2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练42 空间向量及其运算

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练42 空间向量及其运算

课时规范练42　空间向量及其运算 基础巩固组 ‎1.已知空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则MN=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎2‎a-‎2‎‎3‎b+‎1‎‎2‎c B.-‎2‎‎3‎a+‎1‎‎2‎b+‎1‎‎2‎c C.‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b-‎1‎‎2‎c D.‎2‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b-‎1‎‎2‎c ‎2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为A(1,2,2),B(2,-2,1),则|AB|等于(　　)‎ A.18 B.12 C.3‎2‎ D.2‎‎3‎ ‎3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若AE‎=‎AA‎1‎+xAB+yAD,则x,y的值分别为(　　)‎ A.x=1,y=1 B.x=1,y=‎‎1‎‎2‎ C.x=‎1‎‎2‎,y=‎1‎‎2‎ D.x=‎1‎‎2‎,y=1‎ ‎4.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是(　　)‎ A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 ‎5.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足AB‎·‎AC=0,AC‎·‎AD=0,AB‎·‎AD=0,M为BC中点,则△AMD是(　　)‎ A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 ‎6.(2017浙江舟山模拟)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB‎,AD,‎AA‎1‎两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA‎1‎|=3,则|AC‎1‎|等于(　　)‎ A.5 B.6 C.4 D.8‎ ‎7.已知空间向量a,b,满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为π‎3‎,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足OA=2a+b,OB=3a-b,则△OAB的面积为　　　　　. ‎ ‎8.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为　　　　　. ‎ ‎9.(2017宁夏银川模拟)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|的值是　　　　　. ‎ ‎10.‎ 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,‎ 求证:(1)A1,G,C三点共线;‎ ‎(2)A1C⊥平面BC1D.‎ ‎〚导学号21500751〛‎ 综合提升组 ‎11.已知AB=(2,2,-2),BC=(1,y,z),若AB‎∥BC,‎BP=(x-1,y,1),且BP⊥AB,则实数x,y,z分别为(　　)‎ A.5,-1,1 B.1,1,-1‎ C.-3,1,1 D.4,1,-2‎ ‎12.(2017安徽合肥质检)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,点M是BC的中点,点P∈AC1,Q∈MD,则PQ长度的最小值为(　　)‎ A.1 B.‎4‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎‎3‎ D.2‎ ‎13.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,DP与AE的夹角为θ,cos θ=‎3‎‎3‎,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为　　　　　. ‎ ‎〚导学号21500752〛‎ ‎14.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.‎ ‎(1)求证:EF⊥CD.‎ ‎(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB.若存在,求出点G坐标;若不存在,试说明理由.‎ 创新应用组 ‎15.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为　　　　　. ‎ ‎16.如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1,在其底面三角形ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是 A1B1,A1A的中点,BA‎1‎与CB‎1‎的夹角为θ.‎ ‎(1)求BN的模;‎ ‎(2)求cos θ的值;‎ ‎(3)求证:A1B⊥C1M.‎ ‎〚导学号21500753〛‎ 参考答案 课时规范练42　空间向量及其运算 ‎1.B　MN‎=ON-OM=‎1‎‎2‎(OB+‎OC)-‎2‎‎3‎OA=-‎2‎‎3‎a+‎1‎‎2‎b+‎1‎‎2‎c.‎ ‎2.C　|AB|=‎(1-2‎)‎‎2‎+(2+2‎)‎‎2‎+(2-1‎‎)‎‎2‎=3‎2‎.‎ ‎3.C　如图,AE‎=AA‎1‎+A‎1‎E=AA‎1‎+‎1‎‎2‎A‎1‎C‎1‎=AA‎1‎+‎1‎‎2‎(A‎1‎B‎1‎+‎A‎1‎D‎1‎)=AA‎1‎‎+‎1‎‎2‎AB+‎‎1‎‎2‎AD.‎ ‎4.C　因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.‎ ‎5.C　∵M为BC中点,∴AM‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AC).