专题29+直线方程-2019年高考数学（理）考点分析与突破性讲练

专题29+直线方程-2019年高考数学（理）考点分析与突破性讲练

一、考纲要求：‎ ‎1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.‎ ‎2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．‎ ‎4.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.‎ ‎5.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.‎ ‎6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．‎ 二、概念掌握和解题上注意点：‎ ‎ 1. 求直线方程应注意以下三点 (1）)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.‎ (2）)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).‎ (3）)截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.‎ ‎2.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1）)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.‎ (2）)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.‎ (3）)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.‎ ‎3.已知两直线的斜率存在，判断两直线平行、垂直的方法 (1）)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；‎ (2）)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.‎ ‎4.由一般式判定两条直线平行、垂直的依据 若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.‎ ‎5.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.‎ ‎6.处理距离问题的两大策略 (1）)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.‎ (2）)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.‎ 三、高考考题题例分析 例1.（2018北京卷）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 例2.　(2016高考新课标II)圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，解得，故选A．‎ 例3.(2015高考广东卷)平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）‎ ‎ A．或 B.或 ‎ ‎ C.或 D.或 ‎【答案】．‎ ‎【解析】：依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或，故选． ‎ 三、解答题 ‎17．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：‎ ‎(1)BC边所在直线的方程；‎ ‎(2)BC边上中线AD所在直线的方程；‎ ‎(3)BC边的垂直平分线DE的方程．‎ ‎【答案】(1) x＋2y－4＝0；‎ ‎ (2) 2x－3y＋6＝0；‎ ‎ (3) 2x－y＋2＝0‎ ‎(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，‎ 则BC边的垂直平分线DE的斜率k2＝2.‎ 由(2)知，点D的坐标为(0,2)．‎ 由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)‎ 即2x－y＋2＝0.‎ ‎18．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. ‎ ‎【答案】(1) 3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.；‎ ‎ (2) a≤－1.‎ ‎【解析】：　(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零，‎ ‎∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.‎ 当直线不过原点时，截距存在且均不为0，‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1，‎ ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ 因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，‎ ‎∴或∴a≤－1.‎ 综上可知，a的取值范围是a≤－1.‎ ‎19．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.‎ ‎(1)当l1∥l2时，求a的值；‎ ‎(2)当l1⊥l2时，求a的值．‎ ‎【答案】(1) a＝－1；(2) a＝ 法二：由l1∥l2知 即⇒‎ ⇒a＝－1.‎ ‎(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；‎ 当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：‎ y＝x－(a＋1)，由l1⊥l2，‎ 得·＝－1⇒a＝.‎ 法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，‎ 即a＋2(a－1)＝0，得a＝.‎ ‎20．已知直线l：(‎2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．‎ ‎(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；‎ ‎(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程. ‎ ‎【答案】(1)见解析；‎ ‎ (2) 5x＋y＋7＝0.‎ ‎21．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程．‎ ‎【答案】(1)见解析；‎ ‎ (2) k≥0.；‎ ‎ (3) x－2y＋4＝0.‎ ‎【解析】：　(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解得 ‎∴无论k取何值，直线l必经过定点(－2,1)．‎ ‎(2)直线方程可化为y＝kx＋1＋2k，当k≠0时，‎ 要使直线不经过第四象限，则必有 解得k＞0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．‎ 综上，k的取值范围是k≥0.‎ 此时l的方程为x－2y＋4＝0. ‎ ‎22．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．‎ ‎(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．‎ ‎【答案】(1) l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.‎ ‎ (2)‎ ‎【解析】：(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.‎ ‎∵点A(5,0)到l的距离为3，‎ ‎∴＝3，‎ 则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝，‎ ‎∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.‎ ‎(2)由 解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)，‎ ‎∴dmax＝PA＝＝.‎