数学卷·2018届宁夏大学附中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届宁夏大学附中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年宁夏大学附中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知a＜b＜0，则（　　）‎ A．a2＜ab B．ab＜b2 C．a2＜b2 D．a2＞b2‎ ‎2．等比数列{an}中，a4=4，则a2•a6等于（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ ‎3．已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a3+a9=6，则S11=（　　）‎ A．12 B．33 C．66 D．99‎ ‎4．在△ABC中，BC=2，B=，当△ABC的面积等于时，c=（　　）‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎5．若关于x的方程x2+mx+=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）‎ ‎6．已知△ABC中，A=30°，C=105°，b=8，a等于（　　）‎ A．4 B．4 C．4 D．‎ ‎7．已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣3 B． C．5 D．6‎ ‎8．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 ‎9．已知等差数列{an}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（　　）‎ A．9 B．10 C．12 D．13‎ ‎11．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎12．若不等式（x﹣a）⊗（x+a）=（1﹣x+a）（1+x+a）=（1+a）2﹣x2＜1对任意实数x成立，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．0＜a＜2 D．﹣＜α＜‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．在△ABC中，b=3，c=5，cosA=﹣，则a=　　．‎ ‎14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖　　块 ‎15．不等式（x﹣2）2≤2x+11的解集为　　．‎ ‎16．已知变数x，y满足约束条件，目标函数z=x+ay（a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．‎ ‎18．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．‎ ‎19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA ‎（1）确定角C的大小；‎ ‎（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．‎ ‎20．已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=anxn（x∈R），求数列{bn}前n项和的公式．‎ ‎21．如图所示，现有A，B，C，D四个海岛，已知B在A的正北方向15海里处，C在A的东偏北30°方向，又在D的东偏北45°方向，且B，C相距21海里，求C，D两岛间的距离．‎ ‎22．数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1﹣an n∈N*‎ ‎（I）证明数列{an} 是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎（II）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏大学附中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知a＜b＜0，则（　　）‎ A．a2＜ab B．ab＜b2 C．a2＜b2 D．a2＞b2‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】利用排除法，当a=﹣2，b=﹣1，则A，B，C不成立，根据基本不等式的性质即可判断D．‎ ‎【解答】解：∵a＜b＜0，‎ 当a=﹣2，b=﹣1，则A，B，C不成立，‎ 根据基本性质可得a2＞b2，‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．等比数列{an}中，a4=4，则a2•a6等于（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ ‎【考点】等比数列．‎ ‎【分析】由a4=4是a2、a6的等比中项，求得a2•a6‎ ‎【解答】解：a2•a6=a42=16‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a3+a9=6，则S11=（　　）‎ A．12 B．33 C．66 D．99‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列通项公式的性质及其求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a3+a9=6=a1+a11，‎ 则S11==11×=33．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，BC=2，B=，当△ABC的面积等于时，c=（　　）‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知及三角形面积公式即可解得c的值．‎ ‎【解答】解：∵BC=2，B=，‎ ‎△ABC的面积=BC×AB×sinB=2×AB×，‎ ‎∴解得：AB=1，‎ ‎∴c=AB=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎5．若关于x的方程x2+mx+=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断；二次函数的性质．‎ ‎【分析】利用一元二次方程根的判别式很容易求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵x的方程x2+mx+=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=m2﹣4×=m2﹣1＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，‎ ‎∴实数m的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知△ABC中，A=30°，C=105°，b=8，a等于（　　）‎ A．