2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，集合，则A∪B等于（ ）‎ A．｛0｝ B．｛0，1｝ C．｛0，1，3｝ D．｛0，1，2，3｝‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出、的补集，再求并集．‎ ‎【详解】‎ 由已知，，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，掌握交并补集运算的定义是解题基础．‎ ‎2．已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】证明两个命题：和两个命题的真假即可．‎ ‎【详解】‎ 当时，必有，但是若则或．‎ ‎∴“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，是的充分条件命题为真，是的必要条件命题为真，是的充要条件命题为真．‎ ‎3．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】可从等价命题考虑，即为真命题．‎ ‎【详解】‎ 命题“，”为假命题，即命题“”为真命题．‎ ‎∴，∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由命题的真假求参数取值范围．在数学中出现否定性命题时，通常从它的反面入手较方便．象本题命题是假命题，因此命题的否定是真命题，这样容易列出相应的关系，便于求解．‎ ‎4．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先解不等式得出集合，，然后再求交集．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，解题时可先确定两集合中的元素，然后再求交集．能解一元二次不等式和分式不等式是解题基础．‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先确定奇偶性，再确定单调性．‎ ‎【详解】‎ 四个函数中偶函数的有B、C、D，在上B、C都是递增，只有D是递减．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．‎ ‎6．幂函数的图象经过点，若，则下列各式正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出幂函数的解析式，再确定其单调性．‎ ‎【详解】‎ 设，则，，即，‎ 函数在上是减函数，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的解析式，考查幂函数的单调性．属于基础题．‎ ‎7．设函数的定义域为，满足，且当时．当时，函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】按递推关系求出函数在时的解析式，然后再求值域．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，‎ 当时，则，，‎ 当时，，．‎ ‎，‎ 显然，，‎ 当时，， ‎ ‎∴所求值域是．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的值域，解题时需要先求出函数解析式，然后由二次函数性质求得值域．难度不大．本题难点在于求解析式．‎ ‎8．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先确定表示的范围，再根据必要不充分条件对应用关系列出不等式．‎ ‎【详解】‎ 命题：，即，：，即，‎ 是的必要不充分条件，即为是的必要不充分条件，‎ ‎∴且两者不能同时取等号，解得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件与必要条件，解题时掌握充分必要条件与集合间包含关系之间的联系：‎ 对应集合，对应集合，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，‎ ‎9．已知是幂函数，对任意的，且 ‎，满足，若，且，，则的值（ ）‎ A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 ‎【答案】A ‎【解析】先求出幂函数解析式，再根据幂函数的奇偶性与单调性得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，或，‎ 又对任意的，且，满足，∴在上是增函数．‎ 时，，不合题意，‎ 时，，满足题意，‎ ‎∴，是奇函数，∴在是是增函数，‎ ‎，不妨设，则，‎ ‎∴，即，∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求幂函数解析式，考查函数的单调性与奇偶性，属于中档题．‎ ‎10．李冶(1192-1279)，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 平方步为亩，圆周率按近似计算）‎ A．步、步 B．步、步 C．步、步 D．步、步 ‎【答案】B ‎【解析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池半径为r，方田边长为40步+2r．从而建立关系求解即可 ‎【详解】‎ 设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得＝，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键,在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型； 根据函数模型，结合题意，获得函数模型的解.‎ 二、多选题 ‎11．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能成为的充分条件的是（ ）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【答案】AD ‎【解析】本题选择的是使成立的充分条件，即选出①②③④中可以推出的序号。‎ ‎【详解】‎ ‎①由”可知，所以，故；‎ ‎② 当时，；当时，，故；‎ ‎③ 由，得，故；‎ ‎④ ．故选AD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件的定义，根据结果找条件，需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁可以推出谁，属于基础题。‎ ‎12．关于的方程有四个不同的实数解，则实数的值可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】分离参数，把方程变为．利用勾形函数的性质求解．‎ ‎【详解】‎ 方程中，时，只有一个解，因此方程有四个不同的解，则，，因此方程可变为．‎ 作出函数的图象和直线，如图，‎ 函数的最小值为2，因此当时，直线与函数的图象有四个不同的交点，即原方程有四个解，满足的有BCD．‎ 故选：BCD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点与方程根的关系，在解决方程解的个数问题时常常采用分离参数法，把问题转化为直线与函数的图象的交点问题．‎ ‎13．若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】AB ‎【解析】应用基本不等式进行检验．‎ ‎【详解】‎ ‎，当且仅当时取等号，A正确；，，，当且仅当时取等号，B正确，C错误，，D错误．‎ 故选：AB．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式，注意基本不等式的形式：．‎ 三、填空题 ‎14．已知集合，，且 ，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求得集合，由得，从而可得到不等关系，求得参数范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意，∵，∴，‎ 若，即，，满足题意，‎ 在时，，则，解得，‎ 综上有．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算与集合间的包含关系．注意结论：，．‎ ‎15．若“∀x∈R，（a﹣2）x+1＞0”是真命题，则实数a的取值集合是 ．‎ ‎【答案】{2}‎ ‎【解析】试题分析：对∀x∈R，都有（a﹣2）x+1＞0恒成立，由一次函数的图象和性质，可知只要a﹣2=0即可．‎ 解：若命题“对∀x∈R，都有（a﹣2）x+1＞0”是真命题，‎ 只要a﹣2=0，即a=2，‎ 故答案为：{2}．‎ ‎【考点】全称命题．‎ ‎16．已知关于x的不等式的解集为，则的最小值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意结合韦达定理和均值不等式确定的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 由于，故一元二次方程的判别式：‎ ‎，‎ 由韦达定理有：，则：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 综上可得：的最小值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查韦达定理的应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎17．某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，则=_____，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为_______．‎ ‎【答案】100 ‎ ‎【解析】把代入，求得，再解不等式，注意定义域．‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，，所以．‎ 由，‎ 得，所以．‎ 又因为，所以．‎ 故答案为：100；．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的应用题．解题关键是列出函数解析式，再根据函数的性质求解．‎ ‎1．求解已知函数模型解决实际问题的关注点．‎ ‎(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．‎ ‎(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．‎ ‎2．利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．‎ 四、解答题 ‎18．已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．‎ ‎(1)求M∩P＝{x|52对任意实数恒成立,即对任意实数恒成立，所以只需,解得或；‎ ‎（3），对称轴为 ‎①当，即时，，‎ 解得或（舍去）‎ ‎②当，即时，，解得或（舍去）‎ 综上：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的图象及性质，函数的单调性的应用，奇偶性的判断，分类讨论思想的应用，是中档题．‎ ‎22．为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租。该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）.‎ ‎（1）求函数的解析式及其定义域；‎ ‎（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多 ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）当时，．令，解得．‎ ‎∵，∴，，．‎ 当时，．‎ 令，有．‎ 上述不等式的整数解为，∴，‎ 故，定义域为．‎ ‎（2）对于，显然当时，（元）．‎ 对于，‎ 当时，（元）∵，‎ ‎∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．‎ ‎23．设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数 ‎ ‎（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；‎ ‎（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．‎ ‎【答案】（1）见解析,(2) 当a=0时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.‎ ‎【解析】（1）证明：设Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0．‎ f′（x）=＞0，∴函数f（x）在（α，β）上是增函数．‎ ‎（2）由关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），‎ 可得α β，f（α） ，f（β）=，‎ 即有f（α）•f（β） =﹣4＜0，‎ 函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，‎ ‎∴当且仅当f（β）=﹣f（α）=2时，‎ f（β）﹣f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，‎ 此时a=0，f（β）=2．当a=0时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．‎