数学（理）卷·2018届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第二次月考（2017

数学（理）卷·2018届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第二次月考（2017

大庆实验中学高三上学期第二次月考 数学(理)试卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列命题的说法错误的是（　　）‎ A．对于命题则．‎ B．“”是””的充分不必要条件．‎ C．“”是””的必要不充分条件．‎ D．命题”若，则”的逆否命题为：”若，则”．‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎3．已知函数没有零点，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2‎ ‎5．已知数列，以下两个命题：‎ ‎①若都是递增数列，则都是递增数列；‎ ‎②若都是等差数列，则都是等差数列；‎ 下列判断正确的是（　　）‎ A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若，则下列结论正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如果圆上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是（　　）‎ A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3） C．[﹣1，1] D．[﹣3，﹣1]∪[1，3]‎ ‎9．杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为（　　）‎ A．528 B．1020 C．1038 D．1040‎ ‎10．有以下三种说法，其中正确的是　(　　)‎ ‎①若直线与平面相交，则内不存在与平行的直线；‎ ‎②若直线//平面，直线与直线垂直，则直线不可能与平行；‎ ‎③直线满足∥，则平行于经过的任何平面.‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①‎ ‎11．以为中心，为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知，若，则当取得最小值时，所在区间是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．如果复数的实部和虚部互为相反数，则等于　 　．‎ ‎14．若向量满足=2=2，||=2，则向量的夹角为__．‎ ‎15．已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为_______________。‎ ‎16．已知函数，其中，若在区间上单调递减，则的最大值为__________．‎ 三．解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．(本题满分10分)已知等差数列和等比数列满足．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求和：．‎ ‎18．(本题满分12分)已知函数．‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）设△为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求△的面积．‎ ‎19．(本题满分12分)已知曲线的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值．‎ ‎20．(本题满分12分)如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）若是中点，∠是二面角的平面角，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎21．(本题满分12分)已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，△的面积为，椭圆的离心率为 ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求的取值范围．‎ 22． ‎(本题满分12分)已知函数，其中=2.71828…为自然数的底数．‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求证：对任意的，．‎ 大庆实验中学高三上学期第二次月考 数学（理）参考答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C A A D A D D D D C B 二、 填空题 ‎13、0 14、 15、12 16、‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，‎ 所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．……………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，‎ 等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．‎ ‎∴q2=3，‎ ‎{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．‎ b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．……………………10分 ‎18、解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+‎ ‎=cos2x+，x∈（0，π），‎ 由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，……………………4分 k=1时，π≤x≤π，……………………5分 可得f（x）的增区间为[，π）；……………………6分 ‎（2）设△ABC为锐角三角形，‎ 角A所对边a=，角B所对边b=5，‎ 若f（A）=0，即有cos2A+=0，‎ 解得2A=π，即A=π，……………………8分 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 化为c2﹣5c+6=0，‎ 解得c=2或3，‎ 若c=2，则cosB=＜0，‎ 即有B为钝角，c=2不成立，‎ 则c=3，……………………10分 ‎△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．　……………………12分 ‎19．解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：‎ ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2=4x，……………………5分 ‎∴（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：‎ ‎（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，‎ 化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．……………………7分 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 则，‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==，‎ ‎∵|AB|=，‎ ‎∴=．‎ ‎∴cos．……………………10分 ‎∵α∈[0，π），‎ ‎∴或．‎ ‎∴直线的倾斜角或．……………………12分 ‎20、解：（Ⅰ）证明：连接BC1，因为BB1C1C为菱形，‎ 所以B1C⊥BC1，又B1C⊥AC1，AC1∩BC1=C1，‎ 所以B1C⊥面ABC1．故B1C⊥AB．‎ 因为AB⊥BB1，且BB1∩BC1，所以AB⊥面BB1C1C．‎ 而AB⊂平面ABB1A1，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；……………………5分 ‎（Ⅱ）因为∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，‎ 所以BD⊥CC1，又D是CC1中点，‎ 所以BD=BC1，所以△C1BC为等边三角形．‎ 如图所示，分别以BA，BB1，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，……………………7分 不妨设AB=2，则A（2，0，0），，，）．‎ 设是平面ABC的一个法向量，则，即，‎ 取z=1得．‎ 所以=，‎ 所以直线AC1与平面ABC所成的正弦值为．……………………12分 ‎21．解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，‎ 由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，‎ 又∵，解得b2=1，a2=4，‎ 椭圆C的标准方程为：x2+．……………………4分 ‎（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，‎ ‎∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，……………………6分 当m≠0时，由+λ=4，得，‎ ‎∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，‎ 由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0‎ 且x1+x2=，x1x2=．‎ 由得x1=﹣3x2……………………8分 ‎3（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0‎ 显然m2=1不成立，∴……………………10分 ‎∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．‎ 解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．‎ 综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}……………………12分 ‎22．解：（1）当a=0时，f（x）=ex（sinx﹣e），‎ 则f′（x）=ex（sinx﹣e）+excosx=ex（sinx﹣e+cosx），‎ ‎∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜e，‎ ‎∴sinx+cosx﹣e＜0 ‎ 故f′（x）＜0 ‎ 则f（x）在R上单调递减．……………………4分 ‎（2）当x≥0时，y=ex≥1，‎ 要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．‎ 则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．‎ 设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，‎ 看作以a为变量的一次函数，‎ 要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，‎ 则，即，……………………6分 ‎∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，……………………8分 对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，‎ 则h′（x）=cosx﹣2x，‎ 设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．‎ ‎∴t=，sint＜sin，‎ ‎∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，‎ 则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（）2+2﹣e ‎=sint﹣+2﹣e=sin2t+sint+﹣e=（+1）2+﹣e≤（）2+﹣e=﹣e＜0，‎ 故④式成立，‎ 综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．……………………12分