数学理卷·2018届广东省实验中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届广东省实验中学高二下学期期中考试（2017-04）

广东实验中学2016—2017学年（下）高二级期中考试 ‎ 理 科 数 学 ‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。‎ ‎ ‎ 第一部分选择题（共60分）‎ 一、(每题5分，共60分)‎ ‎1．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎2．设命题，，则为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎3．设，，则抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．随符号而定 ‎4． 下面说法正确的有 ( )‎ ‎①综合法是直接证法、分析法是间接证法;‎ ‎②演绎推理得到的结论一定是正确的；‎ ‎③演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关；‎ ‎④反证法证明命题“若整系数一元二次方程 有有理根，那么 ，， 中至少有一个是偶数”时，应假设 ，， 至多有一个是偶数．‎ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 ‎ ‎ ‎5．双曲线的一个焦点是，那么它的实轴长是 ( ) ‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎ ‎ ‎6．“”是“定积分”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知点P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的最小值是（ ）‎ A． 8 B． C．10 D．‎ ‎ ‎ ‎8．用数学归纳法证明命题" 能被 整除"要利用归纳假设证 时的情况，只需展开 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎9． 正方体 的棱长为 ，点 在棱 上，，点 是平面 上的动点，且点 到直线 的距离与点 到点 的距离的平方差为 ，则点 的轨迹是 ‎ A． 抛物线 B． 双曲线 C． 直线 D． 椭圆 ‎ ‎ ‎10．如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足 AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（ ）‎ A．[，2+] B．[，] ‎ C．[，] D．[，+1]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为.那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎12．已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第二部分非选择题（90分）‎ ‎ ‎ 二、 填空题(每题5分，共20分)‎ ‎ ‎ ‎13．直线与抛物线交于两点,为原点,如果,那么直线恒经过定点的坐标为__________________‎ ‎ ‎ ‎14．设（为自然对数的底数），任取，则满足的概率是 （结果用表示）．‎ ‎ ‎ ‎15．已知，过点作一直线与曲线相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知 ‎，过点作一直线与函数的图像相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为____________．‎ ‎ ‎ ‎16．图中是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们彩用 “坐标”来表示图乙各行中的白圈黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为，第二行记为，第三行记为，照此下去，第n行中白圈与黑圈的“坐标”为_________．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题（共6大题，共计 70分）‎ ‎ ‎ ‎17．（本题10分）‎ ‎ 已知满足，．‎ ‎（1）求，并猜想的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明对的猜想.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．（本题12分）‎ ‎ 已知的三个内角 的对边分别为 ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）若，且的面积，求角.‎ ‎19．（本题12分）‎ ‎ 某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记表示第排的座位数．‎ ‎（1）确定此看台共有多少个座位；‎ ‎（2）求数列的前项和，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（本题12分）‎ ‎ 如图所示，正方形 与矩形 所在平面互相垂直，，点 为 的中点．‎ ‎（1）求证： 平面 ；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ?若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．（本题12分）‎ ‎ 已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率等于，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，直线与轴交于点，与椭圆交于两个相异点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．（本题14分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间.‎ ‎（2）当时，设的两个极值点,恰为的零点，求的最小值.‎ ‎ ‎ 广东实验中学2016—2017学年（下）高二级中段考 ‎ 数 学 答 案（理科） ‎ ‎ ‎ 一、选择题 (每题5分，共60分)‎ ‎1、B 2、C 3、C 4、A 5、D 6、B 7、B 8、A 9、A 10、B 11、B 12、A ‎ ‎ 二、 填空题(每题5分，共20分)‎ ‎13、 14、 15、或 16、‎ ‎ ‎ 三、解答题（共6大题，共计 70分）‎ ‎17．（本题10分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎---------------------------------------------4分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎--------------------------------------------- 5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎------------------6分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ------------8分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ---------------9分 ‎ ‎ ‎ -----------------10分 ‎ ‎ ‎18．（本题12分）‎ ‎（1）证明：在中，由 C=2B 得：‎ ‎ cosA=cos ( --------------------1分 ‎ ‎ ‎ -------------5分 ‎ ‎（2）因为 ‎ 又 所以 ---------------------7 分 因为 由正弦定理得：即 ‎ ‎ ----------------- 9分 所以得 -----11分 ‎ ‎ 得 = 所以 ---------------12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本题12分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ --------------------------- 2分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ------------------ 4分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ --------------------- 5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ --------------------- 7分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ --------------------- 10分 ‎ ‎ ‎ --------------------- 11分 ‎ ‎ ‎ --------------------- 12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（本题12分）‎ 证明： （1） 四边形 为正方形， 是 的中点，点 为 的中点，连接 ．‎ ‎ 为 的中位线，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎． --------------------- 3分 ‎ （2） 正方形 中，．‎ 由已知可得 ，．‎ ‎，．‎ ‎，．‎ ‎． --------------------- 6分 ‎ （3） 由题意可得 平面 ，以点 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ‎ ‎ 设 ， --------------------- 7分 ‎，．‎ 设平面 的法向量为 ，‎ 则 得 ‎ 取 ， 是平面 的一个法向量， ---------------------9分 而平面 的一个法向量为 ． --------------------- 10分 要使二面角 的大小为 ．‎ 而 ，‎ 解得 ． --------------------- 11分 当 时，二面角 的大小为 ． --------------------- 12分 ‎21．（本题12分）‎ 解：(1)根据已知设椭圆的方程为，焦距为，由已知得，‎ ‎∴.‎ ‎∵以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，‎ ‎∴.∴椭圆的方程为--------------------- 4分 ‎ (2) 根据已知得，设，‎ 由得，‎ 由已知得，‎ 即.且. --------------------- 7分 由得，即. ‎ ‎∴,∴，即 ‎.当时，不成立.∴, -------------------10分 ‎∵,∴,即.∴- ------------- 12分 ‎22．（本题12分）‎ 解：（1）函数，，；--------------------- 1分 当时，由解得，即当时，，单调递增；‎ 由解得，即当时，，单调递减；‎ 当时，，即在上单调递增；‎ 当时，，故，即在上单调递增；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，的单调递增区间为； ---------------------4分 ‎（2），则，‎ 的两根、即为方程的两根；‎ 又，，，； --------------------- 5分 又，为的零点，‎ ‎，‎ 两式相减得,得, --------- 6分 而,‎ ‎， --------------------- 8分 令， 由得，‎ 因为，两边同时除以，得，‎ ‎，故，解得或，； --------------------- 10分 设， ，则在上是减函数，‎ ‎. 即的最小值为 ‎ ‎ ---------------------12分