2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§8-1　空间几何体的表面积与体积（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§8-1　空间几何体的表面积与体积（讲解部分）

第八章 立体几何 §８.1 空间几何体的表面积与体积 高考数学 考点一　空间几何体的结构特征 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形       结构 特征 (1)有两个面互相平行,其余各个面都是四边形; (2)每相邻两个四边形的公共边都互相平行 有一个面(即底面)是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分 侧棱 ① 　平行且相等     相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 ② 　平行四边形     ③ 　三角形     ④ 　梯形     考点清单 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形         母线 平行、相等且 垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 大圆 侧面展开图 ⑤ 　矩形     ⑥ 　扇形     ⑦ 　扇环     (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、 y 轴,两轴相交于点 O ,画直观图时,把它们 画成对应的 x '轴、 y '轴,两轴相交于点 O ',且使∠ x ' O ' y '=45 ° (或135 ° ),已知图 形中平行于 x 轴的线段,在直观图中长度⑧ 　保持不变     ,平行于 y 轴的线 段,长度变为⑨ 　原来的一半     . (2)画几何体的高 在已知图形中过点 O 作 z 轴垂直于平面 xOy ,在直观图中画出对应的 z '轴,垂 直于平面 x ' O ' y ',已知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中平行于 z '轴且 ⑩ 　长度不变     . 3.用斜二测画法画直观图的步骤 考点二　空间几何体的体积 名称 体积 柱体         V = Sh      锥体        V =   Sh      台体        V =   ( S + S '+   ) h      球体        V =   π R 3      考点三　空间几何体的表面积 　　1.多面体的表面积等于其各个面的面积之和. 　　2.圆柱、圆锥、圆台和球的表面积公式: 名称 表面积 侧面积 圆柱 S =2π r 2 +2π rl =2π r ( r + l )         S 侧 =2π rl      圆锥 S =π r 2 +π rl =π r ( r + l )         S 侧 =π rl      圆台 S =π( r ' 2 + r 2 + r ' l + rl )         S 侧 =π( r + r ') l      球 S =4π R 2 考法一 　与表面积和体积有关的问题 知能拓展 例1     (2020届北京人大附中月考,17)在一张足够大的纸板上截取一个面积 为3 600平方厘米的矩形纸板 ABCD ,然后在矩形纸板的四个角上切去边长 相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如 图),设小正方形边长为 x 厘米,矩形纸板的两边 AB 、 BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米,其中 a ≥ b . (1)当 a =90时,求纸盒侧面积的最大值; (2)试确定 a , b , x 的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值. 解析 　(1)因为矩形纸板 ABCD 的面积为3 600平方厘米,所以当 a =90时, b =4 0,从而包装盒子的侧面积 S =2 x (90-2 x )+2 x (40-2 x )=-8 x 2 +260 x , x ∈(0,20),因为 S =-8 x 2 +260 x =-8( x -16.25) 2 +2 112.5,所以当 x =16.25时,侧面积最大,最大值为2 112.5. (2)包装盒子的体积 V =( a -2 x )( b -2 x ) x = x [ ab -2( a + b ) x +4 x 2 ], x ∈   , b ≤ 60, V = x [ ab -2( a + b ) x +4 x 2 ] ≤ x ( ab -4   x +4 x 2 )= x (3 600-240 x +4 x 2 )=4 x 3 -240 x 2 +3 600 x . 当且仅当 a = b =60时等号成立, 设 f ( x )=4 x 3 -240 x 2 +3 600 x , x ∈(0,30), 则 f '( x )=12( x -10)( x -30), 于是当0< x <10时, f '( x )>0,所以 f ( x )在(0,10)上单调递增; 当10< x <30时, f '( x )<0,所以 f ( x )在(10,30)上单调递减. 