数学文卷·2017届湖北省六校联合体高三4月联考（2017

数学文卷·2017届湖北省六校联合体高三4月联考（2017

‎2017年春季湖北省六校联合体四月联考 高三数学文科试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则集合中元素的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2.下边茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则的值分别为（ ）‎ A．4，4 B．5，4 C．4，5 D．5，5‎ ‎3.设复数满足，为虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A．2 B．-2 C． D．‎ ‎4. 已知双曲线上有一点到右焦点的距离为18，则点到左焦点的距离是（ ）‎ A．8 B．28 C．12 D．8或28‎ ‎5.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”反映这个命题本质的式子是（ ）‎ A．… B．……‎ C．… D．……‎ ‎7.若变量满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（ ）‎ A．-2 B．-1 C．0 D．1‎ ‎8.如图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（ ）‎ A．18 B．20 C．24 D．12‎ ‎10.在数列中，，，…等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为（ ）‎ A．0 B． C．0或 D．‎ ‎12.已知，若在区间上有且只有一个极值点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，，则与的夹角为 ．‎ ‎14.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为30秒，小明来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．‎ ‎15.已知等差数列的前项和为，且，则数列的公差为 ．‎ ‎16.如图，在中，已知点在边上，，，，，则的长为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知向量，，函数 ‎（1）求函数的最大值及最小正周期；‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域.‎ ‎18. 2015年12月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与的数据如表：‎ 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 车流量（万辆）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 的浓度（微克/立方米）‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎41‎ ‎49‎ ‎56‎ ‎62‎ ‎（1）由散点图知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（提示数据：）‎ ‎（2）（I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时的浓度；（II）规定：当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为优；当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是，其中，.‎ ‎19. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，.‎ ‎（1）设平面平面，证明：； ‎ ‎（2）若是的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎20. 如图，已知圆经过椭圆的左右焦点，与椭圆在第一象限的交点为，且，，三点共线.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设与直线（为原点）平行的直线交椭圆于两点，当的面积取取最大值时，求直线的方程.‎ ‎21. 设函数，的图象在点处的切线与直线平行.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若函数（），且在区间上是单调函数，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.已知直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，（）‎ ‎（1）写出直线经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎（2）若，求直线的极坐标方程，以及直线与曲线的交点的极坐标.‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）若，求函数的值域；‎ ‎（2）若，求不等式的解集.‎ ‎2017年春季湖北省六校联合体四月联考 高三数学文科试卷试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ACBDA 6-10:DCDBB 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 4 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：(1) ‎ ‎. 所以的最大值为1，最小正周期为. (2)由(1)得.将函数的图象向左平移个单位后得到 的图象. 因此，又，所以，.故在上的值域为.‎ ‎18. 解： (1)由数据可得：‎ ‎ ，‎ ‎，（注:用另一个公式求运算量小些）‎ 故关于的线性回归方程为. (2)(ⅰ)当车流量为12万辆时，即时，. 故车流量为万辆时，的浓度为微克/立方米. (ⅱ)根据题意信息得：，即， 故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内.……12分 ‎19. 解：(1)因为，平面，平面，所以平面. 又平面平面，且平面，所以. (2)因为底面是菱形，所以.因为，且是中点，所以. 又，所以面.所以是三棱锥的高. 因为为边长为2的等边的中线，所以. 因为为等腰的高线，所以. 在中，，，， 所以，所以. 所以， 因为是线段的中点，所以. ‎ 所以.‎ ‎20. 解：(1)∵，，三点共线， ∴为圆的直径，且，‎ ‎∴.由，得， ∴，∵， ∴， ∴，.‎ ‎∵，∴，∴椭圆的方程为. (2)由（1）知，点的坐标为， ∴直线的斜率为，故设直线的方程为，将方程代入消去得：， 设 ∴，，， ∴， 又：‎ ‎， ∵点到直线的距离， ∴ ，‎ 当且仅当，即时等号成立，此时直线的方程为.‎ ‎21. 解：(1)由题意知，曲线在点处的切线斜率为3， 所以，又， 即，所以. (2)由（1）知， 所以， 若在上为单调递减函数，则在上恒成立， 即，所以. 令， 则， 由，得，，得， 故在上是减函数，在上是增函数， 则，无最大值，在上不恒成立， 故在不可能是单调减函数. 若在上为单调递增函数，则在上恒成立， 即，所以， 由前面推理知，的最小值为， ∴，故的取值范围是.‎ ‎22. 解：(1)直线经过定点，‎ 由得， 得曲线的普通方程为，化简得. ‎ ‎(2)若，得，的普通方程为， 则直线的极坐标方程为， 联立曲线.得，取，得， 所以直线与曲线的交点为. 23. 解： (1)当时，， ∵， ∴，函数的值域为. (2)当时，不等式即 ①当时，得，解得，∴， ②当时，得，解得，∴， ③当时，得，解得，所以无解， 综上所述，原不等式的解集为.‎