数学文卷·2018届北京市海淀区高三第二学期期中练习（一模）（2018

数学文卷·2018届北京市海淀区高三第二学期期中练习（一模）（2018

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文科） 2018.4‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)已知集合，，且，则可以是 ‎ (A) (B)0 (C)l (D)2‎ ‎(2)已知向量a=(l，2)，b=（，0），则a+2b=‎ ‎ (A)（，2） (B)（，4） (C)(1，2) (D) (1，4）‎ ‎(3)下列函数满足的是 ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(4)执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ‎ (A)2 (B)6‎ ‎ (C)8 (D) 10‎ ‎(5)若抛物线上任意一点到焦点的距 ‎ 离恒大于1，则的取值范围是 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎ (6)如图，格纸上小正方形的边长为1，若四边形及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为 ‎ (A)1 (B)2‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎ ‎ ‎(7)已知是等差数列的前项和，则“对，恒成立”是“数列 为递增 数列”的 ‎ (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(8)已知直线：与圆相交于两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为 ‎(A)2 (B)3 (C)4 (D)5‎ 第二部分（非选择题，共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎(9)复数 .‎ ‎( 10)已知点(2，0)是双曲线：的一个顶点，则的离心率为 .‎ ‎ ( 11)在中，若，，，则 ， .‎ ‎ ( 12)某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 .‎ ‎( 13)已知函数，给出下列结论：‎ ‎ ①在上是减函数；‎ ‎ ②在上的最小值为；‎ ‎ ③在上至少有两个零点，‎ 其中正确结论的序号为 .（写出所有正确结论的序号）‎ ‎ ( 14)将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片．把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为．‎ 甲同学认为有可能比大，乙同学认为和有可能相等．那么甲乙两位同学中说法正确 的同学是 .‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎( 15)（本小题13分）‎ ‎ 已知等比数列满足以，，．‎ ‎ ( I)求数列的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ)试判断是否存在正整数，使得的前项和为？若存在，求出的值；‎ 若不存在，说明理由．‎ ‎( 16)（本小题13分）‎ ‎ 函数（）的部分图象如图所示， ‎ 其中是函数的一个零点．‎ ‎ (I)写出及的值；‎ ‎ (Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎ ‎ ‎( 17)（本小题13分）‎ ‎ 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播．科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%—55%时，病毒死亡较快，现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在%～%时记为区间．‎ 组号 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ 分组 ‎[15,25)‎ ‎[ 25,35)‎ ‎ [35,45)‎ ‎ [ 45,55)‎ ‎ [55,65)‎ ‎ [65,75)‎ ‎ [75,85)‎ ‎ [85,95)‎ ‎ 频数 ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 15‎ ‎ 30‎ ‎ 50‎ ‎ 75‎ ‎ 120‎ ‎ 5‎ ‎(I)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率；‎ ‎(Ⅱ)从区间[ 15，35）的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25，35）的概率；‎ ‎(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对 ‎ 湿度的平均数在第几组（只需写出结论）．‎ ‎(18)（本小题14分）‎ ‎ 如图，四棱锥中，，且平面，为棱的中点． ‎ ‎(I)求证：∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求证：平面平面;‎ ‎(Ⅲ)当四面体的体积最大时，判断直线与直线是 ‎ 否垂直，并说明理由．‎ ‎( 19)（本小题14分）‎ ‎ 已知椭圆的两个焦点为，离心率为．‎ ‎ (I)求椭圆的方程；‎ ‎ (Ⅱ)设点是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点，直线，与直线分别交于，两点．