2017年上海市高考模拟数学

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2017 年上海市高考模拟数学 一、填空题(本大题满分 54 分，1-6 每小题 4 分，7-12 每小题 4 分) 1.计算： 43 21 =_____. 解析：利用二阶行列式对角线法则直接求解. 答案：-2. 2.设函数 f(x)= x 的反函数是 f-1(x)，则 f-1(4)=_____. 解析：先求出 x=y2，y≥0，互换 x，y，得 f-1(x)=x2，x≥0，由此能求出 f-1(4). 答案：16. 3.已知复数 z=1+ 3 ·i(i 为虚数单位)，则|z|=_____. 解析：利用复数模的计算公式即可得出. 答案：2. 4.函数 f(x)=sinx+ ·cosx，若存在锐角θ满足 f(θ)=2，则θ=_____. 解析：运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值. 答案： 6  . 5.已知球的半径为 R，若球面上两点 A，B 的球面距离为 3 R ，则这两点 A，B 间的距离为_____. 解析：两点 A、B 间的球面距离为 3 R ，可得∠AOB= 3  ，即可求出两点 A，B 间的距离. 答案：R. 6.若(2+x)n 的二项展开式中，所有二项式的系数和为 256，则正整数 n=_____. 解析：由题意可得：2n=256，解得 n=8. 答案：8. 7.设 k 为常数，且 cos( 4  -α)=k，则用 k 表示 sin2α的式子为 sin2α=_____. 解析：利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式， 同角三角函数基本关系式即可求解. 答案：sin2α=2k2-1. 8.设椭圆 2 2 4 x y =1 的两个焦点为 F1，F2，M 是椭圆上任一动点，则 12MF MF 的取值范围 为_____. 解析：由题意可知：焦点坐标为 F1(- 3 ，0)，F2( ，0)，设点 M 坐标为 M(x，y)，可得 y2=1- 2 4 x ， 12MF MF =(- -x，-y)·( -x，-y)=x2-3+1- = 23 4 x -2，则 x2∈[0，4]， 的取值范围为[-2，1]. 答案：[-2，1]. 9.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2-b2= bc，sinC=2 sinB，则 A 角大小为_____. 解析：先利用正弦定理化简 sinC=2 sinB，得到 c 与 b 的关系式，代入 a2-b2= bc 中得 到 a2 与 b2 的关系式，然后利用余弦定理表示出 cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出 cosA 的值，根据 A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的值. 答案： 6  . 10.设 f(x)=lgx，若 f(1-a)-f(a)＞0，则实数 a 的取值范围为_____. 解析：由题意，f(x)=lgx 在(0，+∞)上单调递增，利用 f(-a)-f(a)＞0，可得-a＞a＞0，即 可求出实数 a 的取值范围. 答案：(0， 1 2 ). 11.已知数列{an}满足：a1=1，an+1+an=( 1 3 )n，n∈N*，则 2lim nn a  =_____. 解析：由已知推导出 S2n= 3 8 (1- 2 1 3 n )，S2n-1=1+ 1 8 (1- 21 1 3 n )，从而 a2n=S2n-S2n-1= (1- )-[1+ (1- )]，由此能求出 2lim nn a  . 答案：- 3 4 . 12.已知△ABC 的面积为 360，点 P 是三角形所在平面内一点，且 11 44AP AB AC，则△ PAB 的面积为_____. 解析：取 AB 的中点 D，AC 的中点 E，则 P 为 DE 的中点，利用相似比，可得结论. 答案：90. 二、选择题(本大题满分 20 分) 13.已知集合 A={x|x＞-1}，则下列选项正确的是( ) A.0 A B.{0} A C.φ∈A D.{0}∈A 解析：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用 ，可得结论. 答案：B. 14.设 x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是( ) A.|x|≥1 B.|x+y|≥1 C.y≤-2 D.