2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第七章 4 第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)ab≤成立的条件是ab>0.( )
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
[教材衍化]
1．(必修5P99例1(2)改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．
解析：因为x>0，y>0，所以≥，
即xy≤＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
答案：81
2．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析：设矩形的一边为x m，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
所以y＝x(10－x)≤＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
答案：25
[易错纠偏]
(1)忽视基本不等式成立的条件；
(2)基本不等式不会变形使用．
1．“x>0”是“x＋≥2成立”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.当x>0时，x＋≥2 ＝2.
因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.
2．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________．
解析：y＝x＋－＝＋－2≥2 －2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.
答案：0
利用基本不等式求最值(高频考点)
利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．主要命题角度有：
(1)求不含等式条件的函数最值；
(2)求含有等式条件的函数最值．
角度一 求不含等式条件的函数最值
(1)函数f(x)＝(x>0)的最大值为________．
(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
【解析】 (1)因为x>0，则f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时等号成立．
(2)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
【答案】 (1) (2)1
角度二 求含有等式条件的函数最值
(1)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
(2)(2020·杭州中学高三月考)函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【解析】 (1)因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，
所以x＋3y＝1，
所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，
当且仅当＝，
即x＝，y＝时，取等号．
(2)因为x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，
所以函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)，
因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，
所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，
因为m＞0，n＞0，＋＝(2m＋n)＝2＋＋＋2≥4＋2 ＝8，
当且仅当m＝，n＝时取等号，
故选C.
【答案】 (1)C (2)C
利用基本不等式求最值的方法
(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
1．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
解析：令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.
所以 tmax＝＝3.
答案：3
2．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a＞1，b＞2)的最大值为5，则＋的最小值为________．
解析：由约束条件，作出可行域如图，
联立，解得A(1，1)．
由z＝ax＋by(a＞1，b＞2)，得y＝－x＋，
由图可知，zmax＝a＋b＝5.可得a－1＋b－2＝2.
所以＋＝(a－1＋b－2)
＝
≥＝.
当且仅当b＝2a时等号成立，并且a＋b＝5，a>1，b>2即a＝，b＝时上式等号成立．
所以＋的最小值为.
答案：
利用转化思想求参数
已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．
【解析】 (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a>0)，
当且仅当y＝x时取等号，
所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，
于是(＋1)2≥9恒成立．
所以a≥4.
【答案】 4
(1)涉及恒成立问题的数学问题，一般将其转化为最值问题处理，即a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min.
(2)涉及多个变元问题时，用常量与变元的转化思想处理．如本例先把参数a看作常量，求得含参数a的最值，再将其转化为变量处理．
1．(2020·浙江省名校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选C.由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号．所以
解得a＝1，故选C.
2．(2020·金丽衢十二校高三联考)若函数f(x)＝(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选B.f(x)＝＝＝2(x－1)＋＋4≥2 ＋4＝2＋4，当且仅当2(x－1)＝⇒x＝1＋时，等号成立，所以2＋4＝6⇒a＝，故选B.
利用不等式解决实际问题
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
【解】 (1)设DN的长为x(x>0)米，则|AN|＝(x＋2)米．
因为＝，所以|AM|＝，
所以S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.
由S矩形AMPN>32得>32.
又x>0得3x2－20x＋12>0，解得0
6，
即DN长的取值范围是∪(6，＋∞)．
(2)矩形花坛的面积为y＝＝
＝3x＋＋12(x>0)≥2 ＋12＝24.
当且仅当3x＝即x＝2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．
(1)利用基本不等式求解实际问题的注意事项
①根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．
②设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
③解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
④在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
(2)此类问题还常与一元二次函数、一元二次不等式结合命题，求解关键是构建函数与不等关系，在实际条件下解决．
某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入(x2＋x)万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，
才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？
解：(1)设商品的销售价格提高a元，
则(10－a)(5＋a)≥50，解得0≤a≤5.
所以商品的价格最多可以提高5元．
(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，
若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx＝(x2＋x)＋＋50(x>5)即可，
此时m＝x＋＋≥2 ＋＝，
当且仅当x＝，即x＝10时，取“＝”．
故销售量至少应达到万件，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．
核心素养系列13 数学运算——利用均值定理连续放缩求最值
已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________．
【解析】 因为a>b>0，所以a－b>0，所以b(a－b)≤＝，所以a2＋≥a2＋≥2 ＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝且b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4.
