数学理卷·2018届河南省郑州一中高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届河南省郑州一中高三上学期期中考试（2017

郑州一中2017—2018学年上期中考 ‎18届高三数学理科试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎3．复数，，若是实数，则实数的值为（ ）‎ A．0 B． C．6 D．‎ ‎4．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知命题：对任意，总有；命题：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．等差数列的前项和为，若公差，，则当取最大值时，的值为（ ）‎ A．10 B．9 C．6 D．5‎ ‎7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎8．设满足约束条件，若目标函数（其中，）的最大值为3，则的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．已知函数对定义域内的任意都有，且当时其导函数满足，若则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当的周长最大时，的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数在上的最大值为，最小值，则（ ）‎ A．2017 B．2018 C．4034 D．4036‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．二项式展开式中项的系数为 ．‎ ‎14．设，向量，，，且，，则 ．‎ ‎15．若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是 ．‎ ‎16．数列满足，若为等比数列，则首项的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知中，角对边分别是，，且的外接圆半径为.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎18．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.‎ ‎（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；‎ ‎（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列及数学期望..‎ ‎19．如图，在六面体中，平面平面，平面，，.且，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求锐二面角的余弦值.‎ ‎20．设，是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量，，且，为坐标原点.‎ ‎（1）若直线过椭圆的焦点，（为半焦距），求直线的斜率的值；‎ ‎（2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知不等式.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若已知不等式的解集不是空集，求的取值范围.‎ ‎2017—2018学年上期中考 ‎18届高三数学理科答案 一、选择题 ‎1-5:ABCAB 6-10:DCACC 11、12：DD 二、填空题 ‎13．15 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由得 ‎.‎ 又∵，∴，∴‎ ‎∴.‎ 又∵，∴.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎∴当，即时，.‎ ‎18．解：（1）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 事件等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”‎ ‎（2）由题可知可能取值为0,1,2,3.‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 分布列：‎ ‎∴‎ ‎19．解：（1）设的中点为，连接，.易证：四边形是平行四边形.‎ ‎∴，且.‎ ‎∵平面平面，∴，‎ ‎∵，∴，且，∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴.又平面，平面，‎ 故平面.‎ ‎（2）由题意可得，两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎.设平面的法向量为，‎ 则，令，则.‎ 又平面的法向量.‎ ‎∴.‎ 由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.‎ ‎20．解：（1）由题可得：，，所以，椭圆的方程为 设的方程为：，代入得：‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴，即：‎ 即，解得：‎ ‎（2）当为顶点时，必为顶点，则 当不为顶点时，设的方程为，‎ 联立得：‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ 所以三角形的面积为定值1.‎ ‎21．解：（1）定义域为，‎ 若，，在上单调递增 若，，‎ 所以，当时，，当时，‎ 综上：若，在上单调递增；‎ 若，在上单调递增，在上单调递减 ‎（2）由（1）知，时，不可能成立；‎ 若，恒成立，，得 综上，.‎ ‎（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，即 令，得，即 ‎，得证.‎ ‎22．解：（1）由得，化为直角坐标方程为，即.‎ 所以圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得.‎ 由已知得，所以可设是上述方程的两根，‎ 则由题意得直线过点，结合的几何意义得 ‎23．解：（1）当时，不等式即为，‎ 若，则，，∴舍去；‎ 若，则，∴；‎ 若，则，∴.‎ 综上，不等式的解集为 ‎（2）设，则作出函数的图象，如图所示.‎ 由图象可知，，∴，，即的取值范围为.‎