江苏省南京师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

江苏省南京师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 南京师大附中2019-2020学年度第1学期 高一年级期中考试数学试卷 一、单选题：本大题共10小题，每小题2分，共计20分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示A中不包含B的集合，容易选出答案。‎ ‎【详解】表示A中不包含B集合，即.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查集合的补集，熟知补集概念容易做出题目，属于简单题目.‎ ‎2.若，则（ ）.‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合中元素的确定性得出1肯定是或者的一个，又由互异性可知1只能为，较易解出答案.‎ ‎【详解】根据集合中元素的确定性和互异性可知，只能，且；‎ 所以。‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查集合元素三特性中的确定性和互异性，重点是互异性的理解，即同一个集合里不能出现两个相同的元素，属于简单题目.‎ ‎3.函数的定义域为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根号里面大于等于零，分母不等于零，对数函数真数大于零，列出不等式即可求出定义域的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可得：，即 故选：C ‎【点睛】此题考查具体函数求定义域，根据根号里面大于等于零，分母不等于零，对数函数真数大于零，列出不等式求交集较易求的定义域，属于简单题目.‎ ‎4.下列各组的函数，与是同一个函数的是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 同一函数指定义域和对应法则都相同，根据这一标准即可进行判断.‎ ‎【详解】A选项：和的定义域都是R，且 即和的对应法则也一样，所以是同一函数，所以A正确.‎ B选项：的定义域是R，而的定义域是，所以B不正确.‎ C选项：的定义域是R，而的定义域是，所以C不正确.‎ D选项：的定义域是R，而的定义域是，所以D不正确.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查同一函数概念，只有定义域和对应法则都相同时才是同一函数，属于简单题目.‎ ‎5.已知函数，则下列图像错误的是（ ）.‎ A. 的图像 B. 的图像 C. 的图像 D. 的图像 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出的图像，再分析每个选项的函数对应是怎样变化了即可较易选出答案。‎ ‎【详解】先分段画出的图像，‎ 易得D选项是正确的。‎ A选项：的图像由向右平移一个单位，可知A选项正确。‎ B选项：的图像由将，图像关于y轴对称翻折到得到的图像，可知B选项不正确。‎ C选项：的图像由对称区间图像交换位置得到，可知C选项正确。‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查函数图像的变化问题，关键点弄清楚常见的左右平移变化，关于对称变化，关于轴对称变化等的特点，属于较易题目。‎ ‎6.已知，那么的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，即，再由对数函数单调性即可解出的范围。‎ ‎【详解】，即。‎ 由是增函数，可解出：.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查对数函数解不等式，关键点是转化为根据对数函数单调性求解，属于简单题目。‎ ‎7.若集合有且仅有1个元素，则实数的值是（ ）‎ A. 2或-1 B. -2或-1 C. 2或-1 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：当，解得，，得，符合题意，‎ 当时，，解得或，故答案为A.‎ 考点：集合中元素的个数.‎ ‎8.若函数在上为增函数，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先讨论二次项系数是否为零判断是一次函数还是二次函数，一次函数根据斜率为正是增函数，二次函数要在上为增函数开口只能向下且对称轴在零的右侧。‎ ‎【详解】当时，即时，，显然在上为增函数，所以 ‎ 满足条件。‎ 当时，即时，为一元二次函数。‎ 要在上为增函数，此时只能开口向下，且对称轴大于等于0，即时，对称轴，即 综上所述：‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查二次项系数含参单调性问题，特别注意如果二次项系数为零则为一次函数容易遗漏，属于较易题目。‎ ‎9.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分情况讨论：当任意时，恒成立，即恒成立，即 ，即恒成立，只需当任意时，即可，通过和对称轴进行讨论即可。‎ ‎【详解】当任意时，恒成立，即恒成立，即 ，即恒成立，只需当任意时，即可。‎ 当时，即时，当任意时，恒成立显然成立，所以时满足条件；‎ 当时，即或者时，要使当任意时，恒成立，对称轴，即，且，即，‎ ‎。所以时满足条件。‎ 综上所述：‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查二次函数通过和对称轴范围求最小值解恒成立问题，关键点注意分类讨论的依据，属于较易题目。‎ ‎10.