数学文卷·2017届湖南省衡阳市八中高三第六次月考（2017

数学文卷·2017届湖南省衡阳市八中高三第六次月考（2017

衡阳市八中2017届高三第六次月考试卷 文科数学 命题人：孙艳红 刘亮生 审题人：王美蓉 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，则=( )‎ A B C D ‎ ‎2．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知命题：“”的否定是“”；命题：函数有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　 　 ) A． B． C． D．‎ ‎6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B．2 ‎ C．4 D．6‎ ‎7．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴为（ ）‎ A．． B． C． D．‎ ‎8.等差数列中，，则（ ） ‎ ‎ ‎ ‎9.若向量满足，的夹角为，则在向量上的投影等于（ ）‎ A． B.2 C . D ‎ ‎10．若长方体中，，分别与底面所成的角为，，则长方体的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.数列满足与（与分别表示的整数部分与小数部分，如,），则（ ）‎ A． B．[ ] C． D．‎ ‎12．已知函数，若与同时满足条件：①；②，则实数a的取值范围是（ ）‎ A.（－，－1）（，2） B.（－，－1）（0，）（，2）‎ C.（－，0）（，2） D.（－，0）（0，）（，2）‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.）‎ ‎13.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为 ‎ ‎14.若直线被圆截得的弦长为4，则 的最小值为 ‎ ‎15.设，函数的导函数是，且是奇函数.若曲线 的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 .‎ ‎16.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则= ‎ 三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分12分）已知数列的通项公式为，.‎ ‎（1）求数列的前项和；‎ ‎（2）设，求的前项和.‎ ‎18．（本小题满分12分）已知函数 ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角A,B,C的对边分别为，已知，成等差数列，且，求边的值.‎ A B C D E F G H ‎19．（本小题满分12分）如图，平行四边形中，，，且，正方形和平面成直二面角，是的中点．‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若在上的最大值是，求的值；‎ ‎（3）记,当时，若对任意，总有成立，试求的最大值.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆，其中为左、右焦点，且离心率，直线与椭圆交于两不同点.当直线过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若，当面积为时，‎ 求 的最大值.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为(，为参数)，曲线的极坐标方程为. (Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，恒成立，求实数的取值范围.‎ 衡阳市八中2017届高三第六次月考试卷 文科数学 命题人：孙艳红 刘亮生 审题人：王美蓉 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，则=( )C A B C D ‎ ‎2．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A 试题分析：因为， 所以，的共轭复数为，则的共轭复数对应的点位于第一象限，故选A.‎ ‎3．已知命题：“”的否定是“”；命题：函数有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 解析：P假q真，选B ‎4．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）D A. B. C. D. ‎ ‎5．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　 )．C A． B． C． D．‎ ‎6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B．2 ‎ C．4 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥，如图，则．故选B．‎ ‎7．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴为（ ）D A． B． C． D．‎ ‎8.等差数列中，，则（ ） ‎ ‎ ‎ ‎9.若向量满足，的夹角为，则在向量上的投影等于（ ）‎ A． B.2 C . D ‎ 解析：以a,b为邻边作菱形ABCD 投影为=‎ ‎10．若长方体中，，分别与底面所成的角为，，则长方体的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 试题分析：依题意可求得，则长方体的体对角线长为．易知长方体的体对角线长即为外接球的直径，所以，所以长方体的外接球的体积为．选A．‎ 考点：多面体与其外接球的关系．‎ ‎11.数列满足与（与分别表示的整数部分与分数部分），则（ ）A A． B． C． D．‎ 所以 ‎12．已知函数，若与同时满足条件：①；②，则实数a 的取值范围是（ ）‎ A、（－，－1）（，2） ‎ B、（－，－1）（0，）（，2）‎ C、（－，0）（，2） ‎ D、（－，0）（0，）（，2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图1，由的图象可知，当时，，‎ 为满足条件①，可得在上恒成立；为满足条件②，由于在上总有，故，；‎ 当时，，不满足条件；‎ 当时，考虑函数的零点，；‎ 当时，，为满足条件得解得；‎ 当时，‎ ‎（ⅰ）当时，，为满足条件，得 解得，；‎ ‎（ⅱ）当时，，为满足条件，得解得，；‎ ‎（ⅲ）当时，，不满足条件．