2018-2019学年浙江省杭州市第二中学（东河校区）高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省杭州市第二中学（东河校区）高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省杭州市第二中学（东河校区）高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设，，则为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量减法的运算，判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量减法运算，属于基础题.‎ ‎2．若A＝{x|0＜x}，B＝{x|1≤x＜2}，则A∩B＝（　　）‎ A．{x|0＜x＜2} B． C． D．{x|x≥2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】‎ 交集是两个集合的公共元素组成，故.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎3．集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　 　)‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：分为偶数和为奇数讨论，即可得到答案.‎ 详解：由集合，‎ 当为偶数时，集合与表示相同的角，位于第一象限；‎ 当为奇数时，集合与表示相同的角，位于第三象限；‎ 所以集合中表示的角的范围为选项C，故选C.‎ 点睛：本题考查了角的表示，其中分为偶数和为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎4．的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用诱导公式化简求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查诱导公式化简求值，属于基础题.‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数，又是[0，+∞）上的增函数的是（　　）‎ A．y＝﹣x2 B．y＝log2x C． D．y＝|x|‎ ‎【答案】D ‎【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在上的单调性，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，为偶函数，在上递减，不符合题意.‎ 对于B选项，为非奇非偶函数，不符合题意.‎ 对于C选项，为非奇非偶函数，不符合题意.‎ 对于D选项，为偶函数，且在上递增，符合题意.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.‎ ‎6．把函数的图象向右平移个单位长度得到函数 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可得，函数作相应平移后得到函数，故选B ‎7．函数f（x）=x–3+ex的零点所在的区间是（ ）‎ A．（0，1） B．（1，3） C．（3，4） D．（4，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,,‎ 所以函数 在区间上有零点.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是函数零点存在性定理，是基础题.‎ ‎8．设，为两个非零向量，且（x1，y1）（x2，y2），则下列四个等式：‎ ‎（1）•0； ‎ ‎（2）x1x2+y1y2＝0； ‎ ‎（3）||＝||； ‎ ‎（4）.‎ 其中与等价的等式个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据两个向量垂直的向量表示形式、向量模的运算、数量积的运算对四个等式逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 两个向量垂直，故（1）（2）符合题意.‎ 对于（3），由两边平方得，化简得，与等价，符合题意.‎ 对于（4），由得，，不能推出，不符合题意.‎ 综上所述，其中与等价的等式个数为个.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个向量垂直的表现形式，属于基础题.‎ ‎9．如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1，P4，P6，P2是四边的中点，AB是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3，则（i＝1，2，…，7）的不同值的个数为（　　）‎ A．7 B．5 C．3 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】求得所有的值，由此取得不同值的个数.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以共有三种不同的取值.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查平面向量加法运算，属于基础题.‎ ‎10．已知函数，则方程实根的个数为（ ）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】C ‎【解析】对分类讨论：当时，显然可知有一实根；当时，方程可化为或，构造函数，画出函数图象，把方程问题转换为函数交点问题即可．‎ ‎【详解】‎ 当时，，，‎ ‎∴有一实根；‎ 当时，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴或|，‎ 分别画出函数以及，的图象如图，‎ 由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数零点的个数即等价于函数和图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．‎ 二、填空题 ‎11．计算：_____，log69+log64＝_____．‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎【解析】利用指数运算化简，利用对数运算化简.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ log69+log64＝log636＝2．‎ 故答案为：（1）；（2）‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题.‎ ‎12．函数f（x）的定义域为_____．‎ ‎【答案】（﹣∞，1）∪（1，2）．‎ ‎【解析】根据对数真数大于零、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数 的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由函数f（x），‎ 得，‎ 解得x＜2且x≠1，‎ 所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎13．已知单位向量的夹角为，，且，则_____，m＝_____．‎ ‎【答案】 6 ‎ ‎【解析】根据单位向量的模以及数量积的运算，求得，进而求得.由于，所以存在实数λ，使得，由此列方程组，解方程组求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎1×1×cos，∴447，‎ ‎∴||．‎ ‎∵，∴存在实数λ，使得，‎ 即λ（3m），‎ ‎∴，解得λ，m＝6．‎ 故答案为：（1）；（2）‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查两个向量平行的表示，考查单位向量的概念，属于基础题.