|x|≥ 1 2 且|y|≥ 1 2 解析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 答案：C. 15.图中曲线的方程可以是( ) A.(x+y-1)·(x2+y2-1)=0 B. 1xy·(x2+y2-1)=0 C.(x+y-1)· 221xy=0 D. · 221xy=0 解析：由图象可知曲线的方程可以是 x2+y2=1 或 x+y-1=0(x2+y2≥1)，即可得出结论. 答案：C. 16.已知非空集合 M 满足：对任意 x∈M，总有 x2M 且 x M，若 M {0，1，2，3，4，5}， 则满足条件 M 的个数是( ) A.11 B.12 C.15 D.16 解析：由题意 M 是集合{2，3，4，5}的非空子集，且 2，4 不同时出现，同时出现有 4 个， 即可得出结论. 答案：A. 三、解答题(本大题满分 76 分) 17.已知 A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC 与 底面所成角的大小为 3  ，过点 A 作截面 ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示. (1)求原来圆锥的侧面积； (2)求该几何体的体积. 解析：(1)设 BD 的中点为 O，连结 OA，OC，则 OA⊥平面 BCD.由经能求出 S 圆锥侧. (2)该几何体的体积 V= 1 3 (S△BCD+S 半圆)·AO，由此能求出结果. 答案：(1)设 BD 的中点为 O，连结 OA，OC， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA⊥平面 BCD. ∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为 ，过点 A 作截面 ABC，ACD， ∴在 Rt△AOC 中，OC=1，∠ACO= ， AC=2，AO= 3 ， ∴S 圆锥侧=πrl=π× 2 2 ×2=2π. (2)该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO= ，∠BCD=90°，∴CD= ， 该几何体的体积 V= (S△BCD+S 半圆)·AO= 1 1 3 31 3 33 2 2 6()      . 18.已知双曲线Γ： 22 22 xy ab =1(a＞0，b＞0)，直线 l：x+y-2=0，F1，F2 为双曲线Γ的两个 焦点，l 与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点. (1)求双曲线Γ的方程； (2)设Γ与 l 的交点为 P，求∠F1PF2 的角平分线所在直线的方程. 解析：(1)依题意，双曲线的渐近线方程为 y=±x，焦点坐标为 F1(-2，0)，F2(2，0)，即可 求双曲线Γ的方程； (2)设Γ与 l 的交点为 P，求出 P 的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2 的角平分线所在直 线的方程. 答案：(1)依题意，双曲线的渐近线方程为 y=±x，焦点坐标为 F1(-2，0)，F2(2，0)， ∴双曲线方程为 x2-y2=2； (2) 222 20 xy xy        P( 3 2 ， 1 2 )，显然∠F1PF2 的角平分线所在直线斜率 k 存在，且 k＞0， 1 1 7PFk  ， 2PFk =-1，于是 12 12 11 PF PF PF PF k k k k k k k k  k=3.∴y- =3(x- ) 3x-y-4=0 为所 求. 19.某租车公司给出的财务报表如下： 有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为 T= t ak ak  ·100%. (1)分别计算 2014，2015 年该公司的空驶率的值(精确到 0.01%)； (2)2016 年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程， 核算截止到 11 月 30 日，空驶率在 2015 年的基础上降低了 20 个百分点，问 2016 年前 11 个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？(分别精确到 0.01 元和 0.01 公里) 解析：(1)根据空驶率的计算公式为 T= t ak ak  ·100%，带入计算即可； (2)根据 T2016 的值，求出 k 的值，从而求出 2016 年前 11 个月的平均每单油费和平均每单里 程. 