‎ 综上所述，得，故选B．‎ 考点：分段函数图象、二次函数的图象和性质．‎ ‎【思路点睛】先画出分段函数的图象，结合条件①，得在上恒成立，由条件②得，，对a是否得0进行讨论，当时，恒等于0，不符合题意，当时，分和 进行讨论，根据二次函数的图象讨论方程根的位置．‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.）‎ ‎13.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为 ‎ 解析　由线性约束条件画出可行域(如图所示)．‎ 由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，z的几何意义是直线y＝－x＋z在y轴上的截距，要使z最小，需使z最小，易知当直线y＝－x＋z过点A(1,1)时，z最小，最小值为3‎ ‎14.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为 ‎ 解：圆的方程为，故直线过圆心，-2a-2b+2=0,a+b=1‎ ‎15.设，函数的导函数是，且是奇函数.若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 .‎ ‎【答案】‎ 该题考查了函数的求导公式的应用，奇函数的概念，注重导数的几何意义，从而引导学生要注重基础知识，基本概念.‎ ‎16.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与 的一个交点，若，则= ‎ 三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分12分）已知数列的通项公式为，.‎ ‎（1）求数列的前项和；‎ ‎（2）设，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）因为，所以，所以是首项为，公差为的等差数列.所以.………………6分 ‎（2）因为，‎ 所以 ‎.………………12分 考点：1、等差数列及其性质；2、数列的前项和.‎ ‎18．（本小题满分12分）已知函数 ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角A,B,C的对边分别为，已知，‎ 成等差数列，且，求边的值.‎ ‎【答案】（1）‎ 令 的单调递增区间为…………6分 ‎（2）由，得∵，∴，∴由b,a,c成等差数列得2a=b+c∵，∴，∴‎ 由余弦定理，得 ‎∴，∴…………………12分 考点：（1）三角函数的单调性；（2）等差数列，向量的数量积定义，余弦定理.‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，平行四边形中，，，且，正方形和平面成直二面角，是的中点．‎ A B C D E F G H ‎（1）求证：．‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ADEF为正方形 ∴‎ A B C D E F G H 又∵平面平面，交线为，∴∴又∵ ∴………………4分 ‎（2）证明：连结，则是的中点 ‎∴中， 又∵‎ ‎∴ ∴平面 ………………8分 ‎（3）解：设中边上的高为 依题意： ∴即：点到平面的距离为∴ ………………12分 考点：1．线面垂直的判定定理；2．线面平行的判定定理；3．体积公式．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若在上的最大值是，求的值；‎ ‎（3）记,当时，若对任意，总有成立，试求的最大值.‎ ‎【答案】（1）的定义域是..，则（舍去）; 当时，,故在上是增函数;当时，,故在上是减函数. ………………4分 ‎（2）①当时，在上是增函数; 故在上的最大值是 ,显然不合题意. ②若, 即时, ,则在上是增函数，故在上的最大值是 ,不合题意，舍去.③ 若, 即时，在上是增函数 ，在上是减函数，故在上的最大值是 , 解得，符合. 综合①、②、③得: .………………8分 ‎（3）, 则,当时，,故时，当在上是减函数，不妨设，则，故等价于，即，记，从而在上为减函数，由得:,故恒成立，，又在上单调递减，,.故当时，的最大值为.………………12分.‎ 考点：分类整合思想化归转化思想及导数的知识等有关知识的综合运用.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆，其中为左、右焦点，且离心率，直线与椭圆交于两不同点.当直线过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若，当面积为时，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）因为直线的倾斜角为，，所以，直线的方程为，‎ 由已知得，所以.又，所以，,‎ 椭圆的方程 . ………………4分 ‎（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，‎ 由在椭圆上，则，而，则 知=. ………………5分 ‎（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线为，代入可得 ‎，即，由题意，即.. ………………7分 ‎，, …………8分 化为，，‎ 即.则，满足, ………………9分 由前知，，‎ ‎.‎ ‎ ………………11分，当且仅当，即时等号成立，故.综上可知的最大值为. ………………12分 考点：椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为(，为参数)，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)由消去参数，得曲线的普通方程为 由得，曲线的直角坐标方程为 ‎(2)设，则点到曲线的距离为 当时，有最小值，所以的最小值为.‎ 考点：1.极坐标方程；2.参数方程.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）由题意得，当时，不等式化为，解得，∴，当时，不等式化为，解得，∴，当时，不等式化为，解得，∴，综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）由（1）得，解得，综上，的取值范围为.‎ 考点：1.绝对值的意义；2.含绝对值不等式的解法；3.函数与不等式；4.分段函数的表示.‎