4 B．4 C．4 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理和题设中一边和两个角的值求得a．‎ ‎【解答】解：∵A=30°，C=105°‎ ‎∴B=45°‎ ‎∵由正弦定理可知 ‎∴a===4，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣3 B． C．5 D．6‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，‎ 其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）‎ 设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，‎ 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值=F（2，﹣1）=5‎ 故选：C ‎　‎ ‎8．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2，再结合余弦定理作出判断即可．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C，‎ 由正弦定理===2R得，‎ a2+b2＜c2，‎ 又由余弦定理得：cosC=＜0，0＜C＜π，‎ ‎∴＜C＜π．‎ 故△ABC为钝角三角形．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．已知等差数列{an}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】先利用等差数列的通项公式，用a1和d分别表示出等差数列的第5、9、15项，进而利用等比数列的性质建立等式，求得a1和d的关系，进而再利用等差数列的通项公式化简，将求出的a1和d的关系代入，合并约分后即可求出所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵a5，a9，a15成等比数列，‎ ‎∴a92=a5•a15，即（a1+8d）2=（a1+4d）（a1+14d），‎ 整理得：2a1d=8d2，‎ 由d≠0，解得：4d=a1，‎ ‎∴===．‎ 故选A ‎　‎ ‎10．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（　　）‎ A．9 B．10 C．12 D．13‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】巧用1，将已知等式与x+y相乘，得到基本不等式的形式，利用基本不等式求最小值．‎ ‎【解答】解：由已知x＞0，y＞0， +=1，‎ 所以x+y=（+）（x+y）=5+≥5+2=9；‎ 当且仅当即x=3，y=6时等号成立；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求 ‎【解答】解：∵3an+1+an=0‎ ‎∴‎ ‎∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列 ‎∵‎ ‎∴a1=4‎ 由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）‎ 故选C ‎　‎ ‎12．若不等式（x﹣a）⊗（x+a）=（1﹣x+a）（1+x+a）=（1+a）2﹣x2＜1对任意实数x成立，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．0＜a＜2 D．﹣＜α＜‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】由已知得（1+a）2＜1+x2对任意实数x成立，从而得到（1+a）2＜1，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵不等式（x﹣a）⊗（x+a）=（1﹣x+a）（1+x+a）=（1+a）2﹣x2＜1对任意实数x成立，‎ ‎∴（1+a）2＜1+x2对任意实数x成立，‎ ‎∴（1+a）2＜1，‎ ‎∴﹣2＜a＜0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．在△ABC中，b=3，c=5，cosA=﹣，则a=　7　．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，b=3，c=5，cosA=﹣，‎ ‎∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+25﹣2•3•5•（﹣）=49，‎ ‎∴a=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖　4n+2　块 ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．‎ ‎【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…‎ 设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{an}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…‎ 可知数列{an}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴an=6+4（n﹣1）=4n+2．‎ 故答案为4n+2．‎ ‎　‎ ‎15．不等式（x﹣2）2≤2x+11的解集为　[﹣1，7]　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】将不等式展开，利用一元二次不等式的 解法解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵（x﹣2）2≤2x+11，‎ ‎∴x2﹣6x﹣7≤0，‎ 即（x﹣7）（x+1）≤0，‎ 解得﹣1≤x≤7，‎ ‎∴不等式的解集为[﹣1，7]．‎ 故答案为：[﹣1，7]‎ ‎　‎ ‎16．已知变数x，y满足约束条件，目标函数z=x+ay（a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域，‎ 当a=0时，z=x，即x=z，此时不成立．‎ 由z=x+ay得y=﹣x+，‎ 要使目标函数z=x+ay（a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，‎ 则阴影部分区域在直线y=﹣x+的下方，‎ 即目标函数的斜率k=﹣，满足k＞kAC，‎ 即﹣＞﹣3，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a＞，‎ 即a的取值范围为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；‎ ‎（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．