数学理卷·2018届山东省沂水县第一中学高三12月月考（2017

数学理卷·2018届山东省沂水县第一中学高三12月月考（2017

理科数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．已知集合，，，则的子集的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎2．复数满足，则复数的实部与虚部之和为（ ）‎ ‎ A． B． C．1 D．0‎ ‎3．设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（ ）‎ A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 ‎4．在等比数列中，，前五项的积为1，则=（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．定义运算则“”是“不等式有解”‎ 的（ ）‎ A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎6．若函数是奇函数，，则=（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎7．已知函数若，则=( )‎ A． B．‎ C．或 D．‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积最大的面的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9．已知函数，则的图象大致为（ ）‎ ‎10．若数列满足，且，则=（ ）‎ A．402 B．603 C． D．‎ ‎11．已知三棱锥的体积为，其中都是边长为的等边三角形,‎ 若,则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. 或 D．‎ ‎12．已知是直线上的三点，向量,,满足：‎ ‎,设，则方程的根的个数为（ ）‎ A.0 B.1 C.2 D.3 ‎ 第Ⅱ卷（本卷均为必做题）‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）‎ ‎13． 已知等差数列的前项和为,,，则的最大值为 ‎ . ‎ ‎14．已知实数满足的最小值为m,最大值为n,则的取值范围为______________.‎ ‎15．已知向量，，对任意，恒有，则在方向上的投影为____________.‎ ‎16．已知中，,则的最大值为 ．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知函数的图象经过三点，且在区间内有唯一的最值，且为最小值．‎ ‎（1）求出函数的解析式；‎ ‎（2）求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（3）若且，求；‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2n+2对n∈N*成立．‎ ‎（1）证明数列{an＋2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知向量，，函数 ‎（1）已知锐角 中,角、、所对的边分别为、、，若，方程有解，求的取值范围.‎ ‎(2) 中，若，，的面积为2，求BC边上的中线AD的长.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，多面体中，面为矩形，,且平面SAD⊥平面ABCD,，,点E在棱CD上,满足CD=4DE.‎ ‎（1）求证：AE⊥平面SBD； ‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求SD.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎(1)讨论在的单调性；‎ ‎（2）设时，在的最小值为，求的通项公式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设，的前n项和为，求证：.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）若函数为单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，设的两个极值点恰为的零点，求的最小值.‎ 理科数学试卷 参考答案 一、选择题 ‎1.【答案】C ‎【解析】因为A是由抛物线上位于轴上及轴上方的点组成的集合，B是由以原点为圆心，1为半径的圆组成的集合，所以中元素的个数是1，从而C的子集个数为2，故选C.‎ 考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集.‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】，所以的实部与虚部之和为0.‎ 考点：共轭复数，实部，虚部的概念，复数的运算.‎ ‎3 .【答案】D ‎【解析】两个平面的垂线平行，则这两个平面平行，故选D.‎ 考点：空间点线面位置关系.‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】因为，前五项的积为，∴，，‎ ‎，故选A.‎ 考点：等比数列的性质．‎ ‎5.【答案】A ‎【解析】因为，且，所以，‎ ‎，即;‎ 若不等式有解，则 当时，显然有解，‎ 当时，有解，‎ 当时，∵有解，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴不等式有解时，‎ ‎“”是“”的充分不必要条件.‎ 考点：1.新定义问题；2.绝对值不等式的解法.3.二次不等式有解问题.‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】因为是奇函数， 所以是奇函数，由得，经检验时有，所以是奇函数，函数是奇函数，常数等于，‎ 此时，∴‎ 考点：函数的奇偶性，积分计算.‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】，由的图象可知的解集为或 考点：图象变换,数形结合解不等式.‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】几何体是一个三棱锥与一个三棱柱的组合体，三棱锥的高为1，底为等腰三角形，底长为2，底上高为；三棱柱高为1，底为等腰三角形，底长为2，底上高为；‎ 各面面积分别为：，所以最大面的面积为3.‎ 考点：三视图 ‎9．【答案】A ‎【解析】因为时，在上递增，时，，，可得在上递减，在上递增，所以只有选项A合题意，故选A．‎ 考点：1、函数的图象；2、利用导数研究函数的单调性．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】由，得 ‎，‎ 故，即，故，故选B.