山东省实验中学（中心校区）2020届高三10月调研考试数学试题

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山东省实验中学（中心校区）2019—2020学年度上学期 高三学年10月调研考试数学试卷 一、选择题 ‎1.集合.，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出集合、，利用交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】，‎ 由于指数函数是增函数，当时，，则，‎ 因此，，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查集合交集运算，同时也考查了函数的定义域与值域的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知，，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为，并利用向量数量积的坐标运算可求出的值.‎ ‎【详解】，，且，，解得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示，通常将向量垂直转化为两向量数量积为零，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的解析式由内到外计算出的值.‎ ‎【详解】，，‎ 因此，，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】设塔顶的a1盏灯，‎ 由题意{an}是公比为2的等比数列，‎ ‎∴S7==381，‎ 解得a1=3．‎ 故选B．‎ ‎5.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.‎ ‎【详解】，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎6.如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的线性运算，将用和表示，可得出和的值，由此可计算出的值.‎ ‎【详解】为的中点，且为的中点，所以，，‎ ‎，，.‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象(　　)‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由的最小正周期是，得，‎ 即 ‎，‎ 因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A．‎ 考点：函数的图象与性质．‎ ‎【名师点睛】三角函数图象变换方法：‎ ‎8.中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的内角、、的对边分别为、、，利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题中等式用、、的等式表示，可求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值.‎ ‎【详解】设的内角、、的对边分别为、、，‎ 则，，‎ 所以，两个等式相除得，，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的定义，同时也考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.定义在上函数,如果对于任意给定的等比数列,若仍是比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，验证是否为非零常数，由此可得出正确选项.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，则.‎ 对于①中的函数，，该函数为“保等比数列函数”；‎ 对于②中的函数，不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；‎ 对于③中的函数，，该函数为“保等比数列函数”；‎ 对于④中的函数，不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.已知函数，则（ ）‎ A. 的图象关对称 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 研究函数的单调性，对称性即可得出结论．‎ ‎【详解】解：因为函数 所以解得函数的定义域为，‎ ‎，‎ 令，‎ 可知在上单调递增，上单调递减，‎ 且在定义域上单调递增，‎ 由复合函数单调性判断方法：同増异减，可知的增区间为，减区间为，‎ 故，均错误；‎ 因为是偶函数，所以关于轴对称；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数的单调性、对称性的应用，属于中档题．‎ ‎11.已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正项等比数列满足，则，即，解出，即可得到当，时的关系式，进而得到结论．‎ ‎【详解】解：依题意，正项等比数列满足，‎ 所以，即，‎ 解得或，‎ 因为数列是正项等比数列，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又知道，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 当且仅当时等号成立，因为、为正整数，故等号不成立，‎ 当，时，，‎ 当时，，‎ 当，时，，‎ 故的最小值为 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，一元二次方程的解法，基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎12.锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件 得出，根据为锐角三角形得出角的取值范围，可得出的取值范围.‎ ‎【详解】，即，化简得.‎ 由正弦定理边角互化思想得，‎ 即，所以，，‎ ‎，‎ ‎，，，，，‎ 是锐角三角形，且，所以，‎ 解得，则，所以，，‎ 因此，的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13.设等差数列的前项和为，若，则 ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，根据题中条件列出有关首项和公差的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出的值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，由，，可得，解得.‎ 因此，，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列相关量的计算，常利用首项和公差建立方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎14.已知函数的部分图象如图所示，则_____，_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象得出函数的最小正周期，利用公式求出的值，再将点代入函数的解析式，结合的取值范围，可求出的值.‎ ‎【详解】由图象可知，函数的最小正周期满足，得，‎ ‎，，将点代入函数的解析式，‎ 得，，则，‎ ‎，，，，故答案为，.‎ ‎【点睛】本题考查利用图象求函数的解析式，基本步骤如下：‎ ‎（1）求、：，；‎ ‎（2）求：根据图象得出最小正周期，可得出；‎ ‎（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.‎ ‎15.已知两个非零单位向量、的夹角为.‎ ‎①不存在，使；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④在方向上的投影为.‎ 则上述结论正确序号是________（请将所有正确结论都填在横线上）‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的正误.‎ ‎【详解】对于命题①，，命题①正确；‎ 对于命题②，，同理可得，则，命题②正确；‎ 对于命题③，，‎ ‎，命题③正确；‎ 对于命题④，在方向上的投影为，命题④错误.