2018届二轮复习 圆锥曲线的综合问题 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 圆锥曲线的综合问题 学案（ 江苏专用）

专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．（1）点A是椭圆的左顶点，点F是右焦点，若点P在椭圆上，且位于轴上方，满足PA⊥PF，则点P的坐标为 ．‎ ‎（2）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 ．‎ 答案：(1)(,)．(2)6．‎ ‎2．(1)已知椭圆的方程为＋＝1，与右焦点F相应的准线与x轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．若·＝0，求直线PQ的方程．‎ ‎(2)已知椭圆的方程为＋＝1，与右焦点F相应的准线与x轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．设＝3，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明：＝3．‎ ‎ (3)已知椭圆方程为 ＋＝1，一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点为(2，1)，求直线l的斜率．‎ 答案：(1)y＝±(x－3)．(2)略．(3)－．‎ ‎3．(1) 设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是 .‎ ‎(2)若C(－，0)，D(，0)，M是椭圆＋y2＝1上的动点，则＋的最小值为________．‎ 答案：（1）6；（2）1.‎ 二、方法联想 ‎1．椭圆上一个点问题 方法1：设点. ①设点(x,y)代入方程、列式、消元；②点(acosθ,bsinθ)‎ 方法2：求点. 代入方程、列式、求解．‎ 注意 考虑x0(或y0)的取值范围． ‎ 变式：如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上,且OP⊥AF.‎ 求证：存在椭圆C，使直线AF平分线段OP.‎ 答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)‎ ‎2．直线与椭圆相交于两点问题 ‎①已知其中一点坐标(x,y)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；‎ ‎②两点均未知 方法1 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y得关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0，由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝，代入已知条件所得式子消去x1，x2(其中y1，y2通过直线方程化为x1，x2)．‎ 注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x轴情况；‎ ‎(2)通过△判断交点个数；‎ ‎ (3)根据需要也可消去x得关于y的方程．‎ 结论：弦长公式 ｜AB｜＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜．‎ 方法2 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得通过已知条件建立x1、y1与x2、y2的关系，消去x2、y2解关于x1、y1的方程组（或方程）．‎ 方法3 点差法 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得两式相减得＝－×，‎ 即kAB＝－×，其中AB中点M为(x0，y0)．‎ ‎ 注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．‎ 变式：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.‎ ‎①若直线l的斜率为，求的值；‎ ‎②若＝λ，求实数λ的取值范围．‎ 答案：①；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)‎ ‎3.定值问题 方法1 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ 方法2 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎4．定点问题 方法1 假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ 方法2 从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎5. 圆锥曲线的最值与范围问题 ‎(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：‎ ‎①椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离；‎ ‎②抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近；‎ ‎ (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．‎ ‎(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．‎ ‎(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．‎ ‎(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．‎ ‎(6)实际应用问题，解这类题目时，首先要解决以下两个问题：①选择适当的坐标系；②将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来．其次，根据需要将最值问题化为一个函数的最值问题．‎ 三、例题分析 例1 设椭圆C： ＋＝1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．‎ 答案：（1）C的方程为＋＝1．‎ ‎（2）所截线段的中点坐标为（，－）．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．椭圆中的几个基本量以及它们之间的关系．‎ ‎2．利用直线方程与椭圆方程组成的方程组求解得到交点，研究直线与椭圆相交的相关问题．‎ ‎3．利用韦达定理研究直线与椭圆相交的中点问题．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．研究“弦的中点问题”还可以利用“点差法”．本题由于直线方程和椭圆方程都是已知的，所以利用韦达定理来研究还是比较直接的．‎ 例2 已知椭圆C：＋y2＝1（常数m＞1），点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为（2，0）．‎ ‎（1）若M与A重合，求C的焦点坐标；‎ ‎（2）若m＝3，求PA的最大值与最小值；‎ ‎（3）若PA的最小值为MA，求m的取值范围．