专题9-3 圆的方程（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）
【考纲解读】
内 容
要 求
备注
A
B
C
平面解析几何初步
圆的标准方程与一般方程
√
1．掌握确定圆的几何要素．
2．掌握圆的标准方程与一般方程．
【直击考点】
题组一 常识题
1． 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是______________．
【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．
2． 以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为____________________．
【解析】∵易得线段AB的中点(1，1)即为圆心，线段的端点为(0，2)，(2，0)，∴圆的半径r＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3． 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是____________．
【解析】因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以 (1－a)2＋(1＋a)2<4，即a2<1，故－1
0，解得－2r⇔点A在圆外⇔.
考点2 圆的方程综合应用
1. 圆的标准方程为：
2．圆的一般方程．：（）.
3.点到直线的距离：.
【考点深度剖析】
圆是常见曲线，也是解析几何中的重点内容，几乎每年高考都有一至二题，主要以填空形式出现，难度不大，主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质
【重点难点突破】
考点1 求圆的方程
【1-1】求圆心在轴上，半径为5，且过点A（2，-3）的圆的方程.
【答案】或.
【解析】
【1-2】已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程．
【答案】
【解析】
（1）法一（待定系数法）、设圆的标准方程为：，则由题意得：
.
②－①得：…………………………………………④⑤⑥
③－④得：，代入④得：.
将代入①得：.
所以所求圆的标准方程为：.
法二、由点斜式可得线段的垂直平分线的方程为：.
因为圆心在上，所以线段的垂直平分线与直线的交点就是圆心.
解方程组得，所以圆心为.
圆的半径，
所以所求圆的标准方程为：.
【1-3】的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程．
【答案】
【思想方法】
1.求圆的方程，采用待定系数法：
①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．
②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．
2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的垂直平分线上．
【温馨提醒】求圆的标准方程，可用待定系数法，也可直接求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；求圆的一般方程，一般都用待定系数法．
考点2 圆的方程综合应用
【2-1】(2014.无锡模拟)在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为_______.
【答案】
【解析】由题意，为直径.设圆心为，则，圆的标准方程为，故，由此，易得：，又，所以直线的方程为，到
的距离为，由此得，.
所以四边形的面积为.
【2-2】在圆上移动，试求的最小值．
【答案】
【解析】由已知得，则，即()min.所以的最小值为.
【2-3】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程．
【答案】或
【思想方法】
1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；
2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；
3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.
【温馨提醒】在圆的综合性问题中，往往需要利用圆的方程来确定圆心坐标和半径，根据图形应用圆的几
何性质.应用距离公式及基本不等式等，解决最值问题.
【易错试题常警惕】
[失误与防范]
1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．
2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．