因此当 x =10时, f ( x )有最大值 f (10)=16 000, 此时 a = b =60, x =10. 答:当 a = b =60, x =10时,纸盒的体积最大,最大值为16 000立方厘米. 方法总结 　(1)若给定的几何体是柱体、锥体、球体或台体,则可直接利用 公式求体积;若给定的几何体是组合体或“截割体”,则常用转换、分割、 补形等方法将给定的几何体变成可求体积的几何体后再求体积. (2)对于最值问题的研究,首先要引入自变量,建立起目标函数,利用函数的 性质求最值. 考法二 　与球有关的切、接问题 例2     (2018河南安阳一模,16)在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径 为1的小球,晃动此正方体,则小球可以经过的空间的体积为 　　　　     . 解题导引      解析　 先考虑小球不能经过的空间的体积. (1)当小球与正方体一顶点处的三个面都相切时,球面与该顶点处的三个面 之间形成的空隙小球始终无法经过,其体积为1 3 -   ×   × 1 3 =1-   .正方体有8 个顶点,共形成8个无法经过的空隙,总体积为8 ×   =8-   . (2)小球只与正方体过同一条棱的两个面相切时,在该棱处能形成一个高为 2的小柱体,其体积为   × 2=2-   ,正方体共有12条棱,则12个小柱体的体 积为   × 12=24-6π. 所以小球可以经过的空间的体积为64-   -(24-6π)=32+   . 答案 　32+   π 例3 　底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥. 如图,半球内有一内接正四棱锥 S - ABCD ,该四棱锥的侧面积为4   ,求该半 球的体积.   解题导引 　要求半球的体积,需求其半径,因为是正四棱锥内接于半球,所 以球心为正四棱锥底面的中心 O ,因此 OC = SO 即为半径,设出半径 r ,可求出 SA = AB ;再由已知的侧面积建立等量关系求得 r ,从而求出半球体积. 解析 　连接 AC , BD 交于点 O ,连接 SO ,设球的半径为 r ,由题意可知, SO = AO = OC = OD = OB = r .则 SA = AB =   r ,四棱锥的侧面积为4 ×   × (   r ) 2 =4   ,解得 r =   . 所以该半球的体积为 V =   ×   π × (   ) 3 =   π. 规律总结     1.“切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时 要找准切点,通过作截面来解决. (2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体. 解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等 于球的半径. 2.与球有关的组合体的常用结论 (1)长方体的外接球: ①球心:体对角线的交点; ②半径: r =   ( a , b , c 为长方体的长、宽、高). (2)正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球: ①外接球:球心是正方体的中心,半径 r =   a ( a 为正方体的棱长); ②内切球:球心是正方体的中心,半径 r =   ( a 为正方体的棱长); ③与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径 r =   a ( a 为正方体的棱 长). (3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分): ①外接球:球心是正四面体的中心,半径 r =   a ( a 为正四面体的棱长); ②内切球:球心是正四面体的中心,半径 r =   a ( a 为正四面体的棱长). 例 　如图,圆台的上底面半径为1,下底面半径为4,母线 AB =18,从 AB 中点 M 处拉一条绳子绕圆台侧面转到 B 点. (1)求绳子的最短长度; (2)求绳子最短时,上底面圆周上的点到绳子的最短距离.   实践探究 解题导引　 我们知道两点之间线段最短,要求绳子的最短长度,我们如何将 其转化为两点间的线段长度问题?可沿 AB 将侧面展开为平面图形,然后在 平面图形中通过解三角形求解. 解析 　(1)如图,画出圆台的侧面展开图(沿 AB )并延长 BA , B ' A '交于点 O ,连接 MB ',则 MB '的长即为绳子的最短长度. 设 OA = k ,∠ BOB '= α , ∵圆台上底面半径为1,下底面半径为4,母线长 AB =18, ∴2π= αk ①, 8π= α (18+ k )②, 由①②解得 α =   , k =6. ∴ OM =15, OB '=24. 在△ MOB '中,由余弦定理得 MB ' 2 =15 2 +24 2 -2 × 15 × 24cos   =441. ∴ MB '=21,∴绳子的最短长度为21. (2)过 O 作 OE ⊥ B ' M ,与弧 AA '交于 F ,则 EF 的长即为所求.∵cos∠ OMB '=   =   ,∴sin∠ OMB '=   ,∴ OE = OM sin∠ OMB '=   ,∴ EF =   -6. 所以最短距离为   -6. 方法总结 　利用“展图法”成功地将立体几何问题转化为平面几何问题; 此题用到将圆台“补成”圆锥再展开进行研究,这种割补拼凑的思想是重 要的数学思维方法.