若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可。‎ ‎【详解】因函数在R上单调递增，‎ 所以；‎ 对称轴，即；‎ 临界点处，即或；‎ 综上所述：‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查分段函数单调性问题，每段各自单调和临界点处左右单调是解题的关键点，属于较易题目。‎ 二、多选题：本大题共3小题，每小题3分，共计9分.每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得3分，其他情况不得分.‎ ‎11.若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别讨论单增和单减两种不同情况即可较易求解.‎ ‎【详解】当时，指数函数单调递增，所以在区间上的最大值，最小值。所以，求得或者（舍）；‎ 当时，指数函数单调递减，所以在区间上的最大值，‎ ‎，所以所以，求得（舍）或者.‎ 综上所述：或者.‎ 故选：AB ‎【点睛】此题考查指数函数的通过单调性求最值问题，分别讨论分别讨论单增和单减两种不同的情况，属于较易题目。‎ ‎12.在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（ ）. ‎ A. 在前三小时内，每小时的产量逐步增加 B. 在前三小时内，每小时的产量逐步减少 C. 最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同 D. 最后两小时内，该车间没有生产该产品 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据车间持续5个小时的生产总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，分别进行判断即可。‎ ‎【详解】由该车间持续5个小时的生产总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，得：前3小时的产量逐步减少，故A错，B正确；‎ 后2小时均没有生产，故C错，D正确。‎ 故选：BD ‎【点睛】此题考查函数图像的实际应用，关键点是将函数图像和实际问题联系起来，属于较易问题。‎ ‎13.下列四个说法中，错误的选项有（ ）.‎ A. 若函数在上是单调增函数，在上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数 B. 已知函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有无数个 C. 把函数的图像向右平移个单位长度，就得到了函数的图像 D. 若函数为奇函数，则一定有 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐个分析每个选项较易选出答案。‎ ‎【详解】A选项：分段函数单调条件两个：每个区间单调和临界点处左右单调。所以A不正确。‎ B选项：函数的解析式为，它的值域为，满足此条件的定义域有无穷个，比如当定义域是时满足条件，所以函数有无数个。B正确；‎ C选项：函数图像左右平移是针对进行平移，所以函数的图像向右平移个单位长度，得到的是函数的图像，C不正确；‎ D选项：奇函数必须在零处有定义才有，D不正确。‎ 故选：ACD ‎【点睛】此题考查函数的一些性质，特别注意分段函数单调性的条件，相同函数的概念，左右平移变化是针对进行平移，奇函数在零处等于零的前提条件是在零处首先要有定义，属于较易题目。‎ 三、填空题：本大题共4小题5个空，共计15分，每空填对得3分，其他情况不得分.‎ ‎14.若，则_____‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先算等于多少，再代入到相应的分段函数表达式中即可.‎ ‎【详解】因为，所以 故答案为：1‎ ‎【点睛】此题考查分段函数求值，关键点值在那个区间就代那个区间表达式，属于简单题目.‎ ‎15.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，.则当时，函数_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，那么可以代入小于零时的表达式，再根据偶函数性质即可求出当当时函数表达式。‎ ‎【详解】设，则，那么。又，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查奇偶函数在对称区间函数解析式求法，熟记解题步骤能很轻易求解，属于简单题目。‎ ‎16.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2018年全年投入研发资金100万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过1000万元的年份是_____年.（参考数据：）‎ ‎【答案】2049‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据实际问题列出函数表达式，令函数值等于1000时求解自变量即可。‎ ‎【详解】根据题意设每年的研发费用为，年份为，则。‎ 即，所以当，‎ 两边同时取对数 ‎ 即 ‎ ‎ 故答案为：2049‎ ‎【点睛】此题是指数函数的实际应用问题，关键点在于能读懂题意将实际问题转化为函数表达式，属于较易题目。‎ ‎17.已知关于的方程有两个不等的实数根和，且.‎ ‎①实数的取值范围是_____；‎ ‎②的取值范围是_____‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①关于的方程有两个不等的实数根，转化为有两个根，即和有两个不同的交点，画出图像即可解决。