2019-2020学年甘肃省武威市第六中学高二上学期第一次学段考试数学(理)试题(解析版)

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2019-2020学年甘肃省武威市第六中学高二上学期第一次学段考试数学(理)试题(解析版)

‎2019-2020学年甘肃省武威市第六中学高二上学期第一次学段考试数学(理)试题 一、单选题 ‎1.已知的顶点、在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,进而可得△ABC的周长 ‎【详解】‎ 椭圆 ,a=,长轴长2a= ‎ 设直线BC过椭圆的右焦点F2,根据椭圆的定义可知:‎ ‎|AB|+|BF2|=2a=,|AC|+|F2C|=2a=.‎ ‎∴三角形的周长为:|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|=4a= .故选:C ‎【点睛】‎ 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形称为“焦点三角形”,椭圆中焦点三角形的常用结论有:①|PF1|+|PF2|=2a;②当点P为短轴端点时,∠F1PF2最大;③焦点三角形的周长为2(a+c).‎ ‎2.双曲线的一个焦点坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线的方程得,利用即可得焦点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的方程为,则,得,‎ 即焦点为,其中一个焦点坐标为:.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查焦点坐标的求法,属于基础题.‎ ‎3.抛物线的准线方程是,则的值是( )‎ A. B. C.4 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将抛物线方程化成标准方程,再由准线方程,得到的方程,解得即可.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的标准方程为,其准线方程为,‎ 又抛物线准线方程为,得,解得.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程和性质,注意化成抛物线的标准方程,属于基础题.‎ ‎4.已知中心在原点的双曲线的一个顶点为,虚轴长为.则双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得双曲线的焦点在轴上,再根据已知条件得,,从而得的标准方程.‎ ‎【详解】‎ ‎∵中心在原点的双曲线的一个顶点为,则其焦点在轴上,得,‎ 又其虚轴长为,则,解得,∴的标准方程是:.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,注意焦点在哪个轴上,属于基础题.‎ ‎5.已知椭圆,长轴在轴上.若焦距为,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得,,则,又其焦距为,即,解得的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆方程的长轴在轴上,得,,‎ 则.又其焦距为,即,解得,‎ 所以,解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程和几何性质,考查椭圆中的参数的关系,注意焦点在轴上,属于基础题.‎ ‎6.设椭圆=的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m、n和c的关系求得n.‎ ‎【详解】‎ 抛物线, ,焦点坐标为 椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同 ‎ 椭圆的半焦距,即 , , 椭圆的标准方程为, 故选B.‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b和c的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.‎ ‎【考点】椭圆与抛物线的标准方程,及性质.‎ 点评:由抛物线的焦点,可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而,因而椭圆方程确定.‎ ‎7.相距米的两地,听到炮弹爆炸的时间相差2秒,若声速每秒米,则炮弹爆炸点的轨迹可能是( )‎ A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】由已知条件可得:,根据双曲线的定义可判断出答案.‎ ‎【详解】‎ 由已知条件可得:,‎ 根据双曲线的定义可知:点在以为焦点,实轴长为米的双曲线上.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线定义的应用,属于基础题.‎ ‎8.过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点,为其右焦点,若,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】把代入椭圆方程求得的坐标,进而根据,推断出,整理得,解得即可.‎ ‎【详解】‎ 已知椭圆的方程,由题意得把代入椭圆方程,‎ 解得的坐标为(﹣,)或(﹣,﹣),∵,∴,‎ 即.∴,∴=或=﹣(舍去).‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程及其简单的几何性质,也考查了直角三角形的性质,属于基础题.‎ ‎9.若点到双曲线的一条渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析:双曲线的一条渐近线为,由题意,化简得,所以,,故选A.‎ ‎【考点】双曲线的性质.‎ ‎10.