2017-2018学年四川省射洪中学高二上学期第二次月考数学理试题

2017-2018学年四川省射洪中学高二上学期第二次月考数学理试题

‎2017-2018学年四川省射洪中学高二上学期第二次月考数学（理）试卷 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.下列说法正确的是（ A ）．‎ A．梯形一定是平面图形 B．四边形一定是平面图形 C．四边相等的四边形为菱形 D．两个相交平面有不在同一条直线上的三个交点 ‎2.直线的倾斜角是（ B ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（　D　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α ‎4.若一个正三棱锥的正（主）视图如图所示，则其体积等于（ C ）．‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为（　A　）‎ A．6π B． C．12π D．‎ ‎6.对于a∈R，直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（　B　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7.点关于直线对称的点坐标是（ A ）‎ ‎ B. C. D. ‎8.点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（　A　）‎ A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1‎ ‎9.已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线所得的弦的长度为，则a等于（　C　）‎ A．2 B．6 C．2或6 D．‎ ‎10.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ C ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（　B　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎12.如下图在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为（ A ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，线段长度的最小值是，‎ 当时，线段长度的最大值是，（因为不包括端点，故不能取，即长度不能等于），‎ 故线段的长度的取值范围是：，‎ 故选．‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、 填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在空间直角坐标系中，点，则__________．‎ ‎14.已知直线与直线垂直，那么的值是__________．‎ ‎15.已知实数x，y满足，则的最大值为　　．‎ ‎16.已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：‎ ‎①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；‎ ‎②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；‎ ‎③当时，圆C1被直线截得的弦长为；‎ ‎④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．‎ 其中正确命题的序号为 　①③④　．‎ 答案及解析：‎ ‎16.【解答】解：①由圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，‎ 得到圆C1的圆心（2cosθ，2sinθ），半径R=1；圆C2的圆心（0，0），半径r=1，‎ 则两圆心之间的距离d==2，而R+r=1+1=2，所以两圆的位置关系是外切，此答案正确；‎ ‎②由①得两圆外切，所以公切线的条数是3条，所以此答案错误；‎ ‎③把θ=代入圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1得：（x﹣）2+（y﹣1）2=1，‎ 圆心（，1）到直线l的距离d==，‎ 则圆被直线l截得的弦长=2=，所以此答案正确；‎ ‎④由两圆外切得到|PQ|=2+2=4，此答案正确．‎ 综上，正确答案的序号为：①③④．‎ 故答案为：①③④‎ 三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18-21题12分,第22题14分,共90分）‎ ‎17.（1）求经过点A（3，2），B（﹣2，0）的直线方程．‎ ‎（2）求过点P（﹣1，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎17.（1）2x﹣5y+4=0．‎ ‎（2）3x+y=0，或x+y﹣2=0．‎ ‎18.已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．‎ ‎（1）求直线2x﹣y+4=0被圆C所截得的弦长；‎ ‎（2）求过点M（3，1）的圆C的切线方程．‎ ‎18.（1）‎ ‎（2）3x﹣4y﹣5=0或x=3．‎ ‎19.如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积．‎ ‎19.【解答】解：（I）∵BB1⊥面ABC，AE⊂平面ABC，‎ ‎∴AE⊥BB1，‎ ‎∵E是正三角形ABC的边BC的中点，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ 又∵BC⊂平面B1BCC1，B1B⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，‎ ‎∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，‎ ‎∴平面AEF⊥平面B1BCC1．‎ ‎（II）∵三棱柱所有的棱长均为2，‎ ‎∴AE=，‎ ‎∴S=2×2﹣﹣=，‎ 由（I）知AE⊥平面B1BCC1‎ ‎∴．‎ ‎20.如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分别在线段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：DQ∥平面CPM；‎ ‎（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D的大小为，求∠BDC的正切值．‎ 答案及解析：‎ ‎20.【解答】证明：（Ⅰ）取AB的中点E，则，所以EQ∥PC．‎ 又EQ⊄平面CPM，所以EQ∥平面CPM． …‎ 又PM是△BDE的中位线，所以DE∥PM，‎ 从而DE∥平面CPM．…‎ 所以平面DEQ∥平面CPM，…‎ 故DQ∥平面CPM． …‎ 解：（Ⅱ）解法1：由AD⊥平面BCD知，AD⊥CM 由BC=CD，BM=MD，知BD⊥CM，‎ 故CM⊥平面ABD． …‎ 由（Ⅰ）知DE∥PM，而DE⊥AB，故PM⊥AB．‎ 所以∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，‎ 即． …‎ 设PM=a，则，，‎ 在Rt△CMD中，． …‎ 所以∠BDC的正切值为．…‎ 解法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设MC=a，MD=b，则C（a，0，0），B（0，﹣b，0），A（0，b，2b）…‎ 则，‎ 设平面ABC的一个法向量，‎ 则即取…‎ 平面ABD的一个法向量为，…‎ 所以，所以 在Rt△CMD中，‎ 所以∠BDC的正切值为． …‎ ‎21.已知O为坐标原点，方程x2+y2+x﹣6y+c=0‎ ‎（1）若此方程表示圆，求c的取值范围；‎ ‎（2）若（1）中的圆与直线l：x+2y﹣3=0交于P、Q两点．若以PQ为直径的圆过原点O求c值．‎ ‎21.【解答】解：（1）若方程x2+y2+x﹣6y+c=0表示圆，‎ 则D2+E2﹣4F=1+36﹣4c＞0，‎ 解得c＜；…（3分）‎ ‎（2）法一：PQ为直径的圆过原点O，设PQ中点为（m，n），‎ 则以PQ为直径的圆为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2…（6分）‎ ‎∵PQ为圆C：x2+y2+x﹣6y+c=0与（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2的公共弦，‎ ‎∴PQ方程为（1+2m）x+（﹣6+2n）y+c=0，…（8分）‎ 它与直线l：x+2y﹣3=0为同一条直线，‎ ‎∴，‎ 解得；…（10分）‎ ‎∵（m，n）在直线l：x+2y﹣3=0上，‎ ‎∴将代入，‎ 解得c=3即为所求． …（12分）‎ 法二：设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ为直径的圆过原点O，‎ ‎∴OP⊥OQ，‎ ‎∴kOPkOQ=﹣1，即x1x2+y1y2=0①；…（6分）‎ 由，‎ 消去x得5y2﹣20y+12+c=0，‎ ‎∴y1+y2=4，②；…（8分）‎ 又x1x2=（3﹣2y1）（3﹣2y2）=9﹣6（y1+y2）+4y1y2③；…（10分）‎ 将②③代入①，‎ 解得c=3即为所求．…（12分）‎ ‎22.（本小题满分16分）如图，圆：．（Ⅰ）若圆与轴相切，求圆的方程；（Ⅱ）已知，圆C与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．‎ 答案及解析：‎ ‎22.（Ⅰ）圆：化成标准方程为：‎ ‎，‎ 若圆与轴相切，那么有：‎ ‎，解得，故所求圆的方程为：.‎ ‎（Ⅱ）令，得，‎ 即 所以 假设存在实数，‎ 当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，‎ 代入得，，‎ 设从而 因为 而 因为，所以，即，得．‎ 当直线AB与轴垂直时，也成立． 故存在，使得．‎