‎ 考点：数列递推式.‎ ‎11.【答案】B ‎【解析】取BC中点M ，则有,所以三棱锥的体积是，又,其中，‎ 可得，由余弦定理得，或1（舍去）.‎ 从而,所以三棱锥的外接球直径为AD，外接球的表面积为 ‎.‎ 选B.‎ 考点：三棱锥的体积计算及三棱锥的外接球问题.‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】由向量共线的充要条件及可得,即,则,则,所以，， ‎ ‎．令，得．‎ 令,得，所以函数在单调递增．‎ 令,得，所以函数在单调递减．‎ 所以，．‎ 设所以．‎ 令，得．‎ 令,得，所以函数在单调递增，‎ 令,得，所以函数在单调递减；‎ 所以，， 即．‎ 所以 ，即．‎ 所以，方程没有实数解．‎ 考点：向量的几何运算和求导法则的综合运用，应用导数判断函数的单调性,求最值.‎ 二、填空题 ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，则且 ‎，解得，∴，n=8时，取得最大值为64.‎ 考点：等差数列的通项公式及前N项和的最值问题．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】可行域为一个三角形ABC内部及边界，其中；直线过点C取最小值，过点B取最大值，所以，即：m=0,n=5, 表示可行域中的点与点（0,5）的连线的斜率，由图形分析可知.‎ 考点：线性规划 ‎15.【答案】1‎ ‎【解析】若向量，，对任意，恒有，则 ‎，所以，，，又，由向量数量积的几何意义知，在方向上的投影为1.‎ 考点：平面向量的数量积的几何意义，模长问题，二次不等式恒成立问题．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】∵ ‎ ‎∴，即：‎ ‎∵∴,即：‎ 由余弦定理得.‎ 故 而,则,故应填答案.‎ 考点：正弦定理，余弦定理的综合运用．‎ 三、解答题 ‎17．【答案】（1）；（2）（3）．‎ ‎【解析】（1）由题意可得函数的周期，∴，‎ 又由题意当时，，∴，‎ 结合可解得，‎ 再由题意当时，，∴，∴.∴．‎ ‎（2）∵，∴，又，‎ ‎∴所求切线方程为.‎ ‎（3），‎ ‎∵，∴，∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 考点：三角函数的图象，导数的几何意义，三角恒等变换.‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析，；（2）存在，.‎ ‎【解析】（1）证明：由题，当n＝1时，a1＝S1，故a1＝0，‎ 当n≥2时，由an＝Sn－Sn-1，化简得an＝2an-1＋2,即an＋2＝2（an-1＋2），且a1＋2＝2,‎ 故数列{an＋2}是等比数列，公比为2，首项为2，∴an＝2n－2．‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由得（*）‎ ‎∵（*）对都成立 ∴ ∵是正整数，∴的值为1,2,3.‎ ‎∴使对都成立的正整数存在，其值为：1,2,3. ‎ 考点：利用与关系证明等比数列，裂项相消法求和，数列求最值问题.‎ ‎19．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1．‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,，‎ 即的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）中 ， ‎ ‎．‎ ‎，∴‎ 为边上的中线，‎ 即，从而AD=1‎ 考点：1、二倍角公式，降幂公式；2、两角和与差的正弦公式；3、求向量模长.‎ ‎20．【答案】(1)见解析；(2) .‎ ‎【解析】（1）∵平面SAD⊥平面ABCD=AD, ∴SD⊥平面ABCD 又AE平面ABCD，从而 ‎ 又∴∴∽,从而,‎ 又∴，即：‎ 又∴平面SBD.‎ ‎（2）由（1）知，SD⊥平面ABCD，又,以D为坐标原点，分别以的方向为正方向建立空间直角坐标系，设，则 ‎，设面的一个法向量为 ‎，‎ 又∵，‎ ‎∴设面的一个法向量为 ‎， ‎ ‎∵，解得，故 考点：面面垂直的性质应用，线面垂直的证明及应用空间向量求二面角的方法.‎ ‎21. 【答案】（1）当时，在上单调递减；‎ 时，在(0 , ) 单调递减，在(,+∞)单调递增；‎ ‎（2）．（3）见解析.‎ ‎【解析】（1）由f (x)=－x，得 =‎ 当时，，在单调递减；‎ 当时，若，，在上单调递减；‎ 若，令 =0，得x=‎ 当x∈(0 , )．时， <0．当x∈ (,+∞)时， >0．‎ 从而在(0 , ) 单调递减，在(,+∞)单调递增.‎ 综上所述，当时，在上单调递减；‎ 时，在(0 , ) 单调递减，在(,+∞)单调递增.‎ ‎（2）由（1）知，f (x )在(0，+∞)上有极小值f ( ) =．‎ ‎∴数列的通项公式 ‎（3）‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ 考点：利用导数判断函数的单调性，放缩法证明不带式.‎ ‎22．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ ‎∵,∴在恒成立，即：‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴是方程的两根. ‎ 因为,所以,‎ 又因为为的零点，‎ 所以,‎ 两式相减得,得,‎ 而,‎ 所以 令,由得 因为,两边同时除以，得，因为，故，解得，设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.‎ 考点：利用导数由函数单调性求参数的取值范围，利用导数求函数最值 典题透析：数学（理）22题 原题：22. 已知函数 ‎（1）若函数为单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，设的两个极值点恰为的零点，求的最小值.‎ ‎【透析】 本题从函数导数的角度考察了函数单调性和极值问题。函数导数是每年高考的必考内容，单调性和极值问题也是高考常见问题。此题（1）已知函数单调性可转化为关于的不等式恒成立问题，进一步借助分离参数求最值得到所求参数的取值范围；（2）中考察了函数的极值问题，因为函数的极值就是方程的根，进一步结合韦达定理，构造函数，转化为有关的函数求最值.‎ 具体过程如下：‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∵,∴在恒成立，即：‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴是方程的两根. ‎ 因为,所以,‎ 又因为为的零点，‎ 所以,‎ 两式相减得,得,‎ 而,‎ 所以 令,由得 因为,两边同时除以，得，因为，故 ‎，解得，设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.‎