江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末学业质量阳光指标调研考试数学试题

江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末学业质量阳光指标调研考试数学试题

苏州市 2019—2020 学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高二数学 2020．1 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．下列不等式中成立的是 A．若 a b ，则 2 2ac bc B．若 a b ，则 2 2a b C．若 0a b  ，则 2 2a ab b  D．若 0a b  ，则 1 1 a b  2．不等式 (4 ) 3x x  的解集为 A． 1 3x x x 或 B． 0 4x x x 或 C． 1 3x x  D． 0 4x x  3．双曲线 2 2 19 16 y x  离心率为 A． 5 3 B． 5 4 C． 7 3 D． 7 4 4．椭圆的两个焦点分别为 F1(﹣8，0)，F2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是 20， 则椭圆的标准方程为 A． 2 2 136 100 x y  B． 2 2 1400 336 x y  C． 2 2 1100 36 x y  D． 2 2 120 12 x y  5．等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1a  ，且 14a ， 22a ， 3a 成等差数列，则 4S ＝ A．7 B．8 C．15 D．16 6．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是 CD 的中点，直线 A1E 与平面 B1BC 所成角的正弦值 为 A． 1 2 B． 1 3 C． 2 2 D． 3 2 7．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠， 次第每人多十七，要将第八数来言”，题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年 龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到 17 斤绵，那 么第 8 个儿子分到的绵是 A．201 斤 B．191 斤 C．184 斤 D．174 斤 8．关于 x 的不等式 2 2( 1)ax x  恰有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是 A．( 3 2  ， 4 3  ]  ( 4 3 ， 3 2 ] B．( 3 2  ， 4 3  ]  [ 4 3 ， 3 2 ) C．[ 3 2  ， 4 3  ) ( 4 3 ， 3 2 ] D．[ 3 2  ， 4 3  )  [ 4 3 ， 3 2 ) 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列判断中正确的是 A．在△ABC 中，“B＝60°”的充要条件是“A，B，C 成等差数列” B．“x＝1”是“x2﹣3x＋2＝0”的充分不必要条件 C．命题 p：“  x＞0，使得 x2＋x＋1＜0”，则 p 的否定：“ x ≤0，都有 x2＋x＋1≥0” D．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物 线 10．已知向量 ( )a b c b c       ＝(1，2，3)，b  ＝(3，0，﹣1)， c  ＝(﹣1，5，﹣3)， 下列等式 中正确的是 A． ( )a b c b c       B． ( ) ( )a b c a b c          C． 2 2 22( )a b c a b c          D． a b c a b c          11．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2( )n nS a a  (其中 a 为常数)，则下列说法正确的 是 A．数列 na 一定是等比数列 B．数列 na 可能是等差数列 C．数列 nS 可能是等比数列 D．数列 nS 可能是等差数列 12．已知方程 mx2＋ny2＝mn 和 mx＋ny＋p＝0（其中 mn≠0 且 m，nR，p＞0），它们所表 示的曲线在同一坐标系中可能出现的是 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．其中第 15 题共有 2 空，第一个 空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空， 每空 5 分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知向量 a  ＝(1，4，3)，b  ＝(﹣2，t，﹣6)，若 a  ∥b  ，则实数 t 的值为 ． 14．己知正实数 x，y 满足 x＋4y＝1，则 1 1 x y  的最小值为 ． 15．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的 冲击，现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分， 且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系 xOy 中，桥拱所在抛物线 的方程为 ，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为 （本题第一空 2 分，第二空 3 分）． 第 15 题 16．已知一族双曲线 En： 2 2 2 1x y n n    ( Nn  ，且 n≤2020)，设直线 x＝2 与 En 在第一 象限内的交点为 An，由 An 向 En 的两条渐近线作垂线，垂足分别为 Bn，Cn．记△AnBnCn 的面积为 na ，则 1 2 3 2020a a a a    ＝ ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 解下列不等式：（1） 2 4 12 0x x   ；（2） 2 23 x x   ． 18．（本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，公差 0d  ，且 3 5 50S S  ， 1a ， 4a ， 13a 成等 比数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）已知数列 n n b a       是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 19．（本小题满分 12 分） 如图 1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图 2，其结 构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均 为 8(cm)，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为 1：2，此铝合金窗占用的墙 面面积为 20000(cm2)，设该铝合金窗的宽和高分别 a(cm)，b(cm)，铝合金的透光部分的面积 为 S(cm2)（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）． （1）试用 a，b 表示 S； （2）若要使 S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少? 20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 4x y ，过点 P(4，2)作斜率为 k 的直线 l 与抛物线交于不同的两点 M，N． （1）求 k 的取值范围； （2）若△OMN 为直角三角形，且 OM⊥ON，求 k 的值． 21．（本小题满分 12 分） 如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB＝ 2 ，AF＝t，M 是线 段 EF 的中点． （1）求证：AM∥平面 BDE； （2）若 t＝1，求二面角 A—DF—B 的大小； （3）若线段 AC 上总存在一点 P，使得 PF⊥BE，求 t 的最大值． 22．（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a＞b＞0)，左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶 点为 B，P 为椭圆上在第一象限内一点． （1）若 1 2 2 1PF F PAF PBFS S S    ．①求椭圆的离心率 e；②求直线 PF1 的斜率． （2）若 2PAFS ， 1 2PF FS ， 1PBFS 成等差数列，且∠F1BO≤30°，求直线 PF1 的斜率的取 值范围．