湖南省永州市2020年高考第三次模拟（文科）数学试卷（含解析）

湖南省永州市2020年高考第三次模拟（文科）数学试卷（含解析）

湖南省永州市2020年高考第三次模拟（理科）数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，…．下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是（ ）‎ 发芽所需天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 种子数 ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ A．2 B．3 C．3.5 D．4‎ ‎4．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎5．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知向量，夹角为，， ，则（ ）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎7．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则（ ）‎ A．9 B．5 C．2或9 D．1或5‎ ‎9．已知函数，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为（ ）‎ ‎ ‎ A．3 B．3.4 C．3.8 D．4‎ ‎11．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为________．‎ ‎14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ‎________．‎ ‎15．已知数列为正项等比数列，，则的最小值为________．‎ ‎16．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥．当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分 ‎ ‎17．（本题满分12分）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，是与的等比中项．（1）求；（2）设数列满足，，求数列的通项公式．‎ ‎18．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点．（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离．‎ ‎19．（本题满分12分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口．某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：‎ 第天 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 产量y（单位：万个）‎ ‎76.0‎ ‎88.0‎ ‎96.0‎ ‎104.0‎ ‎111.0‎ ‎117.0‎ ‎124.0‎ ‎130.0‎ ‎135.0‎ ‎140.0‎ 对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：‎ m n ‎82.5‎ ‎3998.9‎ ‎570.5‎ ‎（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为．经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由．‎ 附：，；‎ ‎20．（本题满分12分）已知动圆E与圆外切，并与直线相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得，求直线l的斜率k的取值范围．‎ ‎21．（本题满分12分）设函数，．（1）求函数的极值；（2）对任意，都有，求实数a的取值范围．‎ ‎（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．‎ ‎22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy中，曲线C的方程为．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；（2）设P是椭圆上的动点，求面积的最大值．‎ ‎23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知．（1）解关于x的不等式：；（2）若的最小值为M，且，求证：．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D C A B A B B C D B D ‎1．解析：，故选D．‎ ‎2．解析：，故选D．‎ ‎3．解析：由图表可知，种子发芽天数的中位数为，故选C．‎ ‎4．解析：由于，故选A．‎ ‎5．解析：由于，，故选B．‎ ‎6．解析：由于，故选A．‎ ‎7．解析：由于，所以，又，故选B．‎ ‎8．解析：由于，所以，又且，故选B．‎ ‎9．解析：由于 ‎，故选C．‎ ‎10．解析：由图可知，该几何体的表面积为，解得，故选D．‎ ‎11．解析：由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数，所以，解得，故选B．‎ ‎12．解析：由已知可知，点的坐标为，，易知点坐标，将其代入椭圆方程得，所以离心率为，故选D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．‎ ‎13． 14．（写也得分） 15．27 16．‎ ‎13．解析：由于，，所以，由点斜式可得切线方程为．‎ ‎14．解析：由正弦定理可知，‎ ‎，即．‎ ‎15．解析：由等比数列的性质可知，‎ ‎．‎ ‎16．解析：设底面边长为，则斜高为，即此四棱锥的高为，‎ 所以此四棱锥体积为，‎ 令，‎ 令，易知函数在时取得最大值．‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 命题意图：第1问考查等差、等比数列基本量的运算及等差数列求和；‎ 第2问考查累加法求通项公式．‎ 解：（1）由题意可得即 2分 又因为，所以，所以． 4分 ‎ 6分 ‎（2）由条件及（1）可得． 7分 由已知得， 8分 所以 ‎． 11分 又满足上式，所以 12分 ‎18．（本题满分12分）‎ 命题意图：第1问考面面垂直的判定；‎ 第2问考查转化思想，利用等体积法求高和作高求高的方法．‎ ‎（1）因为棱柱是直三棱柱，所以 1分 又， 2分 所以面 3分 又，分别为AB，BC的中点 所以 4分 即面 5分 又面，所以平面平面 6分 ‎（2）由（1）可知 所以面 即点到平面的距离等于点到平面的距离 7分 方法一：连接，过点作交于点 因为面，所以 即面 8分 即的长就是点到平面的距离 9分 因为，由等面积法可知 求得 11分 所以到平面的距离等于 12分 方法二：设点到面的距离为 由（1）可知，面 8分 且在中，，‎ 易知 9分 由等体积公式可知 即 10分 由得 11分 所以到平面的距离等于 12分 ‎19．（本题满分12分）‎ 命题意图：第1问考查线性回归方程及学生的运算能力；‎ 第2问考查回归方程的拟合及其应用．‎ 解：（1）， 3分 由最小二乘法公式求得 5分 ‎ 6分 即所求回归方程为． 7分 ‎（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为 ‎（万个） 9分 用题中的二次函数模型求得的结果为 ‎（万个） 10分 与第11天的实际数据进行比较发现 ‎ 11分 所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好． 12分 ‎20．（本题满分12分）‎ 命题意图：第1问考轨迹方程的求法：定义法与坐标法；‎ 第2问考查直线与圆锥曲线位置关系及其参数范围等综合应用．‎ 解：（1）因为动圆与圆外切，并与直线相切，‎ 所以点到点的距离比点到直线的距离大． 2分 因为圆的半径为，‎ 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 4分 所以圆心的轨迹为抛物线，且焦点坐标为．‎ 所以曲线的方程．（用其他方法酌情给分） 5分 ‎（2）设，，‎ 由得，‎ 由得且． 6分 ‎， 7分 ‎，同理 由，得，‎ 即， 9分 所以，‎ 由，得且， 11分 又且，‎ 所以的取值范围为． 12分 ‎21．（本题满分12分）‎ 命题意图：第1问考查分类讨论思想与求函数的极值；‎ 第2问考查恒成立问题分类讨论思想、二阶导数、放缩法及其求参数范围等．‎ 解：（1）依题， 1分 当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值； 2分 当时，令，得，‎ 令，得 所以函数在上单调递增，‎ 在上单调递减． 3分 此时函数有极小值，‎ 且极小值为． 4分 综上：当时，函数无极值；‎ 当时，函数有极小值，‎ 极小值为． 5分 ‎（2）令 易得且， 6分 令 所以，‎ 因为，，从而，‎ 所以，在上单调递增． 7分 又 若，则 所以在上单调递增，从而，‎ 所以时满足题意． 8分 若，‎ 所以，，‎ 在中，令，由（1）的单调性可知，‎ 有最小值，从而． 9分 所以 10分 所以，由零点存在性定理：‎ ‎，使且 在上单调递减，在上单调递增． 11分 所以当时，．‎ 故当，不成立．‎ 综上所述：的取值范围为． 12分 注意：用洛必达法则解不给分．‎ ‎22．（本题满分10分）‎ 命题意图：第1问考查曲线的普通方程化极坐标方程和解极坐标方程组；‎ 第2问考查函数的最值问题．‎ 解：（1）曲线的极方程： 2分 联立，得， 5分 ‎（2）易知，直线． 6分 设点，则点到直线的距离 ‎（其中）． 9分 面积的最大值为． 10分 ‎23．（本题满分10分）‎ 命题意图：第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式；‎ 第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等．‎ 解：（1）当时，等价于，该不等式恒成立， 1分 当时，等价于，该不等式解集为， 2分 当时，等价于，解得， 3分 综上，或，‎ 所以不等式的解集为． 5分 ‎（2），‎ 易得的最小值为1，即 7分 因为，，，‎ 所以，，，‎ 所以 ‎， 9分 当且仅当时等号成立． 10分