河北省石家庄二中2020届高三上学期第三次联考数学文科试题

河北省石家庄二中2020届高三上学期第三次联考数学文科试题

河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考 数 学（文科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设，，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，得到，即可求解实数的取值范围，得到答案。‎ ‎【详解】由题意，集合，，‎ 因为，则，即实数取值范围是。‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练集合的包含关系，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎2.己知命题p：，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先改存在量词为全称量词,再否定结论.‎ ‎【详解】:.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题.‎ 解题方法:先改量词,再否定结论.‎ ‎3.己知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据i的幂运算性质可得，再由复数的除法运算可求得z，从而求出.‎ ‎【详解】，则，‎ 所以，.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘除法和复数的模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ）‎ A. 24里 B. 48里 C. 96里 D. 192里 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 每天行走的步数组成公比为的等比数列,根据前6项和为378列式可解得.‎ ‎【详解】设第天行走了步,则数列是等比数列,且公比,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以 ,‎ 所以第一天走了192里.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式中的基本量的计算,属于基础题.‎ ‎5.已知函数为偶函数，且对于任意的，都有,设，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数在的单调性，然后根据偶函数化简，然后比较2，，的大小，比较的大小关系.‎ ‎【详解】若，则函数在是单调递增函数，‎ 并且函数是偶函数满足，‎ 即，‎ ‎， ‎ 在单调递增，‎ ‎，‎ 即.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.‎ ‎6.若函数的图像向左平移（）个单位，所得的图像关于轴对称，则当最小时，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于轴对称列式,再求最小值.‎ ‎【详解】将函数的图像向左平移（）个单位后,得到函数,‎ 因为其图像关于轴对称,所以,,即,,‎ 因为,所以时,取得最小值,此时.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题.‎ ‎7.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，得到函数在点处的切线的斜率为，‎ 得出函数，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 则在点处的切线的斜率为，‎ 即，可得，‎ 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项，‎ 又由当时，，排除C项，‎ 只有选项A项符合题意。‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数图象的识别，以及函数的性质的应用，其中解答利用导数的几何意义求得函数的解析式，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎8.已知两点，以及圆：，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：以AB为直径的圆与圆有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出的范围．‎ ‎【详解】，点在以，两点为直径的圆上，‎ 该圆方程为：，又点在圆上，两圆有公共点．‎ 两圆的圆心距 解得：‎ 故选D ‎【点睛】本题考查了圆与圆位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题．‎ ‎9.在直角梯形ABCD中，，，，，E是BC的中点，则 A. 32 B. ‎48 ‎C. 80 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的基本运算展开，再分别求数量积即可．‎ ‎【详解】，由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积，又在方向的投影为，，同理， ‎ ‎．故选C.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积，正确理解向量的数量积是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎10.已知直线与椭圆交于两点，且线段中点为，若直线（为坐标原点）的倾斜角为，则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法求解可得直线和斜率间的关系，进而得到，再根据椭圆离心率的定义可得所求．‎ ‎【详解】设，‎ ‎∵点在椭圆上，‎ ‎∴，‎ 两式相减整理得，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆的离心率为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】求椭圆离心率或其范围的方法：①根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．②由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．‎ ‎11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由球O的表面积为29π，可得x2+y2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值．‎ ‎【详解】设球O得半径为R，AB=x，AC=y，‎ 由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25．三棱锥A-BCD的侧面积：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=由x2+y2≥2xy，得xy≤当且仅当x=y=时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5,当且仅当x=y=时取等号，∴S≤5+=当且仅当x=y=时取等号. ∴三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎12.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，求出，由题可得是在 上的奇函数且在上为单调递增函数，将转化成 ‎，利用在上为单调递增函数可得：恒成立，利用导数求得，解不等式可得，问题得解．‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 令，则，‎ 又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，‎ 所以是在上的单调递增函数，‎ 又因为，可化为，‎ 即，又因为是在上的单调递增函数，‎ 所以恒成立，‎ 令，则，‎ 因为，所以在单调递减，在上单调递增，‎ 所以，则，‎ 所以.‎ 所以正整数的最大值为2.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查了函数与导数的应用，函数的奇偶性、单调性、不等式恒成立等基础知识，考查分析和转化能力，推理论证能力，运算求解能力，构造能力，属于难题．.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知双曲线的右焦点为，则到其中一条渐近线的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得双曲线焦点到渐近线的距离为，由此求得到渐近线的距离.‎ ‎【详解】对于任意双曲线，其中一个焦点到渐近线（即）的距离为.又，焦点到其中一条渐近线的距离为.‎ 故填：2.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查点到直线距离公式，属于基础题.‎ ‎14.已知锐角满足，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知，计算，继而计算 ‎，利用和差公式得到得到答案.‎ ‎【详解】∵锐角满足，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，整体代换：是解题的关键.