2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章 第1节 简单几何体的直观图、表面积与体积

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章 第1节 简单几何体的直观图、表面积与体积

www.ks5u.com 多维层次练36‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1.(2020·衡水中学月考)如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：由题图知，A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴．由斜二测画法知，在△ABC中，AC∥y轴，AB∥x轴，所以AC⊥AB.又A′C′＝A′B′，所以AC＝2AB≠AB，所以△ABC是直角三角形．‎ 答案：B ‎2．关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是(　　)‎ A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱锥的侧棱长都相等 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 解析：根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．‎ 答案：B ‎3．棱长为2的正方体的内切球的体积为(　　)‎ A．4π B．16π ‎ C. D. 解析：由正方体的性质可得正方体的内切球的半径R＝×2＝1，‎ 所以球的体积V＝πR3＝.‎ 答案：C ‎4．三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，，，则该三棱锥的外接球表面积为(　　)‎ A．4π B．6π ‎ C．8π D．10π 解析：三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，它的外接球就是其扩充为长方体的外接球，‎ 设PA＝a，PB＝b，PC＝c，‎ 则ab＝，bc＝，ca＝，‎ 解得a＝，b＝1，c＝.‎ 故长方体的体对角线的长为＝.‎ 所以球的直径是，半径R＝，‎ 则球的表面积S＝4πR2＝6π.‎ 答案：B ‎5．(2020·西安模拟)如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为(　　)‎ A．3 B. C．1 D. 解析：由题意可知，AD⊥平面B1DC1，即AD为三棱锥A-B1DC1的高，且AD＝×2＝，‎ 易求得S△B1DC1＝×2×＝，‎ 所以VA-B1DC1＝××＝1.‎ 答案：C ‎6．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　)‎ A．8π B．4π ‎ C．2π D.π 解析：因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.‎ 取AC的中点D，连接BD，PD，‎ 易证AC⊥平面BDP，‎ 所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，‎ AC，CE⊂平面PAC，‎ 所以PB⊥平面PAC，‎ 所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，‎ 所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，‎ 以PA，PB，PC为从同一顶点出发的三条棱补成正方体(如图)．‎ 由AB＝2，知正方体的棱长为PA＝PB＝PC＝.‎ 则外接球的半径R满足(2R)2＝3×()2＝6，‎ 所以R＝.‎ 故球O的体积V＝πR3＝π.‎ 答案：D ‎7．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与旋转轴所成角的大小是________．‎ 解析：设圆锥的母线与旋转轴所成角为θ，由题意得πRl＝2πR2，‎ 即l＝2R，所以sin θ＝＝，即θ＝.‎ 故母线与旋转轴所成角的大小是.‎ 答案： ‎8．(2020·泉州期末)在三棱锥P-ABC中，D，E分别是PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则＝________．‎ 解析：如图所示，设S△ABD＝S1，S△ABP＝S2，点E到平面ABD的距离为h1，点C到平面ABP的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1.‎ 因为V1＝S1h1，V2＝S2h2，‎ 所以＝＝.‎ 答案： ‎9．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图所示，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.‎ 解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，‎ 故V挖去的四棱锥＝ ××4×6×3＝12(cm3)．‎ 又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，‎ 所以模型的体积为 V长方体-V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，‎ 所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．‎ 答案：118.8‎ ‎10．圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为15，若圆台的侧面积为420π，求圆台较小底面的半径．‎ 解析：设圆台较小底面半径为r，则另一个底面半径为3r，‎ 由S＝π(r＋3r)·15＝420π，解得r＝7.‎ 所以圆台较小底面的半径为7.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．(2020·南阳模拟)如图所示，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，‎ 且A′D⊥平面A′EF.‎ 将三棱锥的底面△A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，则三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，又正四棱柱的体对角线的长度就是外接球的直径，直径为＝，所以球的半径为.‎ 答案：D ‎12．(2018·天津卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为________．‎ 解析：依题意，易知四棱锥MEFGH是一个正四棱锥，且底面边长为，高为.‎ 故VMEFGH＝×()2×＝.‎ 答案： ‎13．(2020·河南六市模拟)已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.‎ ‎(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；‎ ‎(2)求三棱锥E-ABC的体积．‎ 解：(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求．‎ 证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，‎ 因为△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，‎ 所以AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，‎ 所以AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD.‎ 所以EN∥AH.‎ 因为EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，‎ 所以EN∥平面ABC.‎ 又M、N分别为BD，DC的中点，‎ 所以MN∥BC，‎ 因为MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ 所以MN∥平面ABC.‎ 又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，‎ 所以平面EMN∥平面ABC，‎ 又EF⊂平面EMN，‎ 所以EF∥平面ABC，‎ 即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行．‎ ‎(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，‎ 由(1)可知EN∥平面ABC，‎ 所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，‎ 又△BCD是边长为2的等边三角形，‎ 所以DH⊥BC，‎ 又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，‎ 所以DH⊥平面ABC，‎ 所以NG⊥平面ABC，‎ 因为DH＝，N为CD的中点，‎ 所以NG＝，‎ 又S△ABC＝·BC·AH＝×2×＝2，‎ 所以VE－ABC＝·SABC·NG＝.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(多选题)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱D1C1，B1C1的中点，过E，F作一平面α，则平面α截正方体的表面所得的平面图形可能为(　　)‎ A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．七边形 解析：如图所示，截面可能为三角形、四边形、六边形，故选ABC.‎ 答案：ABC