数学理卷·2018届福建省晋江市永春县第一中学高二下学期期末考试（2017-07）

数学理卷·2018届福建省晋江市永春县第一中学高二下学期期末考试（2017-07）

永春一中高二年期末考（理科）数学试卷 （2017.07）‎ 命题：李金进 审核:郭文伟 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I卷和第II卷两部分 第I卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎1.已知集合，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数满足 ，则复数的共轭复数为(　) ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知数列的前项和满足：，且，，则（ ）‎ A. 256 B. ‎512 C. 1023 D. 1024‎ ‎4. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的是（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎ C.12 D. 180‎ ‎6. 的展开式中的系数为（ ）‎ A．100 B．‎15 C．-35 D．-20‎ ‎7. 已知函数, 则函数的图象（ ）‎ A.关于直线对称 B.关于点直线对称 C.一个周期为 D.在区间上为减函数 ‎8. 已知点P满足，过点P的直线与圆相交于A、B两点，则的最大值为（　）‎ A．4 B． C． D．8‎ ‎9. 中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为13.5（立方寸），则图中的为（ ）‎ A．1.2 B．‎1.8 C．1.6 D．2.4‎ ‎10. 已知双曲线：的右焦点为，离心率为， 若以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于点，且的面积为16，则双曲线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 正方体中，分别是的中点，,则过的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13. 在一个列联表中，经计算得，则有不低于 %的把握确认这两个变量间有关系.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎14. 已知数列满足 ,前项和为满足, 则数列的前项和__________.‎ ‎15. 某超市发生一起盗窃案，警方经严密侦查后发现作案者为甲、乙、丙、丁四人中的一人，并且警察对这四人进行询问情况如下：甲说：不是我干的；乙说：不是我干的；丙说：是甲干的；丁说：是丙干的.若已知这四人中只有一人说了真话，那么作案者是 . ‎ ‎16. 已知函数，，若存在两点，，，使得直线与函数和的图象均相切，则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 四边形如图所示，已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）记与的面积分别是与，求的最大值.‎ ‎18.某班级为更好地促进同学互助工作的开展，从高一年第一学期就将本班级同学按一定的标准两两分为一组，规定：若同一组的两名同学在本学期的期中、期末两次考试中成绩优秀的次数相等，而且都不少于一次，则称该组为“最佳搭档”，已知甲、乙两同学分在同一组，甲每次考试成绩优秀的概率都为，乙每次考试成绩优秀的概率都为，每次考试成绩相互独立，互不影响。‎ （1） 若，求在本学期中，已知甲两次考试成绩优秀的条件下，该组荣获“最佳搭档”‎ 的概率；‎ （1） 设在高一，高二四个学期中该组获得“最佳搭档”的次数为，若的数学期望，求的取值范围．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，是平行四边形，平面，,，，. ，，分别为，，的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。‎ ‎20. 已知椭圆：的左右焦点分别为， 点在椭圆上，且的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线：交椭圆于两点，若，求的值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数（）.‎ ‎（Ⅰ）当时，判断函数的零点个数；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线 的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）设函数．当时，，求的取值范围．‎ 永春一中高二年期末考（理科）数学参考答案（2017.07）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B D C A D C D A C A A 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．99 14． 15．乙 16． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 请在答题卡各自题目的答题区域内作答。‎ ‎17.解：（1）在中，，‎ 在中，，‎ 所以.‎ ‎（2）依题意，，‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以.‎ 解得，‎ 所以，‎ 当时取等号，即的最大值为14. ‎ ‎18.解：（1）设“甲两次成绩优秀”为事件，“该组荣获最佳搭档”为事件，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）在一学期中，甲乙两名同学组成的小组荣获“最佳搭档”的概率为 ‎．‎ 而，所以，‎ 由知解得，‎ ‎∴．‎ ‎19．解：(1)证明：如图19-1‎ ‎………1分 ‎………2分 而 ‎………………3分 ‎………5分 ‎………6分 ‎(2)法1：如图19-2，设的中点为，连结，，. ‎ 易知所以四点共面 ‎,分别为，，的中点 ‎………7分 同理 又 ‎…8分 二面角即为平面与平面所成的锐二面角 ……9分 ‎,,……10分 且 就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角 …11分 ‎ ………12分 法2：如图19-3，设的中点为，连结，，.作于点 易知所以四点共面 ………7分 又………8分 ‎………9分 又由(1)知 的法向量…10分 ‎………11分 设平面与平面所成锐二面角的大小为，则 ‎ ………12‎ 法3：如图19-4，‎ ‎ ………1分 又………2分 建立如右图所示坐标系,则 ‎,,,‎ ‎, ………4分 ‎(1) ………5分 ‎………6分 ‎(2) 设的一个法向量为,则 由得 ………7分 解得 ………8分 又而，‎ 平面，为平面的一个法向量 ………10分 ‎ ………11分 平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为 ………12分 ‎20.解：（1）由题意可得 又，解得 ‎ ‎∴椭圆的方程为：.‎ ‎（2）由得 ‎ 即：，可得 设 联立得 ‎ ‎ ‎ 整理化简得 ‎ 解得 ‎ ‎21.解：（Ⅰ）当时， ，的定义域为，‎ 当时， ，所以函数在内无零点；‎ 当时， ，‎ 因为， ，‎ 所以，说明函数在上单调递减，‎ 又，‎ 当时， ，‎ 所以函数在内有且只有一个零点；‎ 综上，函数的零点个数是1； ‎ ‎（Ⅱ）若，即，‎ 设，‎ 若，则当时，显然，故不符合题意，所以. ‎ ‎（），‎ 当时， ，所以在上单调递增；‎ 当时， ，所以在上单调递减；‎ 从而，‎ 由题意可知，所以， ‎ 此时，令， ，‎ 可知在上单调增，在上单调减，‎ 所以，故的最大值为.‎ ‎22.解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）曲线是圆心为半径为2的圆，∴射线的极坐标方程为 代入，可得．‎ 又，∴，‎ ‎∴．‎ ‎23．解：（Ⅰ）当时，.解不等式，得，‎ 因此，的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 当时等号成立，所以当时，等价于. ① ‎ 当时，①等价于，无解；‎ 当时，①等价于，解得，‎ 所以的取值范围是.‎