数学理卷·2018届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测（2018

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大庆市高三年级第二次教学质量检测试题 数学（理科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 ，则 ( ) A． B． C． D． 2.复数 的实数为( ) A． B． C．1 D．-1 3.若 满足 ，则 的最大值为( ) A．1 B．3 C．9 D．12 4.执行下面的程序框图，则输出的 =( ) A． B． C. D． 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) { }2, 1,0,1,2 ,A = − − { }0B x x= < A R（C B) = { }2, 1,0,1,2− − { }0,1,2 { }0,1 { }1 2 1 iZ i = − 1 i− + i ,x y 1 3 3 5 15 x y x y x y − ≥ −  + ≥  − ≤ z x y= + S 1 1 11+ + +...+2 3 13 1 1 1 1+ + +...+2 4 6 24 1 1 1 1+ + +...2 4 6 26 + 1 1 1 1+ + +...2 4 6 28 + A． B．6 C. D． 6.在 中， , 为 的中点，则 =( ) A．2 B．-2 C. D． 7.在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为 “弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”(如图)证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按 弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦 成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条 直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二)，4 个全等的直角三角形的面积的 和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中 “弦实”为 16，“朱实一”为 ,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落 入小正方形内的概率为( ) A． B． C. D． 8.函数 在下列某个区间上单调递增，这个区间是( ) A． B． C. D． 6+2 3 4+2 3 6+ 3 ABC∆ 0, 2, 2 3AB BC AB BC• = = =    D AC BD DA•  2 3 2 3− 2 3 31- 8 1- 3 2 3 2 31- 2 2 1( ) 3sin cos cos 2f x x x x= + − - 03 π    ， 0 3 π    ， - 3 3 π π    ， 2 6 3 π π    ， 9.已知 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上 一点，若 , ，则双曲线的离心率为( ) A． B． C. D．2 10.下面是追踪调查 200 个某种电子元件寿命（单位: )频率分布直方图，如图： 其中 300-400、400-500 两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个 说法是( ) ①寿命在 300-400 的频数是 90； ②寿命在 400-500 的矩形的面积是 0.2； ③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为： ④寿命超过 的频率为 0.3 A．① B．② C.③ D．④ 11.已知函数 ，下列关于 的四个命题； ①函数 在 上是增函数 ②函数 的最小值为 0 ③如果 时 ，则 的最小值为 2 ④函数 有 2 个零点 其中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C.3 D．4 12.已知函数 ，若方程 有解，则 的最小值 1 2F F、 2 2 2 2: ( 0, 0)x yC a ba b − = > > P 1 2 60F PF∠ =  1 2 3S F PF ac∆ = 1+ 5 2 5-1 2 3 h 2 ( ) x xf x e = ( )f x ( )f x [ ]01， ( )f x [ ]0,x t∈ max 2 4( )f x e = t ( )f x sin cos( ) , ,sin cos 1 6 2 x xf x xx x π π+  = ∈ +   ( ) 0f x a− = a 为( ) A．1 B．