2021版高考数学一轮复习核心素养测评二十三三角函数的图像与性质理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评二十三三角函数的图像与性质理北师大版

核心素养测评二十三 三角函数的图像与性质 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.既是偶函数又在区间(0,π)上减少的函数是 (　　)‎ A.y=sin 2x B.y=sin x C.y=cos 2x D.y=cos x ‎【解析】选D.y=sin 2x和y=sin x都是奇函数,不合题意;y=cos 2x和y=cos x都是偶函数,y=cos 2x在区间(0,π)上不是单调函数,不合题意,y=cos x在区间(0,π)上是减少的,符合题意.‎ ‎2.(2020·芜湖模拟)已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是 (　　)‎ A.2　　　B.3　　　C.+2　　　D.2-‎ ‎【解析】选B.因为x∈,‎ 所以cos x∈,‎ 故y=2cos x的值域为[-2,1],所以b-a=3.‎ ‎3.(2020·东莞模拟)由y=2sin的图像向左平移个单位,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,所得图像对应的函数解析式为 (　　)‎ A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin - 11 -‎ ‎【解析】选D.由y=2sin的图像向左平移个单位,可得y=2sin=2sin的图像,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,‎ 可得y=2sin的图像.‎ ‎4.设函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)在x=时取得最大值,则函数g(x)=cos(2x+φ)的图像 (　　)‎ A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称 ‎【解析】选A.因为x=时,f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)取最大值,所以φ=,即g(x)=cos,对称中心,对称轴x=-.‎ ‎5.(2020·太原模拟) 若函数f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1,则ω= (　　)‎ A. 　　 B.　　 C. 　 D.‎ - 11 -‎ ‎【解析】选C.因为0<ω<1,0≤x≤,所以0≤ωx<,所以f(x)在区间上单调递增,则f(x)max=f=2sin=1,即sin=.又因为0≤ωx<,所以=,解得ω=.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.若函数f(x)=cos(0<φ<π)是奇函数,则φ=____________. ‎ ‎【解析】因为f(x)为奇函数,所以φ-=+kπ(k∈Z),φ=+kπ,k∈Z.又因为0<φ<π,所以φ=.‎ 答案:‎ ‎【变式备选】‎ 已知函数f(x)=‎ ‎2sin是偶函数,则θ的值为________________. ‎ ‎【解析】因为f(x)为偶函数,所以θ+=kπ+(k∈Z),又θ∈,所以θ+=,解得θ=,经检验符合题意.‎ 答案:‎ ‎7.设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=‎ 则f=________________. ‎ - 11 -‎ ‎【解析】因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.‎ 又因为0≤≤π,‎ 所以f=f=sin=.‎ 答案:‎ ‎8.(2018·北京高考)设函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________________.  ‎ ‎【解析】由已知,当x=时,f(x)取得最大值,‎ 由三角函数图像与性质,ω-=0+2kπ(k∈Z),‎ 即ω=+8k(k∈Z),‎ 又ω>0,所以当k=0时,ω有最小值为.‎ 答案:‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.(2020·大同模拟)已知函数f(x)=‎ sin.‎ - 11 -‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间.‎ ‎(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.‎ ‎【解析】(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(2)因为当x∈时,≤2x+≤,‎ 所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,‎ 所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.‎ ‎10.(2019·厦门模拟)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)的图像与x轴的两个相邻交点是A(0,0),B(6,0),C是函数f(x)图像的一个最高点.a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,满足(a+c)(sin C-sin A)=(a+b)sin B. ‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式.‎ ‎(2)将函数f(x)的图像向左平移1个单位后,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递减区间.‎ ‎【解析】(1)由题意得sin φ=0,所以φ=0,=6,‎ 所以ω===,‎ 由正弦定理得(c+a)(c-a)=(a+b)b,‎ - 11 -‎ 整理得=-,即cos C=-,‎ 又C∈(0,π),所以C=.‎ 在△ABC中,易知AC=BC,所以A=,取AB的中点D易得CD=,即M=,所以f(x)=sinx.‎ ‎(2)函数f(x)图像向左平移1个单位,得f(x+1)=sin,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得g(x)=sin,‎ 由2kπ+≤+≤2kπ+(k∈Z),‎ 解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z).‎ 所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)(2020·蚌埠模拟) 已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图像关于点对称,且f(x)在上为增函数,则ω= (　　)‎ A.　　　 B.3　　 C.　　 D.6‎ ‎【解析】选A.因为函数f(x)=sin ωx的图像关于点对称,‎ - 11 -‎ 所以π=kπ(k∈Z),即ω=k(k∈Z), ①‎ 又因为函数f(x)=sin ωx在区间上为增函数,‎ 所以≤且ω>0,所以0<ω≤2, ②‎ 由①②得ω=.‎ ‎2.(5分)(2020·运城模拟)设函数f(x)=3sin,若存在这样的实数x1,x2,对任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为________________. ‎ ‎【解析】f(x)=3sin的周期T=2π×=4,f(x1),f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为=2.‎ 答案:2‎ ‎3.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则φ=________________. ‎ ‎【解析】由f(x)的最小正周期大于2π,得>.‎ 又f=2,f=0,得=-=,‎ - 11 -‎ 所以T=3π,则=3π⇒ω=,所以f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin.由f=2sin=2⇒sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z.又 ‎|φ|<,取k=0,得φ=.‎ 答案:‎ ‎4.(10分)(2020·宿州模拟)已知函数f(x)=2sin. ‎ ‎(1)求函数的最大值及相应的x值的集合.‎ ‎(2)求函数f(x)的图像的对称轴与对称中心.‎ ‎【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值.故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.‎ ‎(2)由2x-=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,‎ 即函数f(x)的图像的对称轴为x=+kπ,k∈Z.‎ 由2x-=kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为,k∈Z.‎ ‎5.(10分)(2018·北京高考)已知函数f(x)=sin2 x+sin xcos x. ‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期.‎ - 11 -‎ ‎(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.‎ ‎【解析】(1)由已知,f(x)=(1-cos 2x)+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,所以f(x)的最小正周期为T==π.‎ ‎(2)方法一:显然m>-,‎ 若x∈,则2x∈,‎ ‎2x-∈,‎ ‎①若2m-<即m<,‎ 则f(x)在[-,m]上的最大值小于,不合题意.‎ ‎②若2m-≥即m≥,‎ 当2x-=即x=时,f(x)在[-,m]上取得最大值,符合题意,综上,m的最小值为.‎ 方法二:‎ 显然m>-,因为f(x)在[-,m]上的最大值为,‎ 所以y=sin(2x-)在[-,m]上的最大值为1,‎ 又因为当且仅当2x-=+2kπ,即x=+kπ(k∈Z)时,y=sin(2x-)=1.‎ - 11 -‎ 所以[-,m]∩{x|x=+kπ(k∈Z)}≠∅,‎ 令+kπ≥-(k∈Z)得k≥-,即k=0,1,2,…‎ 所以x=+0×π=∈[-,m],即m≥,‎ 所以m的最小值为.‎ ‎1.函数y=|tan x|的单调递增区间为________________,单调递减区间为________________.  ‎ ‎【解析】作出函数y=|tan x|的图像,如图.‎ 观察图像可知,函数y=|tan x|的单调递增区间为,k∈Z;单调递减区间为,k∈Z.‎ 答案:,k∈Z　,k∈Z ‎2.(2019·德州模拟)已知函数f(x)=sin(2x+θ)-cos(2x+θ)(-π<θ<0)的图像关于点对称,记f(x)在区间上的最大值 为n,且f(x)在[mπ,nπ](m

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