‎ ‎14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）恒过定点_____，当a＞1时，f（x2）的单调递增区间为_____．‎ ‎【答案】（2，0） （﹣∞，0]． ‎ ‎【解析】根据求得恒过的定点坐标.求得的表达式，根据复合函数单调性同增异减，求得的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）中，‎ 令2﹣x＝0，解得x＝2，‎ 所以y＝f（2）＝1﹣1＝0，‎ 所以函数f（x）恒过定点（2，0），‎ 当a＞1时，f（x2）1的单调递增区间为（﹣∞，0]．‎ 故答案为：（1）；（2）‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数型函数过定点，考查复合函数单调区间的求法，属于基础题.‎ ‎15．已知sin（x），则sin（x）+sin2（）的值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式，将所求表达式转化为只含的形式，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎＝sin[]+sin2[]‎ ‎＝sin（x）‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎16．关于函数，有下列命题：‎ ‎①其图象关于y轴对称；‎ ‎②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；‎ ‎③f(x)的最小值是lg2；‎ ‎④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数；‎ ‎⑤f(x)无最大值，也无最小值．‎ 其中所有正确结论的序号是 ．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】因为根据已知条件可知，，显然利用偶函数的性质可知命题1正确，同时对于真数部分分析可知最小值为2，因此命题3成立，利用复合函数的性质可知道命题4成立，而命题2，单调性不符合对勾函数的性质，因此错误，命题5中，函数有最小值，因此错误，故填写①③④‎ ‎17．已知中，，，点为线段上的动点，动点满足，则的最小值等于 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：如下图所示，令，，设（），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，等号成立，即的最小值是，故填：．‎ ‎【考点】1．平面向量的线性运算及数量积；2．二次函数的最值．‎ 三、解答题 ‎18．已知角α的终边经过点P（m，4），且，‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】(1) m＝﹣3；(2)7．‎ ‎【解析】（1）根据角终边上一点的坐标以及余弦值的定义列方程，解方程求得的值.‎ ‎（2）由（1）中点坐标和正弦值的定义求得的值，由此利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）角α的终边经过点P（m，4），且，‎ 可得解得m＝﹣3；‎ ‎（2）由（1）可得sinα，‎ ‎7．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎19．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点）‎ ‎（1）求∠OCM的余弦值；‎ ‎（2）若OP⊥CM，求的值．‎ ‎【答案】(1)．(2)．‎ ‎【解析】（1）根据求得点坐标，由两点间的距离公式求得，有余弦定理求得的余弦值.‎ ‎（2）设出点坐标，利用，则，结合向量的坐标运算，求得点的坐标.由此求得的长，进而求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）已知四边形OABC等腰梯形，，点M满足，所以，故OM＝3．‎ CM，，‎ 在△OCM中．‎ 故∠OCM的余弦值为．‎ ‎（2）设P（x，），所以，，‎ 由于OP⊥CM，所以，解得x，‎ 所以，，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查余弦定理解三角形，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎20．已知函数=(其中)的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最高点为 ‎(1)求的解析式和单调增区间;‎ ‎(2)当],求的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)根据题中条件，利用函数性质，求得函数的解析式，并利用整体代换，计算函数的单调递增区间；(2)利用整体代换，求得的取值范围，由此确定函数的最值及取到最值时相应的x的值.‎ 试题解析：(1)由最高点为得，由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图象上得=,，故=,.又，故=，令,解得，所以函数在上单调递增.‎ ‎(2)],，当=，即时，取得最大值2；当=，即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2].‎ 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了求三角函数解析式的应用问题，是基础题目；为振幅控制着函数的最大值和最小值，图象的最高点纵坐标即为，控制着函数周期，与轴相邻两个交点间的距离为半个周期，通过函数过特殊点求得，从而得到函数解析式.‎ ‎21．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；‎ ‎（3）若对任意的θ∈[0，]，f（cos2θ+λsinθ+2）0恒成立，求实数λ的取值范围 ‎【答案】(1) b＝1，a＝2；(2)证明见解析 (3) (﹣1，+∞）．‎ ‎【解析】（1）利用是定义在上的奇函数，，以及列方程，由此求得的值，进而求得解析式.‎ ‎（2）任取，通过计算求得，即，由此证得 在上是减函数.‎ ‎（3）根据的单调性和奇偶性化简不等式，得到，利用换元法，结合分离常数法，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，定义域为R的函数是奇函数．‎ 得f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1），‎ ‎∴b＝1，a＝2，‎ 那么f（x），‎ 由f（﹣x）f（x），‎ 故得b＝1，a＝2符合题意；‎ ‎（2）由（1）可得f（x），‎ 设x1＜x2，‎ 则f（x2）﹣f（x1），‎ ‎∵x1＜x2，‎ ‎∴‎ 则f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）；‎ ‎∴函数f（x）在R上是减函数；‎ ‎（3）由，即，‎ ‎∵f（1），f（x）在R上是减函数；‎ ‎∴cos2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，]，‎ 即2﹣sin2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，]恒成立，‎ 设sinθ＝t，（0≤t≤1），‎ ‎∴2﹣t2+λt＞0，‎ 当t＝0时，2＞0恒成立，‎ 当0＜t≤1时，转化为，‎ ‎∵函数y在（0，1]递增，‎ ‎∴，‎ 即λ>﹣1；‎ 故得实数λ的取值范围(﹣1，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的奇偶性求函数解析式，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