求证：点在以为直径的圆上．‎ ‎( 20)（本小题13分）‎ 已知函数 ‎ ‎(I)当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎ (Ⅱ)当时，判断 在上的单调性，并说明理由；‎ ‎ (Ⅲ)当时，求证：，都有．‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习 ‎ 数学(文)参考答案与评分标准 2018.4‎ 一．选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A D D D B C C 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9． 10． 11． ‎ ‎12． 13．①③ 14. 乙 三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．解：（Ⅰ）设的公比为， ‎ 因为 ，且，‎ 所以 ， ‎ 得 ‎ 所以 ………………6分 ‎ （Ⅱ）不存在，使得的前项和为 ‎ 因为，， ‎ 所以 ………………10分 方法1：‎ 令 ，则 得，该方程无解. ‎ 所以不存在，使得的前项和为. ………………13分 方法2：‎ 因为对任意，有，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 所以不存在，使得的前项和为。 ………………13分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16．解：（Ⅰ） ………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ‎ 因为，‎ 所以 ‎ 当 即 时， 的最小值为. ‎ 当 即 时， 的最大值为. ………………13分 ‎17．解：（Ⅰ）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快. ‎ 而样本在上的频数为30，‎ 所以所求频率为 ………………3分 ‎（Ⅱ）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于” ‎ 设区间中的两个数据为，区间中的三个数据为，‎ 因此，从区间的数据中任取两个数据，‎ 包含 ‎ 共10个基本事件， ‎ 而事件包含共6个基本事件， ‎ 所以. …………………….…10分 ‎（Ⅲ）第6组. …………………….…13分 ‎18．（Ⅰ）证明：取线段的中点，连接. ‎ 因为为棱的中点，‎ 所以在中，. ‎ 又，,‎ 所以.‎ 所以四边形是平行四边形, ‎ 所以. ‎ 又平面, 平面,‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）因为,为中点,‎ 所以. ‎ 又平面,平面,‎ 所以 ‎ 又,‎ 所以平面. ‎ 又，‎ 所以平面. ‎ 因为平面,‎ 所以平面平面. .…………………….…9分 ‎（Ⅲ）. ‎ 设， ‎ 则四面体的体积 . ‎ 当，即时体积最大. ‎ 又平面,平面,‎ 所以. ‎ 因为,‎ 所以平面. ‎ 因为平面，‎ 所以. .…………………….…14分 ‎19．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为 ，‎ 则 ‎ 得 ‎ 所以椭圆方程为 .…………………….…5分 ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得.‎ 当直线不存在斜率时，可得 直线方程为，令得, ‎ 同理，得.‎ 所以,‎ 得.‎ 所以,在以为直径的圆上. ‎ 当直线存在斜率时，设方程为 ，、.‎ 由可得.‎ 显然,, ‎ 直线方程为，得 , ‎ 同理， . ‎ 所以.‎ ‎ ‎ 因为 所以 ‎ ‎ 所以 ‎ 所以,在以为直径的圆上. .…………………….…14分 综上，在以为直径的圆上. ‎ ‎20．解：（Ⅰ）当时，,‎ ‎. ‎ 得 ‎ 又, ‎ 所以曲线在处的切线方程为 .…………………….…4分 ‎（Ⅱ）方法1：‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎ ‎ 因为，‎ 所以. ‎ 所以. ‎ 所以 当时，， ‎ 所以在区间单调递增. .…………………….…8分 方法2：‎ 因为，‎ 所以. ‎ 令， ‎ 则 ， ‎ 随x的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ 极大值 当时，.‎ 所以时，，即，‎ 所以在区间单调递增. .…………………….…8分 ‎（Ⅲ）方法1：‎ 由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，‎ 所以时，. ‎ 当时，设，‎ 则 ， ‎ 随x的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ 极大值 所以在上单调递增，在上单调递减 ‎ 因为，， ‎ 所以存在唯一的实数，使得， ‎ 且当时，，当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减. ‎ 又 ，,‎ 所以当时，对于任意的，. ‎ 综上所述，当时，对任意的，均有. ‎ ‎.…………………….…13分 方法2：由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，‎ 所以时，. ‎ 当时， 由（Ⅱ）可知，在上单调递增，在上单调递减，‎ 因为，， ‎ 所以存在唯一的实数，使得， ‎ 且当时，，当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减. ‎ 又 ，,‎ 所以当时，对于任意的，. ‎ 综上所述，当时，对任意的，均有. .…………………….…13分