2017-2018学年四川省三台中学高二5月月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年四川省三台中学高二5月月考数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 四川省三台中学2017-2018学年高二5月月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：直接利用复数的乘法，求出复数，进而得到的模即可．‎ 详解： ‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查复数的代数形式的乘法运算，复数模的求法，基本知识的考查．‎ ‎2．已知命题，命题若，则.下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由对数函数的性质可知命题为真命题，则为假命题，命题是假命题，则是真命题．因此为真命题．‎ 详解：命题，则命题为真命题，则为假命题； 取但，则命题是假命题，则是真命题． ∴是假命题，是真命题，是假命题，是假命题． 故选D．‎ 点睛：本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．‎ ‎3．5位同学站成一排，其中甲不站两端，则不同的排法的种数为（ ）‎ A. 48 B. 72 C. 96 D. 120‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：甲不站两端，利用特殊元素法；‎ 详解：甲不站两端，则甲在中间4个位置中任选1个，其他人全排，即 ‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查了排列中特殊元素问题，属于中档题 ‎4．从3名男生和4名女生中随机选取3名学生去参加一项活动，则至少有一名女生的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，用排除法分析：首先计算“在3名男生和4名女生共7名学生中任取3人”的取法数目，再计算其中“没有1名女生”即“全部是男生”的情况数目，结合题意，用“7名学生中任取3人”的数目减去“全部是男生”的情况即可得答案．‎ 详解：根据题意，首先在3名男生和4名女生共7名学生中任取3人，有 种， 其中“没有1名女生”即“全部是男生”的情况有 种， 则“至少有1名男生”的选法有 种；‎ 故从3名男生和4名女生中随机选取3名学生去参加一项活动，则至少有一名女生的概率是. 故选C.‎ 点睛：本题考查排列、组合的运用，考查古典概型，注意首先分析“至少有1名男生”的对立事件，从而利用排除法结合排列、组合公式进行分析．‎ ‎5．已知向量，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据向量数量积得成立的充要条件，再根据与“”包含关系确定结果.‎ 详解：因为，所以 因此“”是“”的充分不必要条件，‎ 选A.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎6．设曲线在切点处的切线与直线垂直，则实数（ ）‎ A. B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由切线的斜率和导数的关系以及直线的垂直关系可得的方程，解方程可得．‎ 详解：由题在曲线上，故 则 当 时， ‎ ‎∴曲线在点）处的切线斜率为， 又可得直线的斜率为， 由垂直关系可得 ， 解得 故选A．‎ 点睛：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及切线的斜率和导数的关系，属基础题．‎ ‎7．已知的图象如图所示，其中是的导函数，则下列关于函数说法正确的是（ ）‎ A. 仅有2个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点 B. 因为有四个根，故函数有四个极值点 C. 有2个极大值点，3个极小值点 D. 没有极值 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据极值点的定义和的图象得出结论．‎ 详解：若是的极值点，则，且在两侧异号， 由的图象可知共有4解， 其中只有两个零点的左右两侧导数值异号， 故有2个极值点． 故选A．‎ 点睛：本题考查了极值点的定义，属于中档题．‎ ‎8．若函数在其定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．‎ 详解：函数的定义域为 ，∴函数的 ‎ 由 解得 ，此时函数单调递增， 由 解得 ，此时函数单调递减， 故时，函数取得极小值． ①当 时，为，函数在 ‎ 上单调减，在 上单调增，此时满足题意； ②当 时，∵函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，在内， 即即 即− 此时 ‎ 综上 ‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性的应用，求函数的导数和极值是解决本题的关键．‎ ‎9．点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点的坐标为 ，则由题意可得 计算 ，利用二次函数的性质求得它的值域即可．‎ 详解：以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点设点的坐标为，由题意可得 ‎ ‎ ‎ ‎ 由二次函数的性质可得，当时取得最小值为； 当或1，且或1时，取得最大值为0， 则的取值范围是 故选D．‎ 点睛：本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．‎ ‎10．已知某三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意可知三棱锥为正四面体，设棱长为2，求出 及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案。