‎ ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d 由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，‎ 从而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；‎ ‎（II）由（I）可知an=3﹣2n，‎ 所以Sn==2n﹣n2，‎ 进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，‎ 即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，‎ 又k∈N+，故k=7为所求．‎ ‎　‎ ‎18．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．‎ ‎【考点】一元二次不等式与一元二次方程；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由二次不等式的解集形式，判断出，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值．‎ ‎（2）由（1）我们易得a的值，代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．‎ ‎【解答】解：（1）∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，‎ ‎∴a＜0，，2是ax2+5x﹣2=0的两根 解得 a=﹣2；‎ ‎（2）则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为 ‎﹣2x2﹣5x+3＞0‎ 解得 ‎ 故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．‎ ‎　‎ ‎19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA ‎（1）确定角C的大小；‎ ‎（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．‎ ‎（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵=2csinA ‎∴正弦定理得，‎ ‎∵A锐角，‎ ‎∴sinA＞0，‎ ‎∴，‎ 又∵C锐角，‎ ‎∴‎ ‎（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC 即7=a2+b2﹣ab，‎ 又由△ABC的面积得．‎ 即ab=6，‎ ‎∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25‎ 由于a+b为正，所以a+b=5．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=anxn（x∈R），求数列{bn}前n项和的公式．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）本题是一个数列的基本量的运算，根据题目所给的首项和前连续三项的值，写出关于公差的方程，解方程可得结果．‎ ‎（2）构造一个新数列，观察这个数列是有一个等差数列和一个等比数列的积构成的，这种结构要用错位相减法求的结果，解题时注意等比数列的公比与1的关系，进行讨论．‎ ‎【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，‎ 则a1+a2+a3=3a1+3d=12．‎ 又a1=2，得d=2．‎ ‎∴an=2n．‎ ‎（2）当x=0时，bn=0，Sn=0，‎ 当x≠0时，令Sn=b1+b2+…+bn，‎ 则由bn=anxn=2nxn，得 Sn=2x+4x2++（2n﹣2）xn﹣1+2nxn，①‎ xSn=2x2+4x3++（2n﹣2）xn+2nxn+1．②‎ 当x≠1时，①式减去②式，得 ‎（1﹣x）Sn=2（x+x2++xn）﹣2nxn+1‎ ‎=﹣2nxn+1．‎ ‎∴Sn=﹣．‎ 当x=1时，Sn=2+4++2n=n（n+1）．‎ 综上可得，当x=1时，Sn=n（n+1）；‎ 当x≠1时，Sn=﹣．‎ ‎　‎ ‎21．如图所示，现有A，B，C，D四个海岛，已知B在A的正北方向15海里处，C在A的东偏北30°方向，又在D的东偏北45°方向，且B，C相距21海里，求C，D两岛间的距离．‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】根据题意，设A、C两岛相距x海里，△ABC中由余弦定理列出关于x的二次方程，解之得到x=24，然后求出∠ADC=135°，在△ADC中由正弦定理列式得，即可解出CD=12，可得C、D两岛间的距离．‎ ‎【解答】解：设A、C两岛相距x海里，‎ ‎∵C在A的东偏北30°方向，∴∠BAC=60°，‎ 在△ABC中，由余弦定理得 ‎212=152+x2﹣2×15x×cos60°，‎ 化简得x2﹣15x﹣216=0，解得x=24或﹣9（舍去负值）…‎ ‎∵C在D的东偏北30°方向，∴∠ADC=135°，‎ 在△ADC中，由正弦定理得，‎ ‎∴CD===12‎ 即得C、D两岛间的距离为12海里．…‎ ‎　‎ ‎22．数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1﹣an n∈N*‎ ‎（I）证明数列{an} 是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎（II）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由an+2=2an+1﹣an（ n∈N*），变形为an+2﹣an+1=an+1﹣an，可知{an}为等差数列，由已知利用通项公式即可得出．‎ ‎（2）令an=10﹣2n≥0，解得n≤5．令Tn=a1+a2+…+an=9n﹣n2．可得当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Tn，n≥6时，Sn=a1+a2+…+a5﹣a6﹣a7…﹣an=T5﹣（Tn﹣T5）=2T5﹣Tn即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵an+2=2an+1﹣an（ n∈N*）‎ ‎∴an+2﹣an+1=an+1﹣an，‎ ‎∴{an}为等差数列，设公差为d，‎ 由a1=8，a4=2可得2=8+3d，解得d=﹣2，‎ ‎∴an=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n．‎ ‎（2）令an=10﹣2n≥0，解得n≤5．‎ 令Tn=a1+a2+…+an==9n﹣n2．‎ ‎∴当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Tn=9n﹣n2，‎ n≥6时，Sn=a1+a2+…+a5﹣a6﹣a7…﹣an=T5﹣（Tn﹣T5）=2T5﹣Tn=n2﹣9n+40．‎ 故Sn=．‎ ‎　‎ ‎2017年1月2日