数学理（普通班）卷·2018届陕西省黄陵中学高二下学期开学考试（2017-02）

数学理（普通班）卷·2018届陕西省黄陵中学高二下学期开学考试（2017-02）

高二普通班第二学期开学考试 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.在锐角中，，其面积，则（ ）‎ A．5 B．或 C． D．‎ ‎2.关于实数的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.过抛物线的焦点作直线交于两点，若，则（ ）‎ A．16 B．12 C．10 D．8‎ ‎4．已知命题p：x∈R，2x2+2x+<0，命题q：x0∈R，sinx0-cosx0=，则下列判断中正确的是　(　　)‎ A．p是真命题 B．q是假命题 C．p是假命题 D． q是假命题 ‎5．一动圆P过定点M (-4，0)，且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是　(　　)‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．已知向量a=(1，0，-1)，则下列向量中与a成60°夹角的是　(　　)‎ A．(-1，1，0) B．(1，-1，0) C．(0，-1，1) D．(-1，0，1)‎ ‎7.已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎10．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（　　）‎ A．若x2≥1，则﹣1≥x≥1 B．若1≥x≥﹣1，则x2≥1‎ C．若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1 D．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1‎ ‎11．如图，是一程序框图，则输出结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．正四面体ABCD的体积为V，M是正四面体ABCD内部的点，若“”的事件为X，则概率P（X）为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若抛物线y²=-2px(p>0)上有一点M，其横坐标为-9，‎ 它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.‎ ‎14．过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆 交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______‎ ‎15.已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点，是两曲线的一个公共点，若，则 .‎ ‎16.如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于，已知（面）是绕旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面平面；②面；③三棱锥的体积最大值为；④动点在平面上的射影在线段上；⑤二面角的平面角的取值范围是.‎ 其中正确的命题是 （写出所有正确命题的编号）.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分10分）已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ⑴命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ⑵若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.‎ ‎18（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，，且成等比数列，公比不为1.‎ ⑴求数列的通项公式；‎ ⑵设，求数列的前项和.‎ ‎19.（12分）如图（1），在平行四边形中，，，分别为，的中点，现把平行四边形沿折起，如图（2）所示，连结.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎20.（12分）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．‎ ‎（1）求证：PA∥平面MBD；‎ ‎（2）求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．‎ ‎21、（12分）已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.(Ⅰ)求椭圆E的方程；‎ ‎(Ⅱ)设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论．‎ ‎22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆相交于点.‎ ⑴求抛物线的方程；‎ ⑵过点是否存在直线与椭圆交于两点，且以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ 参考答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C B D C B A C A C B D 二、 填空题 13. ‎（-9,6）或（-9，-6） 14. 15. 16.①②③④‎ 17. ⑴⑵或 18. ⑴⑵‎ ‎19、（12分）证明：（Ⅰ）由已知可得，四边形均为边长为2的菱形，‎ 且.‎ 在图（1）中，取中点，连结，‎ 故是等边三角形，‎ 所以，‎ 同理可得，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 又因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由已知得，，‎ 所以，故，‎ 如图（2），分别以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 得，.‎ 设平面的法向量，‎ ‎，，‎ 由得，‎ 令，得，，‎ 所以平面的一个法向量.‎ 设平面的法向量，‎ ‎，，‎ 由得，‎ 令，得，，‎ 所以平面的一个法向量为.‎ 于是，‎ 因为二面角的平面角为钝角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.证明：（1）连接AC、BD交于点O，连接OM．‎ 则AO=OC，又PM=MC，‎ ‎∴PA∥OM．‎ ‎∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，‎ ‎∴PA∥平面BMD．‎ 解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，2，2），B（4，0，0），D（0，4，0），‎ ‎=（﹣4，2，2），=（﹣4，4，0），‎ 设平面BPD的法向量=（x，y，z），‎ 则，‎ 取x=1，得=（1，1，），‎ 平面ABD的法向量=（0，0，1），‎ 设二面角P﹣BD﹣A的平面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴二面角P﹣BD﹣A的余弦值为．‎ ‎21.【解析】(Ⅰ)依题意得＝，·2a·2b＝4，又a2＝b2＋c2，由此解得a＝2，b＝.所以椭圆E的方程为 ＋＝1.‎ ‎ (Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内．证明如下：‎ 方法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0)．设M(x0，y0)．‎ ‎∵M点在椭圆上，∴y02＝(4－x02)．　①‎ 又点M异于顶点A、B，∴－20，∴·>0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，‎ 故点B在以MN为直径的圆内．‎ 方法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则－2

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