数学理卷·2018届福建省福州市第八中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届福建省福州市第八中学高二下学期期中考试（2017-04）

福州八中2016—2017学年第二学期期中考试 高二数学（理）‎ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 ‎ 2017.4.27‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）‎ ‎ 1．复数（i为虚数单位）的共轭复数是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 下列推理过程属于演绎推理的为 A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验 B．由，，，…得出 ‎ C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点 ‎ D．通项公式形如的数列为等比数列，则数列为等比数列 ‎ 3. 在“近似替代”中，函数在区间上的近似值 ‎ ‎ A.只能是左端点的函数值 ‎ B.只能是右端点的函数值 ‎ C.可以是该区间内的任一函数值）‎ ‎ D.以上答案均正确 ‎ 4.设是可导函数，且，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 5.某个自然数有关的命题，如果当时，该命题不成立，那么可推得时，该命题不成立．现已知当时，该命题成立，那么，可推得 ‎ A．时，该命题成立 B．时，该命题成立 ‎ C．时，该命题不成立 D．时，该命题不成立 ‎ 6.若 ，，，则、的大小关系是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.由的取值确定 ‎ 7. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 8．设，则，‎ ‎ A．都不大于2 B．都不小于2 ‎ ‎ C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎ 9．下面给出了四个类比推理．‎ ‎ ①为实数，若则；类比推出：、为复数，若，则．‎ ‎ ②若数列是等差数列，，则数列也是等差数列；类比推出：若数列是各项都为正数的等比数列，，则数列也是等比数列．‎ ‎ ③若,则；类比推出：若、、为三个向量．则.‎ ‎ ④若圆的半径为，则圆的面积为；类比推出：若椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则椭圆的面积为．‎ ‎ 上述四个推理中，结论正确的是 ‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎ 10.记为函数的阶导函数，即 ‎．若，且集合，则集合中元素的个数为 ‎ A．1006 B．1007 C．503 D．504‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎ 11. 若纯虚数满足，则实数等于　　．‎ ‎ 12．计算定积分=　　． ‎ ‎ 13. 用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，由时，第一步应验证的不等式是　　．‎ ‎ 14. 二维空间中，圆的—维测度（周长）；二维测度（面积）；一维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度，则其四维测度 ．‎ 三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎15．（本小题满分14分）复数，（其中 为虚数单位，），‎ ‎（1），求复数的模； （2）当实数为何值时复数为纯虚数；‎ ‎（3）当实数为何值时复数在复平面内对应的点在第二象限？ ‎ ‎16．（本小题满分12分）设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的阴影部分面积分别记为、． ‎ ‎（Ⅰ）当=时，求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）当+有最小值时，求点的坐标和最小值．‎ ‎ 17．（本小题满分14分）已知函数，，其中是自然对数的底数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ‎ 第Ⅱ卷 ‎ 四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）‎ ‎ 18.若，则是的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．即不充分又不必要条件 ‎ 19. 某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（　　）‎ ‎ A．35种 B．24种 C．18种 D．9种 ‎ 20. 在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导函数的图象，则等于 x y O x y O x y Ziyuanku.comO x y O ‎ A. B． C. D． 或 ‎ ‎ 21. 已知定义在R上的可导函数满足：，则与（e是自然对数的底数）的大小关系 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.不确定 ‎ 五、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）‎ ‎ 22. 展开式中项的系数是_____________.‎ ‎ 23. 观察下列等式：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …‎ ‎ 则当且时，=_____.（最后结果用表示）‎ ‎ 六、解答题（本大题共有2个小题，共24分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎ 24. （本小题满分12分）某学校记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：‎ 组别 理科 文科 性别 男生 女生 男生 女生 人数 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ 学校准备从中选4人到社区举行的大型公益活动中进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生，给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有.‎ ‎ （Ⅰ）求理科组恰好记4分的概率；‎ ‎ （Ⅱ）设文科组男生被选出的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎ 25.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）当时，试求函数图像过点的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）若函数有两个极值点、，且不等式恒成立，试求实数 的取值范围.‎ 福州八中2015—2016学年第二学期期中考试 高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）‎ ‎1-10 BDCCB ACCDD 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎11. 1 12． 13. 14.‎ 三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎15．解：由已知整理得： ……………2分 ‎（1）当 ， ………………6分 ‎ ‎（2）当，，，复数为纯虚数 ……………10分 ‎（3）当，， 复数在复平面内对应的点在第二象限 ………………14分 ‎16．解：（Ⅰ）设点的横坐标为，则点的坐标为，‎ 直线的方程为 ‎ ‎，，‎ 因为=，，所以，点的坐标为. ……6分 ‎（Ⅱ）=+ =+=‎ ‎ ，令得，‎ ‎ 因为时，；时，‎ 所以，当时，，点的坐标为 ．………………12分 ‎17．解：（Ⅰ）当时， ……………1分 高二数学（理）期中考试卷答案 第1页 共4页 高二数学（理）期中考试卷答案 第2页 共4页 当时，，此时单调递减；‎ 当时，，此时单调递增.‎ 所以的极小值为 故：的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. …………4分 ‎（Ⅱ）令， ………5分 当时，，此时单调递增，‎ 所以， ………7分 由（Ⅰ）知，所以在（Ⅰ）的条件下. ………9分 ‎（Ⅲ）假设存在实数，使有最小值3，. ………………10分 ① ‎ 当时，因为，所以，在上单调递减，所以，解得（舍去） ………11分 ② 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，满足条件. ………12分 ③ 当，即时，，在上单调递减，所以，解得（舍去）…13分 综上，存在实数，使得当时的最小值为3. ………14分 第Ⅱ卷 一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）‎ ‎18-21 ACAA 二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）‎ ‎22.-10 23.‎ 三、解答题（本大题共有2个小题，共24分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎24. 解:( Ⅰ)要求被选出的4人中理科组、文科组学生都有,共有种结果， ………………2分 其中“理科组恰好记4分“的选法有两种情况:‎ ‎①从理科组选2男1女,文科组任选1人，有种方法,‎ ‎②从理科组中选2女,再从文科组任选2人，有种方法 所以. ………………6分 ‎(Ⅱ)由题意可得=0，1，2，3. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎……10分 其分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ………………11分 数学期望. ………………12分 ‎25.解：（Ⅰ）当时，有 ‎ ‎ 过点的切线方程为：‎ 即. ……………3分 ‎（Ⅱ）当时，有，其定义域为 从而方程可化为：‎ 令，则………4分 由得，得 在和上单调递增，在上单调递减，‎ 且， ………………………6分 又当时，；当时， ‎ 关于的方程有唯一实数解，‎ 高二数学（理）期中考试卷答案 第3页 共4页 高二数学（理）期中考试卷答案 第4页 共4页 实数的取值范围是或. ………………………7分 ‎（Ⅲ）的定义域为，‎ 令得 又函数有两个极值点、‎ 有两个不等实根、‎ ‎，且，‎ 从而. ………………………………………………9分 由不等式恒成立恒成立 ‎.‎ 令 ‎，当时恒成立.‎ 函数在上单调递减，‎ 所以实数 的取值范围是：. ……………………12分 ‎ ‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