②根据图像进行分析 ‎【详解】①关于的方程有两个不等的实数根，即 有两个根，即和有两个不同的交点，画出图像 由图可知要使和有两个不同的交点，；‎ ‎②的取值范围，由图可知当趋近2时，趋近，趋近一个负数，所以此时 趋近。‎ 当趋近与0时，此时，解出，即此时，趋近于，所以趋近于。‎ 所以 故答案为：①，②‎ ‎【点睛】此题考查根据函数图像解方程问题，将方程的根转化为函数图像交点，属于较难题目。‎ 四、解答题：本大题共6小题，共计56分.‎ ‎18.求下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】(1) ；(2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别进行计算即可。‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）因为，所以 ‎【点睛】此题考查指对数函数的计算问题，关键记住对指数运算法则，对数函数中的换底公式的使用，属于较易题目。‎ ‎19.解关于的不等式.‎ ‎【答案】若，解集为；若，解集为；若，解集为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找到不等式两个根和，通过讨论和1的大小解不等式即可。‎ ‎【详解】不等式两个根为和。‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 综上所述：若，解集为；若，解集为；若，解集为 ‎【点睛】此题考查二次函数解不等式，关键点比较两个根的大小就能较易写出解集，属于简单题目。‎ ‎20.已知集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出A和B，C的解集，即求出A，B相同部分即可，表示C的范围小于等于A。‎ ‎【详解】（1），即，‎ ‎，即，‎ 所以 ‎（2）表示C的范围小于等于A。所以 即 ‎【点睛】此题考查集合的交集和并集，熟知交集和并集的概念较易解题，属于简单题目。‎ ‎21.暑假期间，某旅行社为吸引游客去某风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30，则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30，则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止.‎ ‎（1）写出旅行团每人需交费用（单位：元）与旅行团人数之间的函数关系式；‎ ‎（2）旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？‎ ‎【答案】（1） （2）45人，最大收入为20250元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，通过分段函数列出每人需要交费关于旅行社人数的函数关系式。（2）利用分段函数列出收入关系式，然后求解函数的最值。‎ ‎【详解】（1）由题意可知每人需交费关于旅行社团人数的函数：‎ ‎（2）旅行社收入为，则 即 当时，为增函数，所以 当时，为开口向下的二次函数，对称轴，所以在对称轴处取得最大值，。‎ 综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元。‎ ‎【点睛】此题考查函数的实际应用问题，关键点在于把实际问题的函数模型化，属于较易题目。‎ ‎22.已知函数为奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）判断函数的单调性；‎ ‎（3）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）-2；（2）在R上单增（3）（0，1）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在处有定义，且为奇函数，所以有，即可求出m值。‎ ‎（2）可以根据改变函数单调性两个因素求解。‎ ‎（3）根据（2）单调性为单调递增，将不等式转化为，通过单调性即可求解。‎ ‎【详解】（1）因为定义域为R，在在处有定义，且为奇函数，所以有。‎ 即，所以。‎ ‎（2），因为为增函数，为减函数，为增函数，所以 为增函数。‎ ‎（3），即 又为增函数，所以，即 所以。‎ ‎【点睛】此题考查奇函数性质，改变函数单调性两个因素，利用单调性解不等式等基本知识点，属于较易题目。‎ ‎23.已知函数 ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）若函数的最大值是，求的值；‎ ‎（3）已知，若存在两个不同的正数，当函数的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）时写出函数表达式，根据真数范围求解函数值域即可。（2）设换元真数部分为关于的一元二次函数，又有最大值，所以开口只能向下，即，在对称轴处取得最大值，即可求出的范围。（3）较易判断为增函数，函数的定义域为时，的值域为可理解为函数与有两个交点正数交点，，另外将进行换元即可转化成关于的一个一元二次函数求解。‎ ‎【详解】（1）时，‎ 因为，所以 所以此时的值域是。‎ ‎（2）设，则，若此时 ‎，开口向上没有最大值。由第一问可知）时也不满足，所以开口只能向下，即且此时对称轴。‎ 当时，最大值在对称轴处取得，‎ 即 解出 或（舍）‎ 所以。‎ ‎（3）当时，设，设真数为，此时对称轴，所以当时m为增函数，即为增函数。‎ 所以函数的定义域为时，的值域为，可理解为函数与有两个交点正数交点，，‎ 即有两个正根。‎ 即，设 所以 即有两个大于1的根。‎ 所以此时只需即可，即 又，所以。‎ ‎【点睛】此题考查函数单调性和值域，直线和曲线交点问题转化为零点问题，二次函数根的分布，换元思想等的综合应用，属于难题。‎ ‎ ‎