高考文科数学复习：夯基提能作业本 (33)
第五节 指数与指数函数
A组 基础题组
1.若a=(2+3)-1,b=(2-3)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是( )
A.1 B.14 C.22 D.23
2.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)已知a=243,b=425,c=2513,则( )
A.b
0,且a≠1)满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
4.(2016浙江绍兴一中月考)函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( )
A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
(2)若不等式1ax+1bx-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
9.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]上的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.
B组 提升题组
10.已知奇函数y=f(x),x>0,g(x),x<0.如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)对应的图象如图所示,那么g(x)=( )
A.12-x B.-12x C.2-x D.-2x
11.已知函数f(x)=ex,如果x1,x2∈R,且x1≠x2,则下列关于f(x)的性质:
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;②y=f(x)不存在反函数;③f(x1)+f(x2)<2fx1+x22;④方程f(x)=x2在(0,+∞)上没有实数根,其中正确的是( )
A.①② B.①④ C.①③ D.③④
12.设f(x)=|3x-1|,cf(a)>f(b),则下列关系中一定成立的是( )
A.3c>3a B.3c>3b
C.3c+3a>2 D.3c+3a<2
13.若函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a= .
14.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x在[0,+∞)上是增函数,则a= .
15.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
A组 基础题组
1.D a=(2+3)-1=2-3,b=(2-3)-1=2+3,∴(a+1)-2+(b+1)-2=(3-3)-2+(3+3)-2=112-63+112+63=23.
2.A 因为a=243=423,c=2513=523,函数y=x23在(0,+∞)上单调递增,所以423<523,即a0,所以a=13,因此f(x)=13|2x-4|.
根据复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
4.A 由题意知a>1,所以f(-4)=a3, f(1)=a2,由y=ax(a>1)的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).
5.答案 4;2
解析 由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,故满足题意的定义域可以为[-2,m](0≤m≤2)或[n,2](-2≤n≤0),故区间[a,b]的最大长度为4,最小长度为2.
6.答案 5±12
解析 若01,则a-a-1=1,即a2-a-1=0,
解得a=1+52或a=1-52(舍去).
综上所述,a=5±12.
7.答案 e
解析 由于f(x)=max{e|x|,e|x-2|}=ex,x≥1,e|x-2|,x<1.
当x≥1时, f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;
当x<1时, f(x)>e.
故f(x)的最小值为f(1)=e.
8.解析 (1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),
所以b·a=6,b·a3=24,解得a2=4,
又a>0,所以a=2,则b=3.
所以f(x)=3·2x.
(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,12x+13x-m≥0恒成立,
即m≤12x+13x在x∈(-∞,1]时恒成立.
因为y=12x与y=13x均为减函数,所以y=12x+13x也是减函数,
所以当x=1时,y=12x+13x在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为56.所以m≤56,即m的取值范围是-∞,56.
9.解析 (1)当a=1时, f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,
令t=2x,则t∈18,1.
故y=2t2-t-1=2t-142-98,t∈18,1,故y∈-98,0.
即f(x)在x∈[-3,0]上的值域为-98,0.
(2)令m=2x,则m∈(0,+∞).
关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.
记g(m)=2am2-m-1,
当a=0时,m=-1<0,不符合题意.
当a<0时,g(m)图象的开口向下,对称轴m=14a<0,过点(0,-1),不符合题意.
当a>0时,g(m)图象的开口向上,对称轴m=14a>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以a>0.
综上所述,a的取值范围是(0,+∞).
B组 提升题组
10.D 由题图知f(1)=12,∴a=12,则f(x)=12x,由题意得g(x)=-f(-x)=-12-x=-2x,故选D.
11.B 因为e>1,所以f(x)=ex为定义域内的增函数,故①正确;函数f(x)=ex的反函数为y=ln x(x>0),故②错误; f(x1)+f(x2)=ex1+ex2>2ex1ex2=2ex1+x2=2fx1+x22,故③错误;作出函数f(x)=ex和y=x2的图象(图略)可知,两函数图象在(0,+∞)内无交点,故④正确.选B.
12.D 画出f(x)=|3x-1|的图象,如图所示,要使cf(a)>f(b)成立,则有c<0,且a>0.
∴f(c)=1-3c, f(a)=3a-1,又f(c)>f(a),
∴1-3c>3a-1,即3a+3c<2.
13.答案 3
解析 当a>1时, f(x)=ax-1在[0,2]上为增函数,
则a2-1=2,∴a=±3.又∵a>1,∴a=3.
当00,即m<14.
当a>1时, f(x)=ax为增函数,
由题意知a2=4,a-1=m⇒m=12,与m<14矛盾.
当00对任意x∈R都成立,
∴f(x)在R上是增函数.
∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则
f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立
⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立
⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立
⇔t2+t≤x2+x=x+122-14对一切x∈R都成立
⇔t2+t≤(x2+x)min=-14⇔t2+t+14=t+122≤0,
又t+122≥0,∴t+122=0,∴t=-12,
∴存在t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.