2018-2019学年陕西省汉中市高二第一学期期末校际联考数学（理科）试题 解析版

2018-2019学年陕西省汉中市高二第一学期期末校际联考数学（理科）试题 解析版

绝密★启用前 陕西省汉中市2018-2019学年高二第一学期期末校际联考数学（理科)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“如果，那么”的逆否命题是( )‎ A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 ‎【答案】C ‎【解析】本题考查逆否命题的定义。‎ 对于“若则”形式的命题，其逆否命题为“若则”。故选C。‎ ‎2．已知、分别是椭圆的左、右焦点，是此椭圆上一点，且点不在坐标轴上，若为直角三角形，则这样的点有（ ）‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的对称性，分类讨论，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，是椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，且点P不在坐标轴上，‎ 当为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；‎ 同时当为直角时，这样的点P有两个；‎ 综上当为直角三角形时，且点P不在坐标轴上的点共有4个，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其椭圆的对称性的应用，其中解中熟记椭圆的标准方程和几何性质，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎3．已知向量，，若与共线，则的值为（ ）‎ A．-7 B．7 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据与共线，得，求得的值，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，向量，‎ 因为与共线，则，解得，所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间向量的共线的应用，其中解答中根据空间向量的共线，列出相应的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．若 ，则（   ）‎ A．                               B．                              C．              D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，利用作差比较，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为，‎ 对于A中，，所以，所以不正确；‎ 对于B中，，所以，所以不正确；‎ 对于C中，，则，所以是正确的；‎ 对于D中，，则，所以不正确，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用不等式的性质比较大小问题，其中解答中根据不等式的性质，合理利用作差比较求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。‎ ‎5．命题“，且”的否定是（ ）‎ A．，且 B．，且 C．，或 D．，或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与存在性命题互为否定的关系，即可得到命题的否定，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“，且”的否定是“，或”，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎6．在中，角的对边分别是，若，，，则( )‎ A．3 B．4 C． D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，利用余弦定理，即可求解的长，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在中，由余弦定理得，‎ 所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中认真审题，合理利用余弦定理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算的能力，属于基础题.‎ ‎7．设正项等比数列{}的前项和为，且，则数列{}的公比为（ ）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正项等比数列的公比为，由等比数列的求和公式，解方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设正项等比数列的公比为，且，‎ 可得，则，‎ 整理得，即为，‎ 解得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8．在中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若，则是( )‎ A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．任意三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理及条件即可得出，于是。‎ ‎【详解】‎ ‎ 由正弦定理得：，又，‎ ‎，于是，即是等腰直角三角形 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了解三角形中的正弦定理得运用，判断三角形的类型，属于基础题.‎ ‎9．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( )‎ A．-8 B．-15 C．-20 D．-21‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可.‎ ‎【详解】‎ 满足约束条件，表示的可行域如图：‎ 目标函数经过坐标点A时，函数取得最小值，‎ 由 解得 ‎ 目标函数的最小值为-20.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划的截距式求最值，属于基础题.‎ ‎10．双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为双曲线渐近线为所以 考点：双曲线渐近线 ‎11．如图，三棱锥中，，，，且，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，故选C。‎ ‎12．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到此抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A．() B．() C．() D．()‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线方程求出焦点坐标，由抛物线的定义可知，当和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，求得点的横坐标，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据抛物线的方程，求得，则焦点坐标为，‎ 过点作准线的垂线，垂足为，则，‎ 依题意可知当和三点共线且点在中间时距离和最小，如图所示，‎ 所此时点的纵坐标为，代入抛物线的方程求得，‎ 即点的坐标为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义与几何性质的应用，其中解答中根据抛物线的定义，结合图象，等差当和三点共线且点在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了数形结合思想及转化思想的应用.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 由已知得：，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 故的最小值为 点睛：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用。在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则。根据，推断出，然后把整理成，进而利用基本不等式求得最小值。‎ ‎14．设、分别是双曲线的左、右焦点，若点在此双曲线上，且，则=__________．‎ ‎【答案】3或7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点在双曲线上，由双曲线的定义可知，根据，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线的方程，可得，‎ 因为点在双曲线上，由双曲线的定义可知，‎ 因为，代入解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的定义的应用，其中解答中熟记双曲线的定义，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15．