2019届二轮复习（文）三角函数的性质学案（全国通用）

2019届二轮复习（文）三角函数的性质学案（全国通用）

‎【母题原题1】【2018新课标1，文8】已知函数，则学 ‎ A． 的最小正周期为π，最大值为3‎ B． 的最小正周期为π，最大值为4‎ C． 的最小正周期为，最大值为3‎ D． 的最小正周期为，最大值为4‎ ‎【答案】B 点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.‎ ‎【母题原题2】【2017新课标1，文15】已知，tanα=2，则= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以 ．‎ ‎【母题原题3】【2016新课标1，文12】若函数在单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【考点】三角变换及导数的应用 ‎【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 学 ‎ ‎【命题意图】‎ ‎（1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.‎ ‎（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.‎ ‎（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.学—— ‎ ‎（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.‎ ‎【命题规律】‎ 一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，；‎ 当时，．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 ‎,奇函数 ‎，偶函数 ‎，奇函数 单调性 在上是增函数；‎ 在上是减函数．‎ 在上是增函数；‎ 在上是减函数．‎ 在上是增函数．‎ 对称性 对称中心；‎ 对称轴，‎ 既是中心对称图形又是轴对称图形.‎ 对称中心；‎ 对称轴，‎ 既是中心对称图形又是轴对称图形.‎ 对称中心；‎ 无对称轴，‎ 是中心对称图形但不是轴对称图形. 学 ‎ 二、函数的图象与性质 ‎1．函数的图象的画法 ‎（1）变换作图法 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.‎ ‎ ‎ ‎（2）五点作图法 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： ‎ ‎①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； ‎ ‎②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：‎ 由此可得五个关键点； 学+ ‎ ‎③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.‎ ‎2．函数（A>0,ω>0）的性质 ‎（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. ‎ ‎（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .‎ ‎（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. ‎ ‎（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. ‎ 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.‎ ‎3．函数（A>0,ω>0）的物理意义 当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.‎ ‎【方法总结】 学 ‎ 函数图象的平移变换解题策略 ‎（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.‎ ‎（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.‎ 结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 ‎（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.‎ ‎（2）求ω，已知函数的周期T，则.‎ ‎（3）求φ，常用方法有：学 ‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：‎ ‎“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋‎ φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.‎ ‎1．【四川省资阳市高中2016级第一次诊断性考试】若函数在为增函数，则实数a的取值范围是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的辅助角公式，化简三角函数的解析式，合理利用三角函数的图象与性质是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 学 ‎ ‎2．【云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测卷】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若是偶函数，则的可能取值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.‎ ‎3．【安徽省2019届皖南八校高三第一次联考】若角满足，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式及二倍角的正弦、余弦函数公式即可求出值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 又，所以．‎ ‎【点睛】‎ 考查学生灵活运用诱导公式和二倍角公式求值问题．‎ ‎4．【重庆市铜梁一中2019届高三10月月考】在平面直角坐标系中,△ABC顶点坐标分别为A(0,0)、B、C若△ABC是钝角三角形,则正实数的取值范围是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理及其应用，考查基本分析求解能力. 学 ‎ ‎5．【云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测卷】函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象求周期得，再根据点坐标求，最后根据图象确定周期.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 已知函数的图象求解析式 ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.‎ ‎6．【山东省安丘市2019届高三10月份质量检测】函数的图象与x轴正半轴两交点之间的最小距离为，若要将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则的单调递增区间为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象与轴交点的最小距离求得函数的周期，进而求得的值，求得平移后的解析式，并由此求得函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 由于函数图象与轴正半轴两交点之间的最小距离为，即，即，向左平移得到，由，解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数的图象与性质，考查三角函数图象变换，考查三角函数单调区间的求法.由于本题的步骤较多，每一步都需要得到正确的结果，属于中档题. 学 ‎ ‎7．【山东省聊城一中2019届高三10月份阶段性检测】已知sin θ＋cos θ＝ ，则sin θ－cos θ的值为(　　)．‎ A． B． － C． D． －‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数间的基本关系以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解决本题的关键，属于基础题。‎ ‎8．【山东省聊城一中2019届高三10月份阶段性检测】已知向量，，∥，则等于 ( )‎ A． 3 B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量平行的坐标关系以及两角和与差的正切公式的应用，属于基础题。‎ ‎9．【黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第二次月考】设函数 ，则下列结论正确的是（   ）‎ A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称 C． 把 的图象向左平移 个单位，得到一个偶函数的图象 D． 的最小正周期为 ，且在 上为增函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将x=代入函数f（x）中得到f（）=sinπ=0，得到（，0）是其对称中心，判断出A错；B错误；根据函数图象平移的规律及偶函数的定义判断出C对；根据把整体角代入单调区间处理的方法判断出D错．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦函数的对称轴和对称中心、三角函数左右平移的规律、整体角代入单调区间的方法，正弦函数的图象与性质是解本题的关键．‎ ‎10．【宁夏银川一中2019届高三第三次月考】若，则=‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的诱导公式，化简得，即可求解. 学 ‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 又由，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11．【广东省华南师范大学附属中学2019届高三上学期第二次月考】若，且，则的值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数两角和与差公式和倍角公式，熟练掌握各个公式是解题的关键，属于基础题。‎ ‎12．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三上学期第三次月考】下列说法中正确的是 A． “”是“”的充要条件 B． 函数的图象向右平移个单位得到的函数图象关于轴对称 C． 命题“在中，若”的逆否命题为真命题 D． 若数列的前项和为，则数列是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质判断A，根据三角函数的性质判断B、C，举例判断D．‎ ‎【详解】‎ 若a=0，b=﹣1， log2a和log2b无意义，故A错误； 学 ‎ 若函数y=sin2x的图象向左平移个单位，函数的解析式为y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），图 象关于y轴对称，故B正确；‎ 在△ABC中，令A=，则sinA=＜，此命题是假命题，故其逆否命题为假命题，故C错 误；‎ 数列{1，2，5}和是8=23，但数列不是等比数列，故D错误；‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查充要条件的判断，考查四种命题及其关系，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 学, , ,X,X,K]‎ ‎13．【广东省华南师范大学附属中学2019届高三上学期第二次月考】同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图像性质，考查了其周期性、对称性、单调性等知识点，熟练运用图像性质来解题是关键。‎ ‎14．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三联合考试】函数在内的值域为 ‎，则的取值范围为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦函数的性质和图象，熟练运用公式进行化简求解，属于中档题。‎ ‎15．【陕西省汉中市汉中中学2019届高三数学（文）第三次月考】已知直线是函数的图像的一个对称轴，其中，且，则的单调递增区间是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】 学 ]‎ 将代入求得，再根据求得 ‎，得函数的解析式，即可求函数的单调区间.‎ ‎【详解】‎ ‎ 学 ]‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的性质及应用，通过代入法求要注意题目中对的限制；函数的单调区间是根据复合函数单调性“同增异减”的性质利用整体代换的思想来求解.‎