专题5-8 热点题型七 正、余弦定理的应用举例-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破 Word版含解析

专题5-8 热点题型七 正、余弦定理的应用举例-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破 Word版含解析

热点题型七 正、余弦定理的应用举例 ‎【基础知识整合】‎ ‎1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．‎ ‎2．方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．‎ ‎3．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．‎ 类型一 测量距离问题 ‎【典例1】【2017·临沂模拟】某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为　　　　小时.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】如图,设舰艇在B′处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则AB′=21t,‎ CB′=9t.‎ 在△AB′C中,根据余弦定理,则有AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccos 120°,‎ 可得,212t2=102+81t2+2·10·9t·.‎ 整理得360t2-90t-100=0,解得t=或t=- (舍去).故舰艇需小时靠近渔轮.‎ ‎【变式训练】【2016宁波市鄞州区模拟】如图，某商业中心有通往正东方向和北偏东方向的两条街道，某公园位于商业中心北偏东角，且与商业中心的距离为公里处，现要经过公园修一条直路分别与两条街道交汇于两处,当商业中心到两处的距离之和最小时，的距离为 公里．‎ ‎【答案】．‎ 当且仅当，即时取等号，此时，‎ ‎【典例2】【2015南通密卷】如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．‎ ‎（1）求大学与站的距离；‎ ‎（2）求铁路段的长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）在中，，且，，‎ 由余弦定理得，‎ ‎ ‎ ‎，即大学与站的距离为； ‎ ‎【解题技巧】‎ 求距离问题的注意事项 ‎(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．‎ 类型二 测量高度问题 ‎【典例3】【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. ‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】三角形三内角和定理，三角函数的定义，有关测量中的的几个术语，正弦定理.‎ ‎【名师点睛】本题是空间四面体问题，不能把四边形看成平面上的四边形. ‎ ‎【变式训练1】【2015·北京朝阳区模拟】如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中心C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________ m.‎ ‎【答案】　45‎ ‎【解析】设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，‎ 则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α，‎ ‎∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，‎ ‎∴△A1AC∽△CBB1，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AA1·BB1＝900，‎ ‎∴3 600tan αtan 2α＝900，‎ ‎∴tan α＝，tan 2α＝，BB1＝60tan 2α＝45.‎ ‎【变式训练2】【2017吉林市一中月考】某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为（如图），则旗杆的高度为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．如图，‎ 依题意知∠ABC=30°+15°=45°，∠ACB=180°-60°-15°=105°，∴∠BAC=180°-45°-105°=30°，‎ 由正弦定理知在Rt△ACD中，‎ ‎【变式训练3】【2015苏锡常镇四市模拟】如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，和．‎ ‎（1）求烟囱AB的高度；‎ ‎（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．‎ ‎【答案】（1）15米 （2）10米．‎ ‎ ‎ ‎（2）在△OBC中，‎ ‎， ‎ 所以在△OCE中， ‎ ‎． 13分 答：CE的长为10米． ‎ ‎【解题技巧】‎ 解高度问题的注意事项 ‎(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；‎ ‎(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；‎ ‎(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．‎ 类型三 测量角度问题 ‎【典例4】(1)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的______方向．‎ ‎ (2)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝________.‎ ‎【答案】　(1)北偏西10°　(2)45°‎ ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义．‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．‎ ‎【变式训练】(2016·南京模拟)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　如图，过点P作PO⊥BC于点O，‎ 连结AO，则∠PAO＝θ.‎ 设CO＝x m，则OP＝x m.‎ 在Rt△ABC中，AB＝15 m，AC＝25 m，‎ 所以BC＝20 m.‎ 所以cos∠BCA＝.‎ 所以AO＝ ‎＝(m)．‎ 所以tan θ＝＝ ‎＝.‎ 当＝，即x＝时，tan θ取得最大值为＝.‎ ‎【典例5】【2016·辽宁丹东模拟】如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，‎ 则cosθ= ‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解题技巧】‎ 解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)明确方位角的含义；‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．‎