若平面的一个法向量为，A(1，0，2)，B(0，-1，4)，Aα，Bα，则点到平面的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点到直线的距离公式，借助平面的法向量，利用公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，平面的一个法向量为，‎ 且，则，‎ 所以点A到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在几何问题中的应用，以及点到直线的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎16．要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，转化为，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，‎ 要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，‎ 根据二次函数的图象与性质，则满足，即，‎ 即，解得，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，转化为是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知在等比数列中，，，等数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用等比数列的性质求出公比q，可得出通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用等差数列的性质求出公差d，就出通项公式，继而求得前n项和。‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）等比数列中，∵，，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）∵等差数列满足，，‎ ‎∴ ，∴ ，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的综合，对等差数列、等比数列的性质，通项公式的运用，以及求和公式的掌握，属于基础题.‎ ‎18．在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点.用空间向量的知识解答下列问题：‎ ‎(Ⅰ)证明：∥平面；‎ ‎(Ⅱ) 证明：⊥平面.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，得到，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，利用向量的数量积，证得，，再利用线面垂直的判定定理，即可证得⊥平面.‎ ‎【详解】‎ 由题意，如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，. ‎ ‎(Ⅰ)可得，，所以，所以，‎ 又 平面，平面，‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）可得，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 又，∴⊥平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间向量在立体几何线面位置关系的判定与证明中的应用，其中解答中熟记空间向量在线面位置关系中的应用，合理利用向量共线和向量的数量积是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎19．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足.‎ ‎(Ⅰ) 若命题中椭圆的长轴长为短轴长的2倍，求实数的值；‎ ‎(Ⅱ) 命题是命题的什么条件？‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）充分不必要条件 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由命题A为真命题，解得，再由椭圆的长轴长为短轴长的2倍，列出方程即可求解.‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)命题成立的条件为，根据一元二次不等式解法，求得命题成立的条件为，再利用充要条件的判定方法，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)若命题A为真命题，则，解得：，‎ 若椭圆的长轴长为短轴长的2倍，‎ 即，解得：，‎ 又，∴实数的值为. ‎ ‎（Ⅱ）命题成立的条件为.‎ 由，得，∴命题成立的条件为，‎ ‎，‎ ‎∴命题是命题的充分不必要条件.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程，即充分不必要条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式，以及合理利用充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎20．已知抛物线的焦点到其准线的距离为，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于，两点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程及其焦点坐标；‎ ‎(Ⅱ) 求弦长的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）抛物线的方程，焦点的坐标为；（Ⅱ）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据抛物线的焦点到其准线的距离，求得，即可得出抛物线的标准方程和焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）把直线的方程与抛物线的方程联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线焦点弦的性质，即可求解弦的长.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由抛物线的焦点到其准线的距离为，得，即，‎ ‎∴抛物线的方程，焦点的坐标为. ‎ ‎（Ⅱ）直线的方程为，‎ 由，得，‎ 设，,则，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义应用和标准方程求解，以及抛物线的焦点弦的性质，其中解答中熟记抛物线的定义和抛物线的焦点弦的性质，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21．如图，椭圆经过点，且点到椭圆C的两焦点的距离之和为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 若，是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为，且直线与交于点，求证：点在直线上.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意，根据椭圆的定义，求得，再由点C在椭圆上，代入求得 ‎，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，‎ ‎，进而得到中点坐标，即可作出证明.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意，因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，∴，解得，‎ 又椭圆经过点，所以，解得，‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：∵线段的中垂线的斜率为，∴线段的斜率为-2，‎ 所以设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 设点，，， 则，‎ ‎，‎ 则，，所以，∴，‎ 所以点在直线上.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的定义的应用和标准方程的求解，同时考查了直线与椭圆的位置关系的应用，此类问题通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎22．如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎(Ⅱ) 求，，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由矩形和菱形所在的平面相互垂直，，进而证得平面，‎ 证得，再根菱形ABEF的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，即可证得 平面. ‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，‎ 建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD和平面ACG一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，‎ ‎∵矩形菱形，∴平面，‎ ‎∵AG平面，∴，‎ ‎∵菱形中，，为的中点，∴，∴，‎ ‎∵，∴平面. ‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，，则，，‎ 故，，，，‎ 则，，，‎ 设平面的法向量，则，‎ 取，得，‎ 设平面的法向量，则，‎ 取，得，‎ 设二面角的平面角为，则，‎ 由图可知为钝角，所以二面角的余弦值为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