2 C. D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.二项式 展开式中 的系数为 （用数字作答） 14 已知 ，若 ，则 ． 15.已知三棱锥 平面 ， 为等边三角形， ,则三 棱锥 外接球的体积为 ． 16.已知点 及抛物线 的焦点 ，若抛物线上的点 满足 ，则 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17.已知 为等差数列 的前 项和，且 .记 ,其中 表示 不超过 的最大整数，如 . (I)求 (II)求数列 的前 200 项和. 18.为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了 25 名男生、10 名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示: 平均每天使用手机 小时 平均每天使用手机 小时 合计 男生 15 10 25 女生 3 7 10 合计 18 17 35 (I) 根据列联表判断，是否有 90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关; （II)在参与调查的平均每天使用手机不超过 3 小时的 10 名男生中，有 6 人使用国产手机， 2+6 3 13 2 2 3 6( 2 )x y+ 4 2x y 0, 0x y> > 2 8 =16x y• -1 log2 92 log 27x y+ + ,S ABC SA− ⊥ ABC ABC∆ 2, 3SA AB= = S ABC− (4,0)A 2 4y x= F P 2PA PF= =PF nS { }na n 1 91, 81a S= = [ ]5logn nb a= [ ]x x [ ] [ ]50.9 =0 log 16 1=， 1 14 61, ,b b b { }nb 从这 10 名男生中任意选取 3 人，求这 3 人中使用国产手机的人数 的分布列和数学期望. 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 参考公式： 19. 如图，在矩形 中， , , 是 的中点，将 沿 向上 折起，使平面 平面 (Ⅰ)求证： ; (Ⅱ)求二面角 的大小 20. 已知椭圆 离心率为 ，四个顶点构成的四边形的面积是 4. (Ⅰ)求椭圆 的方程； (Ⅱ)若直线 与椭圆 交于 均在第一象限， 与 轴、 轴分别交于 、 两点，设 直线 的斜率为 ,直线 的斜率分别为 ，且 (其中 为坐标原点).证 明: 直线 的斜率为定值. 21.已知函数 . (I) 当 时，求函数 的单调区间; (II) 当 时， 恒成立，求 的取值范围. 23.(本小题满分 10 分) 选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 . (I )求不等式 的解集; (II )当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. x 2 0( )p k k≥ 0k ( )22= ( )( )( )( ) n nd bcK a c b d a b c d − + + + + ( )n a b c d= + + + ABCD 2AB = 4AD = M AD MAB∆ BM ABM ⊥ BCDM AB CM⊥ -B AC M− 2 2 2 1( 0)2 x yC a ba b + = > >： 3 2 C l C ,P Q l x y M N l K ,OP OQ 1, 2k k 2 1 2k k k= O l 2( ) ln ( 1) ( )f x x a x a R= + − ∈ 0a < ( )y f x= 1x ≥ 2( ) ( 1) xf x a x e e≥ − − + a 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 的方程为 ，直线 的极坐标方程为 . (I )写出 的极坐标方程和 的平面直角坐标方程; (Ⅱ) 若直线 的极坐标方程为 ,设 与 的交点为 与 的 交点为 求 的面积. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）求不等式 的解集 （Ⅱ）当 ，时不等式 恒成立，求实数 的取值范围 xoy O x 1C 2 2 4 8 0x y x y+ − − = 2C = 6 R πθ ρ ∈（ ） 1C 2C 3C = 6 R πθ ρ ∈（ ） 2C 1C 3O M C、 ， 1C O N、 OMN∆ ( ) 1 2f x x x= + + − ( ) 5f x ≥ [ ]0,2x∈ 2( )f x x x a≥ − − a 大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数学（理科） 参考答案 一、选择题 1-5:BDCCA 6-10: BDAAB 11、12：CD 二、填空题 13. 60 14. 2 15. 16. 三、解答题 17.