为椭圆上的点,是两焦点,若,则的面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得,在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,|F1P|+|PF2|==,|F1F2|=4,利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值,从而可求得△PF1F2的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆,∴=,b=2,c=2.又∵P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°,‎ 且F1、F2为左右焦点,由椭圆的定义得|F1P|+|PF2|==,|F1F2|=4,‎ ‎∴|F1F2|2=|PF1|+|PF2|-2|PF1|•|PF2|cos60°‎ ‎=(|PF1|+|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°‎ ‎=32﹣3|F1P|•|PF2|‎ ‎=16‎ ‎∴|F1P|•|PF2|=,∴=|PF1|•|PF2|sin60°=××=.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义及其简单的几何性质,考查了余弦定理的应用与三角形的面积公式,属于中档题.‎ ‎11.椭圆与直线交于、两点,过原点与线段中点的直线的斜率为,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出、两点的坐标,把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到、两点的横纵坐标的和,则、中点坐标可求,由斜率公式列式可得的值.‎ ‎【详解】‎ 设点,,联立,得:,‎ ‎ ①.‎ ‎,‎ ‎=.‎ 设是线段的中点,∴().∴直线的斜率为.‎ 则,代入①满足△>0(>0,>0).‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了一元二次方程的根与系数关系,考查了斜率公式的应用,属于中档题.‎ ‎12.抛物线上的点到直线距离的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设抛物线上点,利用点到直线的距离公式表示出距离,然后利用二次函数性质求得其最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为点在抛物线上,设,则点到直线的距离 ‎,‎ ‎,当时,.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线上的点距离的最值问题,关键把距离表示为二次函数,借助二次函数性质解决问题,属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13.若是双曲线左支上一点,则的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线方程得,根据点在双曲线左支上,即可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 双曲线方程为:,其焦点在轴上,且,‎ 又因为点在双曲线左支上,所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的方程和简单的几何性质,属于基础题.‎ ‎14.抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为,且焦点在直线上.则抛物线的方程为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意,设抛物线的标准方程是,直线中,令可求得抛物线的焦点坐标,从而求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵抛物线的顶点在原点,对称轴是轴,∴设抛物线的标准方程为,‎ ‎∵其焦点在直线上,∴令得,∴焦点.‎ ‎∴,解得,∴抛物线的标准方程是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线标准方程的求法,确定抛物线的标准方程的类型及其焦点坐标是关键,属于基础题.‎ ‎15.直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点(点在轴的上方),若,则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意,按直线的斜率不存在和存在进行讨论,当直线的斜率存在时,设出直线的方程,联立直线和抛物线方程,根据抛物线的定义得点的横坐标,利用韦达定理,得点的横坐标,即可求出.‎ ‎【详解】‎ 由抛物线,得,‎ 当直线的斜率不存在时,得,这时,不满足题意,舍.‎ 当直线的斜率存在时,设直线方程为,‎ 联立,得.‎ 设,,则,‎ 根据抛物线的定义,得,解得,即,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了抛物线的定义,属于基础题.‎ ‎16.椭圆的左、右焦点分别为为椭圆E上任一点,且的最大值的取值范围是,其中,则椭圆E的离心率的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,得,,设椭圆E上任一点,则,将代入,消去得到关于的关系式,进而可得到当时,的值取到最大,进而可求出离心率的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得,,设椭圆E上任一点,‎ ‎∵,∴,∴,‎ ‎∴==,∵,‎ ‎∴当时,取到最大值为,即,‎ ‎∴,∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的简单性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.如图所示,在中,,且的周长为20.建立适当的坐标系,求顶点的轨迹方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以边所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,写出的坐标,由的周长为20,得,再根据椭圆的定义求出的轨迹方程.