‎ 详解：因为三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，设为 ， 所以三棱锥为正四面体，设棱长为2， 则 是顶角为 等腰三角形， 所以 ‎ 所以与底面所成角的正弦值为 ‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．‎ ‎11．函数的定义域为，其导函数为，若恒成立，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2018，求得g（0）=2018，继而求出答案．‎ 详解：∵∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，‎ ‎∴f′（x）﹣f（x）＜0，于是有（）′＜0，‎ 令g（x）=，则有g（x）在R上单调递减，‎ ‎∵f（0）=2018，∴g（0）=2018，‎ ‎∵不等式f（x）＞2018ex，‎ ‎∴g（x）＞2018=g（0），‎ ‎∴x＜0.‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．‎ ‎12．若至少存在一个实数，使得方程成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出 且，设，则的取值范围即的值域，对求导得 利用导数性质能求出实数的取值范围．‎ 详解：∵， ∴且， 设 则的取值范围即的值域， 对求导得当时， ，当 时， ． ∴当 时，取最大值 ‎ ‎ ∴实数的取值范围为 ‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查实数的取值范围的求法，考查构造法、导数性质、函数最值等等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在的展开式中，的系数为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．‎ 详解：的展开式的通项公式为 ‎ 令，则有 ‎ 故答案-40．‎ 点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．‎ ‎14．若命题“”是真命题，则实数取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：转化为基本不等式，小于等于即可.‎ 详解：命题“”是真命题，则 （当且仅当即时取等号）.‎ 故实数取值范围是.‎ 点睛：本题考查基本不等式及恒成立问题，属中档题.‎ ‎15．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.‎ 详解：若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有 种；‎ 若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；‎ 若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎16．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根．求出的导数，当 时，直接验证；当时，利用导数研究函数 的单调性可得，要使 有两个不同解，只需要 ‎ 解得即可．‎ 详解： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根． ‎ 当 时， ，则函数 在区间单调递增，因此 在区间上不可能有两个实数根，应舍去． ‎ 当 时，令 ，解得 ， 令 ，解得 ，此时函数单调递增； 令 ，解得 ，此时函数单调递减． ∴当时，函数取得极大值．要使在区间上有两个实数根， 则，解得． ∴实数 的取值范围是（.‎ 点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题函数在区间上单调递增；‎ 命题函数的定义域为；‎ 若命题“”为假，“”为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先根据二次函数单调性确定 的取值范围；根据对数真数恒大于零得的取值范围；再根据命题“”为假，“”为真得，最后分两种情况分类求解集，并集为实数的取值范围.‎ 试题解析： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．为了参加某运动会，从四支较强的排球队选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：‎ ‎（1）从这18名队员中随机选出三名，求三人来自同一队的概率；‎ ‎（2）若要求选出两名队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）“从这18名队员中随机选出三名，三人来自同一队”记为事件 则总数为，求出两人来自同一支队的总数，即可求得概率；‎ ‎（2）的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可得随机变量的分布列，及数学期望．‎ 详解：‎ ‎（1）“从这18名队员中随机选出三名，三人来自同一队”记为事件 则 ‎∴三人来自同一队的概率为.‎ ‎（2）的所有可能取值为0，1，2‎ 则，‎ ‎∴的分布列为 点睛：本题考查古典概型，考查概率知识，考查随机变量的分布列，及数学期望，考查学生的计算能力，正确求概率是关键．‎ ‎19．如图，在直角梯形中，，是的中点，将沿折起，使得.‎ ‎（1）若是的中点，求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（1）连接交于点，连接，推导出，由此能证明平面；‎ ‎（2）以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．