解：（Ⅰ)设等差数列 的公差为 由已知 ，根据等差数列性质可知： 所以 . 因为 ，所以 所以 所以 (Ⅱ)当 时， ， 共两项； 当 时， ，共 10 项； 当 时， ，共 50 项； 当 时， ，共 138 项. 所以数列 的前 200 项和为 18. 解：（Ⅰ）由列联表得： 由于 ，所以没有 90％的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关. 32 3 π 2 2-1 { }na d 9 =81S 9 5 19 9( 4 ) 81S a a d= = + = 1 4 9a d+ = 1 1a = 2d = 2 1n na = − [ ]1 5log 1 0b = = [ ]14 5log 27 2b = = [ ]61 5log 121 2b = = 1 2n≤ ≤ 1 3na≤ ≤ )na N ∗∈（ [ ]5log 0nbn a= = 3 12n≤ ≤ [ ]55 23, log 1n n na b a≤ ≤ = = 13 62n≤ ≤ [ ]515 123, log 2n n na b a≤ ≤ = = 63 200n≤ ≤ [ ]5125 399, log 3n n na b a≤ ≤ = = { }nb 2 2 35 (15 7 10 3) 175 2.5718 17 25 10 68k × × − ×= = ≈× × × (2) 可取值 0，1，2，3 , , , 所以 的分布列为 0 1 2 3 这 3 人中使用国产手机的人数 的数学期望为 19. (Ⅰ）证明：由题意可知， , , X 3 14( 0) 3 30 10 C P X C = = = 2 1 34 6( 1) 3 10 10 C C P X C = = = 1 2 14 6( 2) 3 2 10 C C P X C = = = 3 16( 3) 3 6 10 C P X C = = = X X P 1 30 3 10 1 2 1 6 X 1 3 1 1 9( ) 0 +1 +2 +330 10 2 6 5E X = × × × × = 2 2 2 2+ 2 +2 2 2BM AB AM= = = 2 2 2 2+ 2 +2 2 2, 4CM CD DM BC= = = = 所以，在 KH , ,所以 ； 因为平面 ⊥平面 且 是交线， 平面 所以 ⊥平面 因为 平面 ，所以 . 解：(Ⅱ)设 中点为 , 中点为 ,连接 所以 ,所以 ⊥平面 所以 ， . 因为 ,所以 以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴、 轴建立空间直角坐标系，如 图 则 ， 从而 , , . 设 为平面 的法向量， 则 ，可以取 . 设 为平面 的法向量， 则 可以取 . 因此， ，有 ，即平面 ⊥平面 , 故二面角 的大小为 90°. 20.解：（Ⅰ）由题意得 ， 又 ，解得 . 所以椭圆 的方程为 （Ⅱ）设直线 的方程为 ， BCM∆ 2 2 2+BC BM CM= CM BM⊥ ABM BCDM BM CM ⊂ BCDM CM ABM AB ⊂ ABM AB CM⊥ BM O BC N ON / /ON MC ON ABM ON BM⊥ ON AO⊥ AB AM= AO BM⊥ O OB ON OA、 、 x y (0,0, 2) ( 2,2 2,0) ( 2,0,0) - 2 0 0A C B M−、 、 、 （ ，，） (2 2, 2 2,0)CB = − ( 2, 2 2, 2)CA = − (0, 2 2,0)CM = − 1 ( , , )n x y z= ABC 1 1 0 2 0 0 n CA x y z n CB x y • = − + = ⇒ • = = 1 (1,1,1)n = 2 ( , , )n x y z= ACM 2 2 0 2 0 0 0 n CA x y z n CM y • = − + = ⇒ • = = 2 (1,0, 1)n = − 1 2 0n n• = 1 2 0n n⊥ =  ABC ACM B AC M− − 3 2 14 42 c a ab  =  • = 2 2 2=a b c+ 2, 1a b= = C 2 2 14 x y+ = l ( 0)y kx m m= + ≠ 点 的坐标分别为 ， 由 ，消去 得 ， ， 则 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 即 又 ，所以 ， 又结合图象可知， ，所以直线 的斜率 为定值 . 21.解：（Ⅰ)因为 ，函数定义域为： ， 令 ，由 可知， 从而 有两个不同解. 