‎ ‎15.已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由求出，再由是中的最大值，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以当时，；‎ 当时，也满足上式；‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 综上，；‎ 因为是中的最大值，‎ 所以有且，解得.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查数列的概念以及简单表示法，熟记递推公式即可，属于基础题型.‎ ‎16.设为椭圆:的两个焦点．为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为的内心I的纵坐标为，所以可知道的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，可得到三角形的面积，接着根据焦点三角形的面积确定，进而求出答案.‎ ‎【详解】如图，‎ 由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，‎ 即，‎ 又由焦点三角形的面积，‎ 所以，所以，所以 ‎【点睛】本题主要考查通过焦点三角形的面积公式，确定的余弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键.‎ 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23‎ 题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.分别为的内角的对边.已知.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；‎ ‎（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，‎ 结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长．‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 即.‎ 因为，所以.‎ 由，得.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ 因为的面积.‎ 所以当时，的面积取得最大值，‎ 此时，则，‎ 所以的周长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．‎ ‎18.设数列满足：，.‎ ‎⑴求；‎ ‎⑵求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，；当时，得到 两式相减求得，进而可得；‎ ‎（2）由（1）知，利用乘公比错位相减法，即可求得.‎ ‎【详解】（1）由题意，数列满足：，，‎ 当时，；‎ 当时，‎ 两式相减得：，‎ 解得，‎ 当时上式也成立，所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 则 所以 两式相减得：‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用数列的递推公式求解数列的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎19.如图所示，在等腰梯形中，，，，将三角形沿折起，使点在平面上的投影落在上．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若点为的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）要证平面平面，只需证平面，分析条件易得和；‎ ‎（2）由，只需求即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：在等腰梯形中，可设，可求出，，‎ 在中，，∴，‎ ‎∵点在平面上的投影落在上，‎ ‎∴平面，平面平面，∴，‎ 又，，∴平面，‎ 而平面∴平面平面.‎ ‎（2）解：因为，所以，‎ 又，所以，‎ 因为，所以，解得，‎ 因为为中点，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，‎ 所以,‎ 因为，所以.‎ ‎20.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上，且⊥，△F1MF2的面积为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)已知直线l与椭圆C交于A，B两点，，若直线l始终与圆相切，求半径r的值.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆离心率为，点M在椭圆C上，且MF2⊥F‎1F2，△F1MF2的面积为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）设直线l的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程式，得（4k2+1）x2+8kmx+‎4m2‎﹣4＝0，由此利用韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式能求出半径的r的值．‎ ‎【详解】(1)设，由题意得 ‎∴，‎ 故椭圆C的方程为. ‎ ‎(2)当直线l的斜率存在时，设其直线方程为，设A(，)，B(，)，‎ 联立方程组，整理得，‎ 由方程的判别式△＝64k‎2m2‎﹣4（4k2+1）（‎4m2‎﹣4）＞0，‎ 得(1)‎ ‎，，由∠AOB=90°，得 即 而，则 ‎∴‎ 整理得 把代入(1)得.‎ 而，∴，显然满足，‎ 直线l始终与圆相切，得圆心(0，0)到直线l的距离d=r，‎ 则，‎ 由，得 ‎∵，∴. ‎ 当直线l的斜率不存在时，若直线l与圆相切，此时直线l的方程为.‎ ‎∴‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查圆的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式的合理运用．‎ ‎21.设函数，.‎ ‎（1）设函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，方程在区间上有实数解，求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，分类讨论得到函数的单调性，列出不等式，即可求解；‎ ‎ (2)由题意，设函数，求导得，分类讨论得到函数的单调性，结合题意，得出不等式组，即可求解。‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，所以.‎ ‎①当时，因为，所以，故，不符合题意；‎ ‎②当时，因，所以，故在上单调递增.‎ 欲使对任意的都成立，‎ 则需，所以，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎(2)设函数，则函数的定义域是，‎ ‎.‎ ‎①当时，的单调增区间是，单调减区间是.‎ 方程在区间上有实数解，等价于函数在上有零点，‎ 其必要条件是，即，所以.‎ 而 ，所以，‎ ‎②若，在上是减函数，，在上没有零点；‎ ‎③若，，在上是增函数，在上是减函数，所以在上有零点等价于 ，即，解得 ‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题与有解问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，且倾斜角为.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程以及点的直角坐标；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）曲线的直角坐标方程为；点的直角坐标为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由极坐标与直角坐标的互化可得的直角坐标方程为，点的直角坐标为；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中的几何意义 ‎，再求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，‎ 点的极坐标为：，化为直角坐标为.‎ ‎（2）直线的参数方程为，即（为参数），‎ 将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，‎ 整理得：，‎ 显然有，则，，‎ ‎，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，直线的参数方程及，直线的参数方程中的几何意义，属中档题.‎ ‎23.已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对去绝对值符号，然后分别解不等式即可 ‎（2）不等式有解，则只需，求出的最小值，然后解不等式即可.‎ ‎【详解】（1）由已知得 当时， ‎ 当时， ‎ 当时，舍 综上得的解集为 ‎（2）‎ 有解 ‎，‎ 或 取值范围是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.‎ ‎ ‎