高考文科数学复习：夯基提能作业本 (54)

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第三节　圆的方程 A组　基础题组 ‎1.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是(　　)‎ A.以(1,-2)为圆心,‎11‎为半径的圆 B.以(1,2)为圆心,‎11‎为半径的圆 C.以(-1,-2)为圆心,‎11‎为半径的圆 D.以(-1,2)为圆心,‎11‎为半径的圆 ‎2.方程|x|-2=‎4-(y+1‎‎)‎‎2‎所表示的曲线是(　　)‎ A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆 ‎3.已知M(2,1),P为圆C:x2+y2+2y-3=0上的动点,则|PM|的取值范围为(　　)‎ A.[1,3] B.[2‎2‎-2,2‎2‎+2]‎ C.[2‎2‎-1,2‎2‎+1] D.[2,4]‎ ‎4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4‎ C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1‎ ‎5.圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是(　　)‎ A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0‎ C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0‎ ‎6.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为　　　　　　. ‎ ‎7.已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是　　　　. ‎ ‎8.在平面直角坐标系内,若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为　　　　. ‎ ‎9.一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程.‎ ‎10.已知圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),且经过点(9,6),求圆C的方程.‎ B组　提升题组 ‎11.已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,且圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为(　　)‎ A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=2‎ C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=2‎ ‎12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(　　)‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎13.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)‎ A.5‎2‎-4 B.‎17‎-1 C.6-2‎2‎ D.‎‎17‎ ‎14.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2,则圆C的方程为　　　　　　　. ‎ ‎15.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4‎10‎.‎ ‎(1)求直线CD的方程;‎ ‎(2)求圆P的方程.‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2‎2‎,在y轴上截得的线段长为2‎3‎.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(2)若P点到直线y=x的距离为‎2‎‎2‎,求圆P的方程.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　由x2+y2+2x-4y-6=0得(x+1)2+(y-2)2=11,故圆心为(-1,2),半径为‎11‎.‎ ‎2.D　由题意知|x|≥2,故x≥2或x≤-2.当x≥2时,方程可化为(x-2)2+(y+1)2=4;当x≤-2时,方程可化为(x+2)2+(y+1)2=4.故原方程表示两个半圆.故选D.‎ ‎3.B　依题意,设P(x,y),化圆C的一般方程为标准方程得x2+(y+1)2=4,圆心为C(0,-1),因为|MC|=‎4+4‎=2‎2‎>2,所以点M(2,1)在圆外,所以2‎2‎-2≤|PM|≤2‎2‎+2,故|PM|的取值范围为[2‎2‎-2,2‎2‎+2].‎ ‎4.A　设圆上任一点的坐标为(x0,y0),连线中点的坐标为(x,y),则x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=4,‎ ‎2x=x‎0‎+4,‎‎2y=y‎0‎-2‎‎⇒x‎0‎‎=2x-4,‎y‎0‎‎=2y+2,‎代入x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=4中,得 ‎(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.‎ ‎5.B　设圆心为(0,b),半径为r,则r=|b|,‎ ‎∴圆的方程为x2+(y-b)2=b2.‎ ‎∵点(3,1)在圆上,‎ ‎∴9+(1-b)2=b2,解得b=5.‎ ‎∴圆的方程为x2+y2-10y=0.‎ ‎6.答案　(x-2)2+y2=5‎ 解析　因为所求圆的圆心与圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2,0)关于原点(0,0)对称,所以所求圆的圆心为(2,0),由题意知所求圆的半径为‎5‎,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.‎ ‎7.答案　‎‎4‎‎5‎ 解析　圆心(-1,-1)到点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线3x+4y-2=0的距离,为‎|-3-4-2|‎‎5‎=‎9‎‎5‎,故点N到点M的距离的最小值为‎9‎‎5‎-1=‎4‎‎5‎.‎ ‎8.答案　(-∞,-2)‎ 解析　圆C的标准方程为(x+a)2+(y-2a)2=4,所以圆心为(-a,2a),半径r=2,故由题意知a<0,‎‎|-a|>2,‎‎|2a|>2‎⇒a<-2.‎ ‎9.解析　设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ 令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.‎ 令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.‎ 由题意知-D-E=2,即D+E+2=0.①‎ 又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=0,②‎ ‎1+9-D+3E+F=0,③‎ 解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.‎ 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.‎ ‎10.解析　因为圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),‎ 所以过点(4,-1)的直径所在直线的斜率为‎-1‎‎1‎‎6‎=-6,‎ 其方程为y+1=-6(x-4),即y=-6x+23.‎ 又因为圆心在以(4,-1),(9,6)两点为端点的线段的中垂线y-‎5‎‎2‎=-‎5‎‎7‎x-‎‎13‎‎2‎,即5x+7y-50=0上,由y=-6x+23,‎‎5x+7y-50=0‎ 解得x=3,‎y=5,‎故圆心为(3,5),‎ 所以半径为‎(9-3‎)‎‎2‎+(6-5‎‎)‎‎2‎=‎37‎,‎ 故圆C的方程为(x-3)2+(y-5)2=37.‎ B组　提升题组 ‎11.D　x-y=0和x-y-4=0之间的距离为‎|-4|‎‎2‎=2‎2‎,所以r=‎2‎.又因为y=-x与x-y=0,x-y-4=0均垂直,所以由y=-x和x-y=0联立得交点坐标为(0,0),由y=-x和x-y-4=0联立得交点坐标为(2,-2),所以圆心坐标为(1,-1),故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.‎ ‎12.B　若∠APB=90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.由题意知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m≤6,故m的最大值为6.选B.‎ ‎13.A　圆C1,C2如图所示.‎ 则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理,|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C'1(2,-3),连接C'1C2,与x轴交于点P,连接PC1,根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C'1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5‎2‎-4.选A.‎ ‎14.答案　x2+y±‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎‎4‎‎3‎ 解析　由题意知圆心在y轴上,且被x轴分成的劣弧所对圆心角为‎2‎‎3‎π,设圆心为(0,a),半径为r,则rsinπ‎3‎=1,rcosπ‎3‎=|a|,解得r=‎2‎‎3‎,|a|=‎3‎‎3‎,即a=±‎3‎‎3‎,故圆C的方程为x2+y±‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎4‎‎3‎.‎ ‎15.解析　(1)由已知得直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.‎ ‎(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①‎ 又∵直径|CD|=4‎10‎,‎ ‎∴|PA|=2‎10‎,‎ ‎∴(a+1)2+b2=40.②‎ 由①②解得a=-3,‎b=6‎或a=5,‎b=-2,‎ ‎∴圆心为P(-3,6)或P(5,-2),‎ ‎∴圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.‎ ‎16.解析　(1)设P(x,y),圆P的半径为r.‎ 由题设得y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.‎ 故P点的轨迹方程为y2-x2=1.‎ ‎(2)设P(x0,y0),由已知得‎|x‎0‎-y‎0‎|‎‎2‎=‎2‎‎2‎.‎ 又P在双曲线y2-x2=1上,从而得‎|x‎0‎-y‎0‎|=1,‎y‎0‎‎2‎‎-x‎0‎‎2‎=1.‎ 由x‎0‎‎-y‎0‎=1,‎y‎0‎‎2‎‎-x‎0‎‎2‎=1‎得x‎0‎‎=0,‎y‎0‎‎=-1.‎此时,圆P的半径r=‎3‎.‎ 由x‎0‎‎-y‎0‎=-1,‎y‎0‎‎2‎‎-x‎0‎‎2‎=1‎得x‎0‎‎=0,‎y‎0‎‎=1.‎此时,圆P的半径r=‎3‎. ‎ 故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.‎