‎ 答案：（1）左、右焦点坐标为（－，0），（，0）．‎ ‎（2）PA的最大值与最小值分别为和5．‎ ‎（3）m的取值范围是1＜m≤1＋．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．椭圆标准方程，椭圆中的几个基本量以及它们之间的关系，椭圆的焦点坐标．‎ ‎2．点在椭圆上，点的坐标满足方程，同时点的横、纵坐标有范围．‎ ‎3．建立目标函数，研究给定定义域的二次函数的值域．‎ ‎4．研究二次函数在定义域的一个端点取得最值时所满足的条件．‎ ‎5．解简单的分式不等式．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．突出函数思想，关注函数的定义域．结合函数的图象进行研究，体现数形结合的思想．‎ 例3 已知椭圆C：＋＝1，点A（1，），右顶点B．‎ ‎（1）E、F是椭圆C上的两个动点，若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于点M，N两点（M，N不是左、右顶点），且•＝0，‎ 求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．‎ 答案：（1）直线EF的斜率为定值，且kEF＝．‎ ‎（2）直线l过定点（，0）．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．点斜式直线方程．‎ ‎2．通过直线方程和椭圆方程组成的方程组求交点坐标．‎ ‎3．直线的斜率公式．‎ ‎4．定值问题，可将该量表示出来进行化简．‎ ‎5．向量数量积的应用，定义法、坐标法和基底法．‎ ‎6．研究动直线过定点的方法，待定系数法探求和特殊化探究证明．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．本题也可以先设出点E、F的坐标．由于已知了直线AE与直线AF斜率之间的关系，所以利用方程组求解较为合理．‎ ‎2．由于点A已经是直线与椭圆的一个交点，所以在解方程组时，要学会将椭圆方程理性变形．‎ ‎3．在求出了点E坐标之后，点F坐标理性思考之后给出．‎ ‎4．直角坐标系下研究向量问题，往往坐标形式比较简单．‎ ‎5．由于直接求M，N两点的坐标比较困难（求也可以，由于方程中字母较多，运算较为复杂），所以将条件•＝0理解成点B在以MN为直径的圆上，从而找到m与k的关系．‎ 四、反馈练习 ‎1.如图,已知F1,F2是椭圆C: (a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为　　　　.‎ 答案：‎ 提示：‎ ‎2.已知椭圆,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,则PA+PB的最小值和最大值分别为　　　　　　　　.‎ 答案： ‎ 说明：本题考查椭圆的定义 ‎3. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值等于___________ ‎ 答案:　3‎ 说明：本题考查抛物线焦半径公式的应用.‎ ‎4. M为椭圆上任意一点,P为线段OM的中点,则的最小值为　　　　.‎ 答案：‎ 说明：本题考查椭圆的应用 ‎5．直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为_ _______．‎ 答案：　 说明：本题考查椭圆的切线 ‎6.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为________________．‎ 答案：　y2＝4x或y2＝16x 说明：本题考查圆与抛物线的综合应用 ‎7.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且B＝‎2 F，则C的离心率为________． ‎ 答案：e＝ 提示：点代入方程求离心率,由B＝‎2 F求出点D坐标点代入椭圆方程求离心率 ‎8.已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．‎ 答案：(1，2)‎ 提示：只要|AF|<|EF|就能使∠AEF< ‎9.直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为________． ‎ 答案：　 说明：本题考查抛物线焦半径 ‎10已知抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，点P是抛物线y2＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为___________‎ 答案：　－x2＝1‎ 说明：本题考查双曲线渐近线和抛物线的定义 ‎11.已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8，求长半轴长的最小值．（椭圆定义、基本不等式）‎ 答案：4(－1)‎ 说明：本题考查椭圆定义、基本不等式 ‎12.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).求证:‎ ‎(1) A, B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别都是定值;‎ ‎(2) 直线AB经过一定点. ‎ 答案：(1) 横坐标之积为为定值,纵坐标之积为. ‎ ‎（2）定点(2p,0)‎ 说明：本题考查简单的定值、定点问题.‎ ‎13. 在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(，0)，B(－，0)，直线PA与PB的斜率之积为－.‎ ‎(1)求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一定点．（求轨迹，定点问题）‎ 答案：(1)＋y2＝1(y≠0) (2) 直线MQ过定点(2,0)‎ 说明：(1)本题考查求轨迹方程 ‎ ‎(2) 定点问题 ‎14. 如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．‎ 图15‎ 答案：(1) a＝2，b＝1‎ ‎ (2) 直线l的方程为y＝－(x－1)．‎ 说明：本题考查了直线与圆锥曲线相交，已知一个交点坐标求另一个交点坐标。‎ ‎15．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB 长度的最小值．‎ 答案：(1)由题意，知椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.‎ 因此a＝2，c＝.‎ 故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，‎ 解得t＝－.‎ 又x＋2y＝4，‎ 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2‎ ‎＝＋(y0－2)2‎ ‎＝x＋y＋＋4‎ ‎＝x＋＋＋4‎ ‎＝＋＋4(0＜x≤4)．‎ 因为＋≥4(0＜x≤4)，且当x＝4时等号成立．‎ 所以|AB|2≥8.‎ 故线段AB长度的最小值为2.‎ 说明：考察与圆锥曲线有关的范围、最值问题。利用两点间距离公式表示弦长，并由点在椭圆上，把弦长化为只含有一个变量的函数式，根据变量的取值范围确定最值．‎