答案：4
设a>b>0，则a2＋＋的最小值是________．
【解析】 因为a>b>0，所以a－b>0，所以a2＋＋＝(a2－ab)＋＋＋ab≥2＋2 ＝4(当且仅当a2－ab＝且＝ab，即a＝，b＝时取等号)．
【答案】 4
利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，
并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．
[基础题组练]
1．当x＞0时，函数f(x)＝有( )
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
解析：选B.f(x)＝≤＝1.
当且仅当x＝，x＞0即x＝1时取等号．
所以f(x)有最大值1.
2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．
3．(2020·嘉兴期中)若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值为( )
A．3 B．4
C. D.
解析：选B.因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，
所以x＋2y＋－8≥0，
设x＋2y＝t＞0，
所以t＋t2－8≥0，
所以t2＋4t－32≥0，
即(t＋8)(t－4)≥0，
所以t≥4，
故x＋2y的最小值为4.
4．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
解析：选D.由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，
即3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋
≥7＋2 ＝7＋4.
当且仅当＝时取等号．故选D.
5．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－2，1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C.根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<，因为＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－20，所以a－1>0，所以＋＝＋＝＋≥2 ＝2，当且仅当＝和＋＝1同时成立，即a＝b＝3时等号成立，所以＋的最小值为2，故选A.
7．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取到等号．
答案：2
8．(2020·嘉兴期中)已知0＜x＜，则x(5－4x)的最大值是________．
解析：因为0＜x＜，
所以0＜5－4x＜5，
所以x(5－4x)＝·4x(5－4x)≤·＝，当且仅当x＝时取等号，故最大值为.
答案：
9．(2020·温州市瑞安市高考模拟)若x＞0，y＞0，则＋的最小值为________．
解析：设＝t＞0，则＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2－＝－，当且仅当t＝＝时取等号．
答案：－
10．(2020·宁波十校联考)已知a，b均为正数，且a＋b＝1，c＞1，则(－1)·c＋的最小值为________．
解析：因为a＋b＝1，
所以－1＝－1
＝＋≥2 ＝，
当且仅当＝即a＝－1，b＝2－时取等号，
所以(－1)·c＋≥c＋＝(c－1＋＋1)≥3，当且仅当c＝2时取等号．
答案：3
11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x>0，y>0，则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中
(1)求n的值；
(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？
解：(1)由试验数据知，s1＝n＋4，s2＝n＋，
所以
解得.
又n∈N，所以n＝6.
(2)由(1)知，s＝＋，v≥0.
依题意，s＝＋≤12.6，
即v2＋24v－5 040≤0，解得－84≤v≤60.
因为v≥0，所以0≤v≤60.
故行驶的最大速度为60 km/h.
[综合题组练]
1.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C.由已知可得＝×(＋)＝＋＝＋，又M、G、N三点共线，故＋＝1，所以＋＝3，则x＋2y＝(x＋2y)··＝≥(当且仅当x＝y时取等号)．故选C.
2．已知x>0，y>0，2x＋y＝1，若4x2＋y2＋－m<0恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－1，0)∪ B.
C. D.
解析：选B.4x2＋y2＋－m<0恒成立，即m>4x2＋y2＋恒成立．因为x>0，y>0，2x＋y＝1，所以1＝2x＋y≥2，所以0<≤(当且仅当2x＝y＝时，等号成立)．因为4x2＋y2＋＝(2x＋y)2－4xy＋＝1－4xy＋＝－4＋，所以4x2＋y2＋的最大值为，故m>，选B.
3．(2020·杭州学军中学考试)已知a＜b，若二次不等式ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立，则M＝的最小值为________．
解析：由条件知a＞0，b－a＞0.由题意得Δ＝b2－4ac≤0，解得c≥，所以M＝≥＝＝＝
＝＋＋4≥2＋4＝4＋4＝8，当且仅当b＝3a时等号成立，所以M的最小值为8.
答案：8
4．(2020·浙江省名校联考)已知a＞0，b＞－1，且a＋b＝1，则＋的最小值为____________．
解析：＋＝a＋＋＝a＋＋b＋1－2＋，又a＋b＝1，a＞0，b＋1＞0，所以a＋＋b＋1－2＋＝＋＝＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当＝即a＝4－2，b＝2－3时取等号，所以＋的最小值为.
答案：
5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)＋的最小值．
解：(1)因为x>0，y>0，
所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.
因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)因为x>0，y>0，
所以＋＝·＝≥
＝.
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
所以＋的最小值为.
6.(2020·义乌模拟)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
解：设AP＝x米，AQ＝y米．
(1)则x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin 120°＝xy.所以S≤＝2 500.
当且仅当
即x＝y＝100时取“＝”．
(2)由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000＝1.75＋，当y＝时，PQ有最小值，此时x＝.