‎ ‎∴AM‎·AD=‎1‎‎2‎(AB+‎AC)·AD‎=‎1‎‎2‎AB·AD+‎1‎‎2‎AC·‎AD=0.‎ ‎∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.‎ ‎6.A　设AB=a,AD=b,AA‎1‎=c,则AC‎1‎=a+b+c,|AC‎1‎|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|AC‎1‎|=5.‎ ‎7.‎5‎‎3‎‎4‎　由OA=2a+b,OB=3a-b,得 ‎|OA|=‎(2a+b‎)‎‎2‎‎=‎‎7‎,|OB|=‎(3a-b‎)‎‎2‎‎=‎7‎,OA·‎OB=(2a+b)·(3a-b)=‎11‎‎2‎.‎ ‎∴cos∠BOA=OA‎·‎OB‎|OA||OB|‎‎=‎‎11‎‎14‎,‎ ‎∴sin∠BOA=‎5‎‎3‎‎14‎.‎ ‎∴S△OAB=‎1‎‎2‎‎|‎OA||OB|sin∠BOA=‎5‎‎3‎‎4‎.‎ ‎8.2　由题意知AB‎·‎AC=0,|AB|=|AC|.∵AB=(6,-2,-3),AC=(x-4,3,-6),‎ ‎∴‎6(x-4)-6+18=0,‎‎(x-4‎)‎‎2‎=4,‎解得x=2.‎ ‎9.‎77‎‎3‎　设P(x,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z).由AP=2PB,得点P坐标为‎-‎1‎‎3‎,‎8‎‎3‎,3‎.又D(1,1,1),∴|PD|=‎77‎‎3‎.‎ ‎10.证明 (1)CA‎1‎‎=CB+BA+AA‎1‎=CB+CD+CC‎1‎,CG=CC‎1‎+C‎1‎G=CC‎1‎+‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎(C‎1‎B+‎C‎1‎D)=CC‎1‎‎+‎1‎‎3‎(CB-CC‎1‎+CD-‎CC‎1‎)‎ ‎=‎1‎‎3‎‎(CB+CD+‎CC‎1‎)=‎1‎‎3‎CA‎1‎,‎ ‎∴CG‎∥‎CA‎1‎,即A1,G,C三点共线.‎ ‎(2)设CB=a,CD=b,CC‎1‎=c,‎ 则|a|=|b|=|c|=a,‎ 且a·b=b·c=c·a=0.‎ ‎∵CA‎1‎=a+b+c,BC‎1‎=c-a,‎ ‎∴CA‎1‎‎·‎BC‎1‎=(a+b+c)·(c-a)‎ ‎=c2-a2=0.‎ 因此CA‎1‎‎⊥‎BC‎1‎,‎ 即CA1⊥BC1.‎ 同理CA1⊥BD.‎ 又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,故A1C⊥平面BC1D.‎ ‎11.B　∵AB‎∥‎BC,∴‎1‎‎2‎‎=‎y‎2‎=-z‎2‎,解得y=1,z=-1.‎ ‎∵BP⊥AB,∴2(x-1)+2y-2=0,解得x=1.‎ ‎12.C　根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设P(x0,2x0,3-3x0),Q(x1,2-x1,3),x0∈[0,1],x1∈[0,1],所以PQ=‎(x‎0‎-x‎1‎‎)‎‎2‎+(2x‎0‎+x‎1‎-2‎)‎‎2‎+(3-3x‎0‎-3‎‎)‎‎2‎‎=‎‎2x‎1‎‎+‎x‎0‎‎-2‎‎2‎‎2‎+‎27‎‎2‎x‎0‎‎-‎‎2‎‎9‎‎2‎+‎‎4‎‎3‎,‎ 当且仅当x0=‎2‎‎9‎,x1=‎8‎‎9‎时,PQ取得最小值,即PQmin=‎4‎‎3‎‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎13.(1,1,1)　由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),‎ 设P(0,0,a)(a>0),则E‎1,1,‎a‎2‎,所以DP=(0,0,a),AE‎=‎‎-1,1,‎a‎2‎,|DP|=a,|AE|=‎(-1‎)‎‎2‎+‎1‎‎2‎+‎a‎2‎‎2‎‎=‎2+‎a‎2‎‎4‎=‎‎8+‎a‎2‎‎2‎.‎ 又cos θ=‎3‎‎3‎,所以‎0×(-1)+0×1+‎a‎2‎‎2‎a·‎‎8+‎a‎2‎‎2‎‎=‎‎3‎‎3‎,解得a2=4,即a=2,所以E(1,1,1).‎ ‎14.(1)证明 如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,a‎2‎,0‎,P(0,0,a),Fa‎2‎‎,a‎2‎,‎a‎2‎.‎ EF‎=‎-a‎2‎,0,‎a‎2‎,‎DC‎=(0,a,0).‎ ‎∵EF‎·‎DC=0,∴EF‎⊥‎DC,‎ 即EF⊥CD.‎ ‎(2)解 假设存在满足条件的点G,设G(x,0,z),‎ 则FG‎=‎x-a‎2‎,-a‎2‎,z-‎a‎2‎,若使GF⊥平面PCB,‎ 则由FG‎·CB=‎‎ ‎x-a‎2‎,-a‎2‎,z-a‎2‎‎ ‎·(a,0,0)=ax-‎a‎2‎=0,得x=a‎2‎.‎ 由FG‎·CP=‎‎ ‎x-a‎2‎,-a‎2‎,z-a‎2‎‎ ‎·(0,-a,a)=a‎2‎‎2‎+az-‎a‎2‎=0,得z=0.‎ ‎∴点G坐标为a‎2‎‎,0,0‎,即存在满足条件的点G,且点G为AD的中点.‎ ‎15.‎2‎‎5‎　以A为坐标原点,射线AB,AD,AQ分别为x,y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设正方形ABCD和ADPQ的边长为2,则E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0≤y≤2).‎ 所以AF=(2,1,0),EM=(-1,y,2).‎ 所以AF‎·‎EM=-2+y,|AF|=‎5‎,|EM|=‎5+‎y‎2‎.‎ 所以cos θ=‎‎|AF·EM|‎‎|AF||EM|‎ ‎=‎|-2+y|‎‎5‎‎·‎‎5+‎y‎2‎‎=‎‎2-y‎5‎‎·‎‎5+‎y‎2‎.‎ 令2-y=t,‎ 则y=2-t,且t∈[0,2].‎ 所以cos θ=‎t‎5‎‎·‎‎5+(2-t‎)‎‎2‎ ‎=t‎5‎‎·‎‎9-4t+‎t‎2‎.‎ 当t=0时,cos θ=0.‎ 当t≠0时,‎ cos θ=‎‎1‎‎5‎‎·‎‎9‎t‎2‎‎-‎4‎t+1‎ ‎=‎1‎‎5‎‎·‎‎9‎1‎t‎-‎‎2‎‎9‎‎2‎+‎‎5‎‎9‎,‎ 由t∈(0,2],得‎1‎t‎∈‎‎1‎‎2‎‎,+∞‎,‎ 所以‎9‎1‎t‎-‎‎2‎‎9‎‎2‎+‎‎5‎‎9‎ ‎≥‎9×‎1‎‎2‎‎-‎‎2‎‎9‎‎2‎+‎‎5‎‎9‎‎=‎‎5‎‎2‎.‎ 所以0

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