2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版） 第七章 立体几何与空间向量 第2节 空间点直线平面的位置关系

2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版） 第七章 立体几何与空间向量 第2节 空间点直线平面的位置关系

‎ 第2节　空间点、直线、平面的位置关系 考试要求　1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；2.了解四个公理和一个定理.‎ 知 识 梳 理 ‎1.平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.‎ ‎(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.‎ ‎2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b是异面直线 a⊂α ‎3.平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.‎ 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.‎ ‎4.异面直线所成的角 ‎(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).‎ ‎(2)范围：.‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；‎ 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；‎ 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.‎ ‎2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(　　)‎ ‎(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(　　)‎ ‎(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.(　　)‎ 解析　(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.‎ ‎(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.‎ 答案　C ‎3.(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)‎ A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析　如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以 EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.‎ 答案　B ‎4.(2019·聊城调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　)‎ A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 解析　依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.‎ 答案　D ‎5.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)‎ 解析　法一　对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.‎ ‎　　‎ 图(1)　　　　　　　　图(2)‎ 法二　对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.‎ 答案　A ‎6.(2018·宁波月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.‎ 解析　在EF上任意取一点M，如图，‎ 直线A1D1与M确定一个平面，‎ 这个平面与CD有且仅有1个交点N，‎ 当M取不同的位置就确定不同的平面，‎ 从而与CD有不同的交点N，‎ 而直线MN与这3条异面直线都有交点.‎ 故在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.‎ 答案　无数 考点一　平面的基本性质及应用 ‎【例1】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：‎ ‎(1)E，C，D1，F四点共面；‎ ‎(2)CE，D1F，DA三线共点.‎ 证明　(1)如图，连接CD1，EF，A1B，‎ 因为E，F分别是AB和AA1的中点，‎ 所以EF∥A1B且EF＝A1B.‎ 又因为A1D1綉BC，‎ 所以四边形A1BCD1是平行四边形.‎ 所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，‎ 所以EF与CD1确定一个平面α.‎ 所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面.‎ ‎(2)由(1)知，EF∥CD1，且EF＝CD1，‎ 所以四边形CD1FE是梯形，‎ 所以CE与D1F必相交.设交点为P，‎ 则P∈CE⊂平面ABCD，‎ 且P∈D1F⊂平面A1ADD1，‎ 所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.‎ 又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，‎ 所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点.‎ 规律方法　1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.‎ ‎2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.‎ ‎3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.‎ ‎【训练1】 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.‎ ‎(1)求证：E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.‎ 证明　(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，‎ ‎∴EF∥BD.‎ ‎∵在△BCD中，＝＝，‎ ‎∴GH∥BD，∴EF∥GH.‎ ‎∴E，F，G，H四点共面.‎ ‎(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，‎ ‎∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.‎ ‎∴P为平面ABC与平面ADC的公共点.‎ 又平面ABC∩平面ADC＝AC，‎ ‎∴P∈AC，∴P，A，C三点共线.‎ 考点二　判断空间直线的位置关系 ‎【例2】 (1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 ‎(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)‎ A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直 解析　(1)法一　由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.‎ 法二　如图(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.‎ ‎(2)折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.‎ 答案　(1)D　(2)C 规律方法　1.异面直线的判定方法：‎ ‎(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.‎ ‎(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.‎ ‎2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·湘潭调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　)‎ A.①③ B.②③‎ C.②④ D.②③④‎ ‎(2)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　)‎ A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 解析　(1)由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面.故选C.‎ ‎(2)在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.故选D.‎ 答案　(1)C　(2)D ‎考点三　异面直线所成的角　多维探究 角度1　求异面直线所成的角或其三角函数值 ‎【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　法一　如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.‎ 因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，‎ AD1＝＝2，‎ DM＝＝，‎ DB1＝＝.所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，‎ 得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.‎ 法二　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，‎ 所以＝(－1，0，)，＝(1，1，).‎ 则cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.‎ 答案　C 角度2　由异面直线所成角求其他量 ‎【例3－2】 在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________.‎ 解析　如图，取BC的中点O，连接OE，OF.‎ 因为OE∥AC，OF∥BD，‎ 所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD 所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.‎ 答案　或 规律方法　用平移法求异面直线所成角的一般步骤：‎ ‎(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；‎ ‎(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.