，则 ‎∵，，∴，∴四点共面，‎ ‎∵，且，∴，‎ 又∵，∴面，∴．‎ ‎（2）设，以的中点哦坐标原点，分别为建系。‎ 则，，，，所以，，，‎ 设平面的一个法向量为，则 令，则，‎ ‎∴．‎ 则直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎18．（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又因为，所以 ‎ ‎ 又因为，所以 ‎（2）由，所以 所以，所以 ‎，所以 所以 ‎19．（1），所以 代入得：，所以，‎ 所以 所以椭圆方程为：‎ ‎（2）设，，则，‎ 直线：与椭圆所以椭圆联立得：，‎ 所以，，‎ 所以，所以原点的圆外。‎ ‎20．（1）天 ‎（2）‎ 潜伏期＜7天 潜伏期≥7天 总计 男性患者 ‎38‎ ‎12‎ ‎50‎ 女性患者 ‎42‎ ‎8‎ ‎50‎ ‎ ‎ 总计 ‎80‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎∵的观测值 ‎∴不能有90%的把握认为潜伏期与患者年龄有关。‎ ‎（3）由，化简得 令，，则．‎ 则 令，，则 ‎∵，令解得；令，解得；‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴有唯一的极大值为，也是最大值。‎ ‎∴当时，即时，取得最大值．‎ ‎21．（1）时，，所以 设切点为，所以 所以切线方程为：，将点代入得：‎ 所以 ‎（2）在上恒成立 即：在上恒成立 设，，即恒成立 由，‎ ‎①若，当时，，，，∴‎ ‎ ‎ 所以在递增。‎ 综上，在递增。所以恒成立 ‎②若，则 令，所以 所以，使，且当时，‎ 所以在递减，所以时，，‎ 所以不成立。‎ 综上，‎ ‎22．（1）∵直线的普通方程为：，‎ 圆的普通方程为：‎ 圆的极坐标方程为：．‎ ‎（2）把直线的参数方程（为参数）带入到圆的普通方程：‎ 中化简可得：，设对应的参数分别为，‎ 则，，‎ ‎∵异号，∴‎ ‎23．（1）∵为正数，且，‎ ‎∴‎ 当且仅当取等．‎ ‎（2）∵ ∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎．当且仅当取等．‎