答案：(1)T2014=14.82 0.7 15 0.7 15   ·100%≈41.14%，T2015=14.49 0.7 15 0.7 15   ·100%≈38.00%， ∴2014、2015 年，该公司空驶率分别为 41.14%和 38.00%. (2)t2016= 653214963 50331996 ≈12.98，T2016=38%-20%=18%. 由 T2016=12.98 0.7 0.7 k k  ·100%≈18.00%k=15.71， ∴2016 年前 11 个月的平均每单油费为 12.98 元， 平均每单里程为 15.71km. 20.已知数列{an}，{bn}与函数 f(x)，{an}是首项 a1=15，公差 d≠0 的等差数列，{bn}满足： bn=f(an). (1)若 a4，a7，a8 成等比数列，求 d 的值； (2)若 d=2，f(x)=|x-21|，求{bn}的前 n 项和 Sn； (3)若 d=-1，f(x)=ex，Tn=b1·b2·b3…bn，问 n 为何值时，Tn 的值最大？ 解析：(1)由 a4，a7，a8 成等比数列，可得 2 7a =a4·a8，可得(15+6d)2=(15+3d)(15+7d)，化简 解出即可得出. (2)依题意，an=15+2(n-1)=2n+13，bn=|2n-8|，对 n 分类讨论，利用等差数列的求和公式即 可得出. (3)依题意，an=15-(n-1)=16-n，bn=e16-n，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二 次函数的单调性即可得出. 答案：(1)∵a4，a7，a8 成等比数列，∴ 2 7a =a4·a8，∴ (15+6d)2=(15+3d)(15+7d)，化为：d2+2d=0， ∵d≠0，∴d=-2. (2)依题意，an=15+2(n-1)=2n+13，bn=|2n-8|， ∴bn=|2n-8|= 8 2 4 2 8 4 nn nn    ， ， ＞ ， ∴Sn=|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|= 2 2 74 7 24 4 n n n n n n    ， ， ＞ . (3)依题意，an=15-(n-1)=16-n，bn=e16-n， Tn=b1·b2·b3·…·bn=  2 12 1 312n nna a aee   ， ∴当 n=15 或 16 时，Tn 最大. 21.对于函数 f(x)，若存在实数 m，使得 f(x+m)-f(m)为 R 上的奇函数，则称 f(x)是位差值 为 m 的“位差奇函数”. (1)判断函数 f(x)=2x+1 和 g(x)=2x 是否为位差奇函数？说明理由； (2)若 f(x)=sin(x+φ)是位差值为 4  的位差奇函数，求φ的值； (3)若 f(x)=x3+bx2+cx 对任意属于区间[- 1 2 ，+∞)中的 m 都不是位差奇函数，求实数 b，c 满足的条件. 解析：(1)根据“位差奇函数”的定义.考查 h(x)=g(x+m)-g(m)=2x+m-2m=2m(2x-1)即可， (2)依题意，f(x+ )-f( )=sin(x+ +φ)-sin( +φ)是奇函数，求出φ； (3)记 h(x)=f(x+m)-f(m)=(x+m)3+b(x+m)2+c(x+m)-m3-bm2-cm=x3+(3m+b)x2+(3m2+2bm+c)x.假 设 h(x)是奇函数，则 3m+b=0，此时 b=-3m≤ 3 2 .故要使 h(x)不是奇函数，必须且只需 b＞ . 答案：(1)对于 f(x)=2x+1，f(x+m)-f(m)=2(x+m)+1-(2m+1)=2x， ∴对任意实数 m，f(x+m)-f(m)是奇函数， 即 f(x)是位差值为任意实数 m 的“位差奇函数”； 对于 g(x)=2x，记 h(x)=g(x+m)-g(m)=2x+m-2m=2m(2x-1)， 由 h(x)+h(-x)=2m(2x-1)+2m(2-x-1)=0，当且仅当 x=0 等式成立， ∴对任意实数 m，g(x+m)-g(m)都不是奇函数，则 g(x)不是“位差奇函数”； (2)依题意，f(x+ 4  )-f( )=sin(x+ +φ)-sin( +φ)是奇函数，∴ +φ=kπφ=k π- (k∈Z). (3)记 h(x)=f(x+m)-f(m)=(x+m)3+b(x+m)2+c(x+m)-m3-bm2-cm=x3+(3m+b)x2+(3m2+2bm+c)x. 依题意，h(x)对任意 m∈[- 1 2 ，+∞)都不是奇函数， 若 h(x)是奇函数，则 3m+b=0，此时 b=-3m≤ 3 2 . 故要使 h(x)不是奇函数，必须且只需 b＞ ，且 c∈R.