‎ 详解：‎ ‎（1）证明：连接交于点，连接，在正方形中，为中点，‎ 又因为为中点，‎ 所以，又因为平面，平面，所以平面 ‎（2）解：由已知可得，又因为，‎ 所以平面，‎ 所以以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则点 所以 设平面的法向量为，所以即，令，‎ 解得，设平面的法向量为，所以即，令，‎ 解得，所以.‎ 由已知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的大小为.‎ 点睛：本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎20．已知函数 ‎（1）若曲线在点处的切线为， 与轴的交点坐标为，求的值；‎ ‎（2）讨论的单调性.‎ ‎【答案】（1）或；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）对函数求导，再分别求出， ，根据点斜式写出切线方程，然后根据与轴的交点坐标为，即可求得的值；（2）先对函数求导得，再对进行分类讨论，从而对的符号进行判断，进而可得函数的单调性.‎ 详解：（1）.‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴切线方程为： ‎ 令得.‎ ‎∴‎ ‎∴或.‎ ‎（2）=.‎ 当时， ， ， ， 为减函数， ， ， 为增函数；‎ 当时，令，得， ，‎ 令，则，‎ 当时， ， 为减函数，当时， ， 为增函数.‎ ‎∴‎ ‎∴（当且仅当时取“=”）‎ ‎∴当或时， 为增函数， 为减函数， 为减函数.‎ 当时， 在上为增函数.‎ 综上所述： 时， 在上为减函数，在上为增函数， 或时， 在上为减函数，在和上为增函数； 时， 在上为增函数.‎ 点睛：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性的应用，属于中等题型，也是常考题.利用导数研究函数的单调性的一般步骤为：①确定函数的定义域；②求函数的导数；③若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式或即可.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，试比较与1的大小；‎ ‎（3）求证： ‎ ‎【答案】（1）的取值范围是或；（2）①当时，，即；‎ ‎②当时，，即；③当时，，即；（3）证明过程详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：本题考查函数与导数、导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值与最值等数学知识和方法，考查综合运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，考查函数思想和分类讨论思想.第一问，先将代入得到解析式，因为仅有一个零点，所以和仅有一个交点，所以关键是的图像，对求导，令和判断函数的单调性，确定函数的极值和最值所在位置，求出具体的数值，便可以描绘出函数图像，来决定的位置；第二问，先将代入，得到解析式，作差法比较大小，得到新函数，判断的正负即可，通过对求导，可以看出在上是增函数且，所以分情况会出现3种大小关系；第三问，法一：利用第二问的结论，得到表达式，再利用不等式的性质得到所证表达式的右边，左边是利用对数的运算性质化简，得证；法二，用数学归纳法证明，先证明当时不等式成立，再假设当时不等式成立，然后利用假设的结论证明当时不等式成立即可.‎ 试题解析：（1）当时，，定义域是，‎ ‎，令，得或.‎ ‎∵当或时，，当时，，‎ ‎∴的极大值是，极小值是.‎ ‎∵当时，，当时，，‎ 当仅有一个零点时，的取值范围是或． 4分 ‎（2）当时，，定义域为．‎ 令，‎ ‎，‎ 在上是增函数．‎ ‎①当时，，即；‎ ‎②当时，，即；‎ ‎③当时，，即． 8分 ‎（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．‎ 令，则有，‎ ‎．，‎ ‎． 12分 ‎(法二)当时，．‎ ‎，，即时命题成立．‎ 设当时，命题成立，即．‎ 时， ．‎ 根据（2）的结论，当时，，即．‎ 令，则有，‎ 则有，即时命题也成立．‎ 因此，由数学归纳法可知不等式成立.‎ 考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数的极值和最值；3.函数零点问题；4.数学归纳法；5.不等式的性质.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】分析：‎ ‎（1）由得，利用，即可得解；‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，由，结合韦达定理即可得解.‎ 详解：‎ ‎（1）由得，‎ 化为直角坐标方程为，即 所以圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，‎ 由已知得，所以可设是上述方程的两根，‎ 则，‎ ‎ .‎ 所以的最小值为.‎ 点睛：本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，直线的参数方程的应用，属于基础题.‎ ‎23．已知.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：(1)当时，不等式即，零点分段可得不等式的解集为.‎ ‎ (2)原问题等价于关于的不等式恒成立，由绝对值三角不等式的性质可知，则，据此可得的取值范围是.‎ 详解：(1)当时，由，得，‎ 当时，由，得;‎ 当时，由，得;‎ 当时，由，得;‎ 综上所述，的解集为.‎ ‎ (2)不等式，即为，‎ 即关于的不等式恒成立，‎ 而 ，‎ 当且仅当时等号成立，所以，‎ 解得或,‎ 解得或.所以的取值范围是.‎ 点睛：绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