‎ ‎【训练3】 (2019·杭州模拟)三棱锥A－BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，‎ ‎∵M是AD的中点，‎ ‎∴MO∥AN，‎ ‎∴∠BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角.‎ 设三棱锥A－BCD的所有棱长为2，‎ 则AN＝BM＝DN＝＝，‎ 则MO＝AN＝＝NO＝DN，‎ 则BO＝＝＝.‎ 在△BMO中，由余弦定理得 cos∠BMO＝＝＝，‎ ‎∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为.‎ 答案　D ‎[思维升华]‎ ‎1.主要题型的解题方法 ‎(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).‎ ‎(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上.‎ ‎2.判定空间两条直线是异面直线的方法 ‎(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.‎ ‎(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.‎ ‎3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.‎ ‎2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是(　　)‎ A.① B.①④ C.②③ D.③④‎ 解析　显然命题①正确.‎ 由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.‎ 命题③中，两个平面重合或相交，③错.‎ 三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.‎ 答案　B ‎2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)‎ A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析　由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.‎ 答案　C ‎3.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　　)‎ A.12对 B.24对 C.36对 D.48对 解析　如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对).‎ 答案　B ‎4.下列命题中正确的个数为(　　)‎ ‎①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线.‎ ‎②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；‎ ‎③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 解析　在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P，Q，R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错.‎ 答案　C ‎5.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　连接BC1，易证BC1∥AD1，‎ 则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.‎ 连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，‎ 则A1C1＝，A1B＝BC1＝，‎ 在△A1BC1中，由余弦定理得 cos∠A1BC1＝＝.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6.给出下列四个命题：‎ ‎①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；‎ ‎②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；‎ ‎③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；‎ ‎④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.‎ 其中真命题的序号是________.‎ 解析　①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点.②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交.③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面.④错误，这三条直线可以交于同一点，但不一定在同一平面内.‎ 答案　①②③‎ ‎7.(2019·西安模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________.‎ 解析　如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，‎ 在△AGP中，AG＝GP＝AP，‎ 所以∠APG＝.‎ 答案　 ‎8.矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为________.‎ 解析　根据题意，初始状态，直线AD与直线BC成的角为0，当BD＝时，AD⊥DB，AD⊥DC，且DB∩DC＝D，‎ 所以AD⊥平面DBC，又BC⊂平面DBC，故AD⊥BC，‎ 直线AD与BC成的角为，‎ 所以在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，‎ ‎(1)求AC与A1D所成角的大小；‎ ‎(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.‎ 解　(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而∠B1CA就是AC与A1D所成的角.‎ 因为AB1＝AC＝B1C，‎ 所以∠B1CA＝60°.‎ 即A1D与AC所成的角为60°.‎ ‎(2)连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，‎ 因为E，F分别为AB，AD的中点，‎ 所以EF∥BD，所以EF⊥AC.‎ 所以EF⊥A1C1.‎ 即A1C1与EF所成的角为90°.‎ ‎10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1，H，O三点共线.‎ 证明　如图，连接BD，B1D1，‎ 则BD∩AC＝O，‎ ‎∵BB1綉DD1，‎ ‎∴四边形BB1D1D为平行四边形.‎ 又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，‎ 则H∈平面BB1D1D，‎ ‎∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.‎ 故D1，H，O三点共线.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.(2019·青岛质检)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A.l1⊥l4‎ B.l1∥l4‎ C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.‎ 若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直.‎ 因此l1与l4的位置关系不能确定.‎ 答案　D ‎12.(2019·珠海模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为(　　)‎ A. B.2 C. D.4‎ 解析　取A′D的中点N，连接PN，MN.‎ ‎∵M是A′C的中点，‎ ‎∴MN∥CD，且MN＝CD，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，‎ ‎∴PB∥CD，且PB＝CD，‎ ‎∴MN∥PB，且MN＝PB，‎ ‎∴四边形PBMN为平行四边形，‎ ‎∴MB∥PN，‎ ‎∴∠A′PN(或其补角)是异面直线BM与PA′所成的角.‎ 在Rt△A′PN中，tan∠A′PN＝＝，‎ ‎∴异面直线BM与PA′所成角的正切值为.‎ 答案　A ‎13.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号).‎ ‎①AC⊥BE；‎ ‎②B1E∥平面ABCD；‎ ‎③三棱锥E－ABC的体积为定值；‎ ‎④B1E⊥BC1.‎ 解析　因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，则VE－ABC＝V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误.‎ 答案　①②③‎ ‎14.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.‎ ‎(1)求四棱锥O－ABCD的体积；‎ ‎(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.‎ 解　(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，‎ 所以四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.‎ ‎(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，∴ME∥OC，‎ 则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，‎ ‎∵()2＋()2＝()2，即DE2＋EM2＝MD2，‎ ‎∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，‎ ‎∴tan∠EMD＝＝＝.‎ ‎∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.‎ 新高考创新预测 ‎15.(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列结论正确的有(　　)‎ A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 解析　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A，B错误，易得C，D正确.‎ 答案　CD