‎ ‎【详解】‎ 以边所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示,‎ 则,.因为,且的周长为20,所以. ‎ 根据椭圆的定义知,点的轨迹是以为焦点,长轴长为14的椭圆(除去与轴的交点).‎ 所以,,,即的轨迹方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求点的轨迹方程,也考查了椭圆方程定义的应用和三角形的周长,注意不在同一直线上,属于中档题.‎ ‎18.已知点的坐标分别是,直线与相交于点,且它们的斜率之积为,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】设出点的坐标,表示出直线,的斜率,求出它们的斜率之积,利用斜率之积是,建立方程,去掉不满足条件的点,即可得到点的轨迹方程.‎ ‎【详解】‎ 设动点,,则,整理得,且.‎ 即.‎ 当时,,表示圆心在原点,半径为2的圆;‎ 当,即且时,方程,表示椭圆(除去与轴两个交点); ‎ 当,即时,方程为,表示的双曲线(除去与轴两个交点).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程的求解,熟练掌握斜率的计算公式及椭圆,双曲线的标准方程是解题的关键,利用条件建立方程,属于中档题.‎ ‎19.点是椭圆一点,为椭圆的一个焦点,的最小值为,最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)直线被椭圆截得的弦长为,求的值 ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)利用已知条件求出椭圆的,然后求解,即可得到方程;‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理和弦长公式解得的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由点是椭圆一点,为椭圆的一个焦点,的最小值为,最大值为.‎ 可得,解得,进而,‎ 所以椭圆方程为:.‎ ‎(2)设直线与曲线的交点分别为 联立得,‎ ‎,即 又,‎ ‎,化简,‎ 整理得,∴,符合题意.‎ 综上,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,韦达定理的应用,属于中档题.‎ ‎20.双曲线与双曲线有共同的渐近线,且过点.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)若直线与双曲线左支交于两点,求的取值范围;‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)根据题意设双曲线的方程为,把点代入中,解得即可;‎ ‎(2)联立,由题意得设,且,利用韦达定理得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为双曲线与双曲线有共同的渐近线,所以设双曲线的方程为,‎ 把点代入中,即,解得,‎ 所以双曲线的方程为.‎ ‎(2)联立,消去得:,①‎ 因为直线与双曲线左支有两个交点,设,且,‎ 解不等式,解得:,即.‎ 综上:的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求双曲线的方程,直线与双曲线的位置关系,韦达定理的应用,属于中档题.‎ ‎21.已知为抛物线的焦点,过垂直于轴的直线被截得的弦的长度为.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)过点,且斜率为的直线被抛物线截得的弦为,若点在以为直径的圆内,求的范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】(1)抛物线的焦点为,把代入,截得的弦的长度为,解得即可;‎ ‎(2)由题意得直线方程为,联立,得:,设,且抛物线的,将问题转化为,利用韦达定理将代入解得即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)抛物线的焦点坐标为,把代入,‎ 得,所以,因此抛物线方程为.‎ ‎(2)设,过点,且斜率为的直线方程为,‎ 联立 ,消去得:‎ ‎,‎ 易知抛物线的,点在以为直径的圆内等价于,‎ 解得:,符合.‎ 综上:的范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线方程的求法,直线与抛物线的位置关系,向量数量积坐标的运算,韦达定理的应用,属于中档题.‎ ‎22.已知椭圆的左、右焦点为别为、,且过点和.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)如图,点为椭圆上一动点(非长轴端点),的延长线与椭圆交于点,的延长线与椭圆交于点,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)将点和代入椭圆方程解得,即可得椭圆方程;‎ ‎(2)当的斜率不存在时,易得;当的斜率存在时,设的方程为,联立,得:,设,利用韦达定理得,则,点到直线的距离是点到直线的距离的2倍,则,得;进行比较,得出面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)根据题意得,将点和代入椭圆方程得:,‎ 解得:,所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)由(1)得椭圆的,,‎ ‎①当的斜率不存在时,易知,‎ ‎;‎ ‎②当的斜率存在时,设直线的方程为,‎ 联立方程组,消去得:‎ 设,,‎ ‎,‎ 点到直线的距离,因为是线段的中点,所以点到直线的距离为,‎ 所以 综上,面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系,分类讨论的思想,弦长公式和点到直线的距离公式的应用,三角形面积的求法,属于中档题.‎
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