数学文卷·2018届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查(2月)(2018

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文档介绍

数学文卷·2018届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查(2月)(2018

‎2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查 数学(文)试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.某人到甲、乙两市各7个小区调査空置房情况,调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图,则调査中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的众数之差为( )‎ A.4 B.‎3 C.2 D.1‎ ‎3.已知复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.在锐角中,角所对的边长分别为,,则角等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了 378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地.”则此人第4天走了( )‎ A.60里 B.48里 C.36里 D.24里 ‎ ‎6.已知函数,若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为( )‎ A.7 B.‎9 C.11 D.13‎ ‎8.已知某简单几何体的三视图如图所示,若主视图的面积为1,则该几何体最长的棱的长度为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.函数的图象向右平移动个单位,得到的图象关于轴对称,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若函数的图象如图所示,则下列说法正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.已知直线与双曲线的一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为1,则双曲线的离心率为( )‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎12.已知可导函数的导函数为,,若对任意的,都有,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. 已知满足,则的最大值为 .‎ ‎14.已知向量,且,则等于 .‎ ‎15.已知点是抛物线上一点,为抛物线的焦点,则以为圆心,为半径的圆被直线截得的弦长为 .‎ ‎16.正方体的外接球的表面积为,为球心,为的中点.点在该正方体的表面上运动,则使的点所构成的轨迹的周长等于 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知等差数列满足,前7项和为.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设数列满足,求的前项和.‎ ‎18.三棱锥中,侧面底面,是等腰直角三角形的斜边,且.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)已知平面平面,平面平面,,且到平面的距离相等,试确定直线及点的位置(说明作法及理由),并求三棱锥的体积.‎ ‎19. 有甲、乙两个桔柚(球形水果)种植基地,已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内(单位:毫米,以下同),按规定直径在内为优质品,现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个,测量这些桔柚的直径,所得数据整理如下:‎ ‎(1)根据以上统计数据完成下面列联表,并回答是否有以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”?‎ ‎(2)求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表);‎ ‎(3)记甲基地直径在范围内的五个桔柚分别为,现从中任取二个,求含桔柚的概率.‎ 附:,.‎ ‎20.已知分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线与椭圆交于两点,且,试求点到直线的距离.‎ ‎21.已知函数,其中.‎ ‎(1)试讨论函数的单调性及最值;‎ ‎(2)若函数不存在零点,求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设|与的交点为,求的面积.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若对任意实数恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查 文科数学试题答案及评分参考 说明:‎ ‎1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ ‎3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分.‎ ‎(1)B (2)B (3)A (4) C (5)D (6) C ‎(7)C (8)C (9)B (10)D (11)D (12)A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.‎ ‎(13) (14) (15) (16) ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎ ‎ ‎(17)(满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由,得……………(2分)‎ 因为所以…………(4分)‎ ‎……………(6分)‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎……………(7分)‎ ‎……………(9分)‎ ‎…………(11分)‎ ‎……………(12分)‎ ‎(18)(满分12分)‎ S C A B D D O 解析:(Ⅰ)法一:在内作,交于,连结,‎ 则由侧面底面, ‎ 得底面……………(2分)‎ 又,,‎ ‎,为等腰直角三角形,,‎ 又∩=,…………(5分)‎ 即…………(6分)‎ 法二:取中点,连结,,由侧面底面 得,…………(2分)‎ 由已知,‎ ‎,‎ 又∩=,…………(5分)‎ 即…………(6分)‎ ‎(Ⅱ)法一:‎ 平面∥平面,平面∩平面,平面∩平面 ‎…………(7分)‎ 到平面的距离相等//平面或中点在平面上 又平面,平面∩平面 ‎//或中点在上,‎ 或为平行四边形,即.…………(9分)‎ 所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC,则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点(或在l上到A距离为2的点即为点)…………(10分)‎ 其中…………(12分)‎ 法二:到平面的距离相等…………(8分)‎ 平面∥平面,平面∩平面,平面∩平面 ‎//或中点在上,‎ 或为平行四边形,即.……(11分)‎ 所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC,则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点(或在l上到A距离为2的点即为点)…………(12分)‎ ‎(19)(满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由以上统计数据填写列联表如下:‎ 甲基地 乙基地 合计 优质品 ‎420‎ ‎390‎ ‎810‎ 非优质品 ‎80‎ ‎110‎ ‎190‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎……………(2分)‎ ‎,‎ 所以,有95%的把握认为:“桔柚直径与所在基地有关”. ……………(4分)‎ ‎(Ⅱ)甲基地桔柚的优质品率为,乙基地桔柚的优质品率为,‎ 所以,甲基地桔柚的优质品率较高,……………(5分)‎ 甲基地的500个桔柚直径的样本平均数…(6分)‎ ‎ …………(8分)‎ ‎(Ⅲ)依题意:记“从甲基地直径在的五个桔柚A,B,C,D,E中任取二个,含桔柚A”为事件N.‎ 实验包含的所有基本事件:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),‎ ‎(B,E),(C, D),(C,E),(D,E)共10种.…………(9分)‎ 事件N包含的结果有:(A, B),(A, C),(A,D),(A,E)共4种.…………(10分)‎ 所求事件的概率为: …………(12分)‎ ‎(20)(满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由得:,化简得:,‎ 解得:或…………(2分)‎ 因为,所以,…………(3分)‎ 因为 ‎ 所以,则,又,…………(4分)‎ 所以椭圆的标准方程为:;…………(5分)‎ ‎(Ⅱ)由题意可知,直线不过原点,设,‎ ① 直线轴,直线的方程且,‎ 则 ‎ 由得: ,‎ 即,解得:,‎ 故直线的方程为,∴原点到直线的距离,…………(7分)‎ ‎②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,‎ 则,消去整理得:,‎ ‎,,…………(8分)‎ 则=‎ 由得, ‎ 故+,‎ 整理得:,‎ 即 ①…………(10分)‎ 原点到直线的距离,②…………(11分)‎ 将①代入②,则,∴,‎ 综上可知:原点到直线的距离.…………(12分)‎ ‎(21)(满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由 得:‎ ‎ ………2分 ⑴当时, 在单调递增,‎ 没有最大值,也没有最小值.………3分 ⑵若,‎ 当时, , 在单调递增………4分 ‎ 当时, , 在单调递减,………5分 ‎ 所以当时,取到最大值 ‎ 没有最小值.………6分 ‎(Ⅱ) ‎ 由 ……8分 ‎ 当 时, , 单调递增,‎ ‎ 当时, , 单调递减,‎ 所以当时 ,取到最大值, ……10分 ‎ 又 时, 有 ,‎ ‎ 所以要使没有零点,‎ ‎ 只需 ……11分 ‎ 所以实数的取值范围是: ……12分 ‎(22)解:(Ⅰ)直线的直角坐标方程为……………………………2分 圆的普通方程为因为,‎ 所以 的极坐标方程为……………………5分 ‎(Ⅱ)将代入,得,解得,故,即.………………………8分 由于圆的半径为,所以的面积为………………………10分 ‎(23)解:(Ⅰ)‎ ‎ …………………………1分 ‎ 得 ,不合题意,舍去…………………2分 ① ② ‎ 得 ,……………3分 ③ ‎ 得 ,……………4分 综上不等式的解集为…………………5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,则…………………7分 则,解得…………………9分 即实数的取值范围是…………………10分
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