湖南省三湘名校教育联盟2020届高三上学期第一次大联考数学（理）试题

湖南省三湘名校教育联盟2020届高三上学期第一次大联考数学（理）试题

三湘名校教育联盟·2020届高三第一次大联考 理科数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则的子集个数为（）‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,再求出,然后利用公式进行计算可得.‎ ‎【详解】，∴，∴子集个数为4．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题.‎ ‎2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的除法得，再求其共轭复数即可得解.‎ ‎【详解】由，可得.‎ 在复平面内对应的点为位于第三象限.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ）‎ A. 钱 B. 1钱 C. 钱 D. 钱 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5即可得解．‎ ‎【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，‎ 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，‎ 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题.‎ ‎4.已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，显然是奇函数，求导易得在R上单调递增.‎ ‎【详解】因为，显然是奇函数，‎ 又,所以在R上单调递增.只有C符合,‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.‎ ‎5.已知，均为单位向量，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．‎ ‎【详解】解：，均为单位向量，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．‎ ‎6.内角，，的对边分别为，，，则“‎ 为锐角三角形”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理可知时C一定为锐角，进而由充分必要条件的定义判断即可得解.‎ ‎【详解】当△ABC锐角三角形时，C一定为锐角，此时成立，‎ 当成立时，由余弦定理可得cosC＞0，即C为锐角，但此时△ABC形状不能确定，‎ 故为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断及余弦定理的应用，属于基础题.‎ ‎7.在中，，，，则的面积为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，进而得，再利用面积公式即可得解.‎ ‎【详解】因为，解得.‎ 所以.‎ 所以的面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎8.要得到函数的图象，只需将函数的图象 ‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】解：函数，‎ 故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎9.设，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过对数运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数的单调性可得 ,通过指数函数的性质可得 .‎ ‎【详解】，，，∴，，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题.‎ ‎10.定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，，．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.‎ ‎11.设函数，若关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为当时，恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.‎ ‎【详解】因为关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根 所以当时， ，有一根，‎ 当时，恒有两个正根，由二次函数的图象可知 对任意的恒成立，所以 解得．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.‎ ‎12.若，恒成立，则整数k的最大值为（）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 恒成立，即恒成立, 即的最小值大于k,再通过,二次求导可求得.‎ ‎【详解】恒成立，即恒成立，即的最小值大于k，，令，则，∴在上单调递增，又，，∴存在唯一实根a，且满足，．当时，，；当时，，，∴，故整数k的最大值为3．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.由曲线与直线围成的封闭图形的面积为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，，结合图像可知围成的封闭图形的面积.‎ ‎【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，，‎ 如图:‎ ‎ ‎ 结合图像可知围成的封闭图形的面积为．‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.‎ ‎14.已知向量，，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行可得，结合可得，结合诱导公式化简得即可得解.‎ ‎【详解】向量，，且，所以.‎ ‎.‎ 由，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题.‎ ‎15.已知是偶函数，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的定义,由 恒成立可得.‎ ‎【详解】由得，∴ ，．‎ ‎【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题.‎ ‎16.已知数列的前项和为，，，则当取最大值时，的值为______.‎ ‎【答案】674‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简条件可得，进而得，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解.‎ ‎【详解】由，可得.‎ 所以.‎ 从而有：是以为首项，-1为公差的等差数列.‎ 所以，所以.‎ 当时，递增，且；‎ 当时，递增，且.‎ 所以当时，取最大值.‎ 故答案为：674.‎ ‎【点睛】本题主要考查了和的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可；‎ ‎（2）先求得，再利用裂项求和即可得解.‎ ‎【详解】解析：（1）设公差为，则，解得，∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题.‎ ‎18.在中，角所对的边分别为，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）为边上一点，，，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1）由余弦定理可得，从而可得，进而得解；‎ ‎（2）在中，由正弦定理可得：,①，在中， ,②，联立①和②可得解.‎ 详解：（1）由已知条件和余弦定理得：‎ ‎ ‎ 即： ‎ 则 ‎ 又， .‎ ‎（2）在中，由正弦定理可得：,① ‎ 在中， ,②‎ 由①②可得：，即：,‎ 化简可得：.‎ 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎19.已知函数，，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）求的最大值及单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）,（2）最大值，单调递增区间为，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数的导数得，由得，从而得解；‎ ‎（2）由结合三角函数性质利用整体代换可求最值和单调区间.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，，，.‎ ‎（2），‎ 当，时，取得最大值.‎ 由得，，‎ ‎∴的单调递增区间为，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和性质及利用导数求函数切线，属于中档题.‎ ‎20.已知数列满足且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先令得，再由，与条件作差得；‎ ‎（2）由，利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】解析：（1）当时，，由得.‎ 当时，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵也适合，∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴，，‎ 两式相减得，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数导数得，分别讨论和时导数的正负从而得函数的单调性；‎ ‎（2）令，则，，讨论，和 时，利用导数研究函数单调性进而得解.‎ ‎【详解】（1），‎ 若，则，在上单调递增；‎ 若时，由得，由得，∴在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）当时，，即，令，则，，‎ 当时，，满足题意；‎ 当时，，∴在上递增，由与的图像可得在上不恒成立；‎ 当时，由解得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ ‎∴在上的最小值为，∴，解得.‎ 综上可得实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数导数的应用及分类讨论的思想，利用导数研究函数最值解决恒成立问题，属于难题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若有两个零点，求a的取值范围；‎ ‎（2）设，，直线的斜率为k，若恒成立，求a 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导得,当时,可得在上是增函数，不可能有两个零点, 当时,利用导数可以求得函数在定义域内的最大值为,由，解得.然后根据, 得到在上有1个零点；根据,,得到在上有1个零点,可得的取值范围.‎ ‎(2)利用斜率公式将恒成立,转化为,即在上是增函数,再求导后,分离变量变成,最后用基本不等式求得最小值,代入即得.‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎①当时，，在上是增函数，不可能有两个零点；‎ ‎②当时，在区间上，；在区间上，．‎ ‎∴在是增函数，在是减函数，，解得，此时，且，∴在上有1个零点；‎ ‎，‎ 令，则，∴在上单调递增，‎ ‎∴，即，∴在上有1个零点．‎ ‎∴a的取值范围是．‎ ‎（2）由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上是增函数，‎ ‎∴在上恒成立，∴，‎ ‎∵，∴，当且仅当时，即取等号，∴．‎ ‎∴a取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用基本不等式求最值,属难题.‎ ‎ ‎