令 ，则 当 时， ；当 时， ， 所以函数 的单调递增区间为 ， ,P Q 1 1) 2 2( , ,( , )x y x y 2 2 14 y kx m x y = + + = y 2 2 2(1 4 ) 8 4( 1) 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 2 2 2=64 16(1 4 )( 1) 16(4 1) 0k m k m k m∆ − + − = − + > 2 1 2 1 22 2 8 4( 1),1 4 1 4 km mx x x xk k − −+ = =+ + 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x m= + + = + + + 2 1 2k k k= 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )y y k x x km x x mk k kx x x x + + += = = 2 2 2 2 8 01 4 k m mk − + =+ 0m ≠ 2 1 4k = 1 2k = − l k 1- 2 2( ) 1 ( 1) ( )f x nx a x a R= + − ∈ }{ 0x x > 21 2 2 1'( ) 2 ( 1) ax axf x a xx x − += + − = 2( ) 2 2 1g x ax ax= − + 0a < 24 8 0a a− > ( ) 0g x = '( ) 0f x = 2 1 1 2 1 1 21 1 0, 1 02 2 2 2x xa a = − − < = + − > (0, 2)x x∈ '( ) 0f x > 2( , )x x∈ +∞ '( ) 0f x < ( )y f x= 1 1 20 + 1- )2 2 a （ ， 单调递减区间为 . （Ⅱ）由题意得，当 时， 恒成立. 令 ， 求导得 ， 设 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增， 所以 ①当 时， ， 此时， 在 上单调递增， 而 ，所以 恒成立，满足题意. ②当 时， ， 而 根据零点存在性定理可知，存在 ，使得 . 当 时， 单调递减； 当 时， ， 单调递增. 所以有 ， 这与 恒成立矛盾， 所以实数 的取值范围为 . 22.解：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为 ， ， 1 1 2+ 1- ,2 2 a  +∞    1x ≥ 1 2 2 0xnx e ax a e+ − + − ≥ ( ) 1 2 2xh x nx e ax a e= + − + − 1'( ) 2xh x e ax = + − 1( ) 2xx e ax ϕ = + − 2 1'( ) xx e x ϕ = − 1x ≥ 2 1, 1xe e x ≥ ≤ '( ) 0xϕ > ( )xϕ [ )1 +∞， '( )h x [ )1 +∞， '( ) '(1) 1 2h x h e a≥ = + − 1 2 ea +≤ '( ) 0h x ≥ ( ) 1 2 2xh x nx e ax a e= + − + − [ )1 +∞， (1) 0h = ( ) 0h x ≥ 1 2 ea +> '(1) 1 2 0h e a= + − < 1'(1 2 ) 2 2 01 2h n a a an a = + − > 0 (1,1 2 )x n a∈ 0'( ) 0h x = (1, 0)x x∈ '( ) 0, ( )h x h x< 0( , )x x∈ +∞ '( ) 0h x > ( )h x 0( ) (1) 0h x h< = ( ) 0h x ≥ a 1+- 2 e ∞  ， cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2= tan x y y x ρ θ  + = 圆 的普通方程为 ， 把 代入方程得， ， 所以 的极坐标方程为 ； （Ⅱ）分别将 代入 的极坐标方程 得； ， ， 则 的面积为 ， 所以 的面积为 . 23. 解：（Ⅰ）由题意知，需解不等式 . 当 时，上式化为 ，解得 ； 当 时，上式化为 ，无解； 当 时，①式化为 ，解得 . 所以 的解集为 或 . （Ⅱ）当 时， ， 则当 ， 恒成立. 设 ，则 在 上的最大值为 . 所以 ，即 ，得 . 所以实数 的取值范围为 . 1C 2 2 4 8 0x y x y+ − − = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 -4 cos 8 sin 0ρ ρ θ ρ θ− = 1C 3 3y x= = =3 6 π πθ θ， 1C =4cos 8sinρ θ θ+ 1=2+4 3ρ 2 =4+2 3ρ OMN∆ 1 1sin (2 4 3) (4 2 3) sin( ) 8 5 32 2 3 6OMNS OM ON MON π π ∆ = • ∠ = × + × + × − = + OMN∆ 8+5 3 1 2 5x x+ + − ≥ 1x < − -2 5x+ ≥ 2x ≤ − 1 2x− ≤ ≤ 3 5≥ 2x > 2 1 5x − ≥ 3x ≥ ( ) 5f x ≥ { 2x x ≤ − }3x ≥ [ ]0,2x∈ ( ) 3f x = [ ]0,2x∈ 2 3x x a− − ≤ 2( )g x x x a= − − ( )g x [ ]0 2， (2) 2g a= − (2) 3g ≤ 2 3a− ≤ 1a ≥ − a [ )-1 +∞，