专题09 三角恒等变换与解三角形（命题猜想）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题09 三角恒等变换与解三角形（命题猜想）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

‎【考向解读】 ‎ 正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，‎ ‎1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．‎ ‎2.预测高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．‎ ‎3.边和角的计算；‎ ‎4.三角形形状的判断；‎ ‎5.面积的计算；‎ ‎6.有关的范围问题． ‎ ‎【命题热点突破一】三角恒等变换 例1、(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝，则sin2α＝(　　)‎ A．－　　B．－ C. D. ‎【答案】A ‎【解析】∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝2＝，∴sin2α＝－.‎ ‎【变式探究】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ ‎【答案】－ 速解法：由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，‎ ‎∴θ＝α－，‎ ‎∴tan＝tan＝－tan.‎ 如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sin α＝可得，‎ BC＝3，AB＝5，AC＝4，‎ ‎∴∠B＝－α，∴tan B＝，‎ ‎∴tan B＝－.‎ ‎ (2)若tan α＞0，则(　　)‎ A．sin α＞0　　　　　　　B．cos α＞0‎ C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0‎ ‎【答案】C ‎【感悟提升】 解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等．‎ ‎【变式探究】 ‎ ‎ (1)已知sin＝，那么cos 2α＝________．‎ ‎(2)已知sin＋sin α＝－，则cos等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】（1）－　（2）A　‎ ‎【解析】 （1）依题意得cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.‎ ‎（2）由sin＋sin α＝－，得sin＝－，则sin＝－，于是cos＝cos＝sin＝－.‎ ‎【命题热点突破二】　正、余弦定理 例2、(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.‎ ‎(1)求cos B；‎ ‎(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.‎ ‎ ‎ ‎(2)由cos B＝得sin B＝，故S△ABC＝acsin B＝ac.‎ 又S△ABC＝2，则ac＝.‎ 由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4.‎ 所以b＝2.‎ ‎【举一反三】(2017·课标全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】由余弦定理得2b·＝a·＋c·，即b·＝b，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝，又0°

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