‎ 因此，正确命题的序号为①②③，故答案为：①②③.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的定义以及运算律，同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义，解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎16.设函数 (为自然对数的底数），直线是曲线的切线，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设切点坐标为，利用导数求出曲线的切线方程，可将、用表示，构造函数，利用导数可求出函数的最小值，即为的最小值.‎ ‎【详解】设切点坐标为，设曲线在处的切线方程为，‎ ‎，，‎ 所以，曲线在处的切线方程为，‎ 即，，，则，‎ 构造函数，则，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.‎ 因此，的最小值为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是建立函数关系式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调减区间和对称轴；‎ ‎（2）若不等式在上有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角恒等变换以及二倍角化简，然后根据正弦函数的性质进行计算．‎ ‎（2）由（1）可得，再根据正弦函数的性质求出在区间上的值域，即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由题意 ‎．‎ 由，．‎ 整理，可得，．‎ 函数的单调减区间为：，，．‎ 又，解得，‎ 函数的对称轴方程为：，．‎ ‎（2）．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 要使不等式有解，必须．‎ 的取值范围为，．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及二倍角相关导出公式进行化简，正弦函数的性质，不等式的性质，属于中档题．‎ ‎18.等比数列的公比，且是、的等差中项.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中条件得出，求出的值，然后利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）由题意可得，即，解得.‎ 因此，数列的通项公式为；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ 上式下式得，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，解题时要熟悉错位相减法对数列通项结构的要求，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.在中，角、、所对的边分别为、、，，‎ ‎，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出的值，再由角的取值范围可求出角的值；‎ ‎（2）利用正弦定理得出，，于是得出，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将其转化为角的三角函数，可求出的最大值.‎ ‎【详解】（1），，且，‎ ‎，即，‎ 即，化简得，‎ ‎，，则，得.‎ ‎，；‎ ‎（2）由正弦定理得，则，，‎ 所以，，为锐角，且，，‎ ‎，，则，‎ 当时，取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题，在求解三角形中的最值与取值范围问题时，一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数，借助三角函数恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.已知数列中，，，前项和为，且.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）构造，两式作差得到即可得到即可得证．‎ ‎（2）利用裂项相消法求和．‎ ‎【详解】解：（1）证明：①‎ 令得，‎ ‎②，‎ ‎②①得③，‎ ‎， 在③中可约去得，‎ 即，‎ 又，是以首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎（2）易得，，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查由证明数列为等差数列以及裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎21.已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若在上单调递増，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，解不等式得出，由题意得出，列出不等式组求出实数的取值范围；‎ ‎（2）由可得对任意的恒成立，然后构造函数，将问题转化为，然后对实数的取值进行分类讨论，确定函数在区间上的最小值，解出不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎.‎ 解不等式，得.‎ 由于函数在区间上单调递增，则，‎ 所以，解得，因此，实数的取值范围是；‎ ‎（2）不等式对任意的恒成立，可得对任意的恒成立，构造函数，其中，则.‎ ‎，构造函数，则，‎ 当时，，则函数在区间上单调递增，‎ 则.‎ ‎①当时，即当时，对任意的，，‎ 此时，函数在区间上单调递增，，‎ 解得，此时，；‎ ‎②当时，即当时，则存在，使得，‎ 此时，.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，‎ 即，‎ 即，得，又，所以，，解得，‎ 此时.‎ 构造函数，其中，，此时，函数单调递减，‎ 所以，，即.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，解题时要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，同时注意将函数不等式恒成立问题转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数）.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系： ‎ ‎（2）点是曲线上的一个动点，求到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）相离；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据曲线的参数方程得知曲线是以点为圆心，以为半径长的圆，并将直线的方程化为普通方程，计算出圆心到直线的距离，将与圆的半径进行大小比较，可得出直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）由（1）可知，到直线的距离的最大值为和圆的半径之和，从而得出结果.‎ ‎【详解】（1）将直线的参数方程化为普通方程得，‎ 由题意知，曲线是以点为圆心，以为半径长的圆，‎ 则圆心到直线的距离为，因此，直线与曲线相离；‎ ‎（2）由于直线与圆相离，则圆上任意一点到直线距离的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，同时也考查了圆上一点到直线距离的最值，在解决直线与圆的综合问题时，通常计算出圆心到直线的距离，利用几何法求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分类讨论法解不等式得解集；（2）先求出，‎ ‎，再解不等式得解.‎ ‎【详解】解：（1）不等式可化为 当时，，，所以无解；‎ 当时，，所以；‎ 当时，，，所以.‎ 综上，不等式的解集是.‎ ‎（2），‎ 若，恒成立，则，‎ 解得：.‎ ‎【点睛】本题主要考查分类讨论法解不等式，考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