数学理卷·2018届广东省阳江市阳东区第一中学高二下学期第一次质量检测（2017-03）

数学理卷·2018届广东省阳江市阳东区第一中学高二下学期第一次质量检测（2017-03）

阳东一中高二级2016-2017学年第二学期第一次质量检测试题 ‎（理科数学）‎ ‎2017．3．27‎ 一、选择题（5×12=60分）‎ ‎1. 是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若,则的增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下面几种推理过程是演绎推理的是(　 　)‎ A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°‎ B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人 D.在数列中，a1=1，由此归纳出的通项公式 ‎4. 数列，…, 的前项的和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数(　 　)‎ A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2‎ ‎6. 由直线与曲线所围成的图形的面积等于(　 　)‎ A.3 B. C.1 D. ‎7.用数学归纳法证明时，从到，左边需增添的代数式是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎8. 已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，函数y＝f(x)的图象大致是图中的(　 　)‎ ‎9. 若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝(　 　)‎ A.3 B－3或3 C.3 D．－3‎ ‎10.观察下列等式：1＝12 2＋3＋4＝32 3＋4＋5＋6＋7＝52 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，‎ 则第n个式子是(　　)‎ A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2‎ C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2‎ ‎11. 已知在区间上是减函数，那么（ ）‎ A．有最大值 B．有最大值 ‎ C．有最小值 D．有最小值 ‎12. 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题（5×4=20分）‎ ‎13.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ．‎ ‎14.已知若则的表达式为 ．‎ ‎15.定积分 ．‎ ‎16.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为令则的值为 ．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，过点A(6,4)作曲线f(x)＝的切线l.‎ ‎(1)求切线l的方程；‎ ‎(2)求切线l、x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设.‎ ‎(1) 某广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？‎ ‎(2) 某广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知数列满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝x lnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．‎ ‎(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；‎ ‎(2)求f(x)在区间(t>0)上的最小值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设函数f(x)＝(x－1)3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝3‎ 阳东一中高二级2016-2017学年第二学期第一次质量检测试题答案 ‎（理科数学）‎ 一、选择题（60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A A C A D C.‎ B C B C 二、填空题（20分）‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎[部分题目祥解如下：]‎ ‎5.【解析】a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，因此a、b、c至少有一个不小于2.选C.‎ ‎8. 由y＝xf′(x)的图象可得当x<－1时，f′(x)>0，所以当x<－1时f(x)为增函数；当－11时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上增函数，所以选择C.‎ ‎9.由得(x－k)2＝0，即x＝k，所以直线与曲线相切，如图所示，当k>0时，S＝ʃ(x2＋k2－2kx)dx＝ʃ(x－k)2dx＝(x－k)3|＝0－(－k)3＝，由题意知＝9，‎ ‎∴k＝3.由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±3.‎ ‎10.由已知得第n个式子左边是2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，‎ 设最后一项应为m，则m－n＋1＝2n－1，所以m＝3n－2.‎ 法二:特值验证法．‎ n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5，都不是4，故只有3n－2＝4‎ ‎11．由题意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f′(x)≤0恒成立．‎ 所以，‎ 即，‎ 令b＋c＝z，b＝－c＋z，‎ 如图A是使得z最大的点，最大值为b＋c＝－6－＝－.故应选B.‎ ‎12.f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)e2＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有 即解得a≥.‎ ‎16．∵k＝y′|x＝1＝n＋1，∴切线l：y－1＝(n＋1)(x－1)，‎ 令y＝0，xn＝，∴an＝lg，∴原式＝lg＋lg＋…＋lg＝lg××…×＝lg＝－2.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.解：z＝＝＝＝＝1－i，…………………………..3分 将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，‎ 即(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，……………………………………………………..…..5分 所以……………………………………………………..…..8分 所以………………………………………………………………………..…..10分 ‎18．【解析】解： (1)因为f′(x)＝，所以f′(6)＝，…………………………………..…..3分 所以切线l的方程为y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0. ……………………………………..6分 ‎(2)令f(x)＝0，则x＝2，‎ 令y＝x＋1＝0，则x＝－2. …………………………………..8分 故S＝dx－dx＝－(4x－8)＝.…………………12分 ‎19．【解析】解：设包装盒高为，底面边长为，由已知得 ‎…………………………………2分 所以当时，取得最大值. …………………………………………………4分 ‎(2). ………………………………..6分 由得(舍) 或.………………………………..8分 当时，；当时，.‎ 所以当时，取得极大值，也是最大值. ………………………………..10分 此时即包装盒的高与底面边长的比值为. ……………………………….12分 ‎20【解析】解：（1）由可得 ‎.……………………………………………………………3分.‎ ‎（2）猜想.………………………………..5分 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，左边 右边猜想成立. ………………………………..7分 ‎②假设时猜想成立，即，‎ 当时，‎ ‎，故当时，猜想也成立. ………………………………..10分 由①，②可知，对任意都有成立. ……………………………12分 ‎21．解： (1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，………..2分 故切线的斜率为g′(1)＝4e.所以切线方程为：y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e. ……………4分 ‎(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，，得………………..5分 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎………………………………………………………………………………………………..8分 ‎①当t≥时，在区间上f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tln t. …………………..10分 ‎②当00时，令f′(x)＝0，解得x＝1＋，或x＝1－.……………………………….5分 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，1－)‎ ‎1－ ‎(1－，1＋)‎ ‎1＋ ‎(1＋，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的单调递减区间为(1－，1＋)，‎ 单调递增区间为(－∞，1－)，(1＋，＋∞)．………………………..…...8分 ‎(Ⅱ)证明：因为f(x)存在极值点，所以由(Ⅰ)知a>0，且x0≠1，由题意，得f′(x0)＝3(x0－1)2－a＝0，即(x0－1)2＝，进而f(x0)＝(x0－1)3－ax0－b＝－x0－－b. ………………………………..10分 又f(3－2x0)＝(2－2x0)3－a(2－2x0)－b＝(1－x0)＋2ax0－3a－b＝－x0－－b＝f(x0)，且3－2x0≠x0，由题意及(Ⅰ)知，存在唯一实数满足f(x1)＝f(x0)，且x1≠x0，因此x1＝3－2x0，‎ 所以x1＋2x0＝3………………………………..12分 阳东一中高二级2016-2017学年第二学期第一次质量检测试题答题卡 ‎（理科数学）‎ 班别： 姓名： 学号： ‎ 一、选择题（5×12=60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 二、填空题（5×4=20分）‎ ‎13、 14、 15、 16、 ‎ 三、解答题（共同70分）‎ ‎17、（本小题满分10分）‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ ‎22、（本小题满分12分）‎