专题4-4+新题原创强化训练+04-2017年高考数学备考优生百日闯关系列

专题4-4+新题原创强化训练+04-2017年高考数学备考优生百日闯关系列

专题四 高端试题强化训练第四关 一、选择题 ‎1．已知的外接圆半径为2，为该圆上的一点，且，则的面积的最大值为 （ ）‎ A. 3 B. 4 C. D. ‎【答案】B ‎2．在等腰直角中，，在边上且满足：，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ ，‎ 三点共线，‎ 由题意建立如图所示坐标系,设 ，‎ 则 ，‎ 直线 的方程为 x+y=1，‎ 直线 的方程为 ，‎ 故联立解得, ，‎ 故，‎ 故 , ，‎ 故，‎ 故，‎ 故故选：A.‎ ‎3．若函数的图象上存在两个点关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好由两个“友情点对”，则实数的值为（ ）‎ A. B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎4．设实数x，y满足，则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出约束条件所对应的可行域，可以求得的取值范围是，结合对勾函数的性质，可知，故选D．‎ ‎5．函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎6．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，在同一坐标系内画出的图象，由图象可知，‎ 在上，恒成立，即，当且仅当或时等号成立，，设，则等价于，即，，再设，‎ 原不等式可化为，即 ，而，，故选A.‎ ‎7. 设函数,若，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8．已知点是的中位线上任意一点，且，实数满足，设，，，的面积分别为，记，，，则取最大值时，的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由条件可知 ， ， ，那么 ，等号成立的条件为 ，说明点在线段的中点处，此时， ，所有 ， ，故选D.‎ ‎9. 已知点，，在圆上，满足（其中为坐标原点），且，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B．1 ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，即 三点共线，又，故所求的投影为.故选A．‎ ‎10. 等比数列的前项和为，则 （ ）‎ A. -3 B. -1 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，，所以所以，故选A．‎ ‎11. 已知不等式组表示的平面区域为，点集，是在上取得最大值或最小值的点，则中的点的纵坐标之和为（ ）‎ A. B. C. D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线分别经过点和直线上的点时，动直线在轴上的截距最大，这时所有坐标之和为，应选答案D。‎ ‎12. 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的， ∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为，∴没有水的部分的体积是 ，设其棱长为，则，∴，设小球的半径为，则，∴‎ ，∴球的表面积，故选C.‎ 二、填空题 ‎13．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题“存在”的否定是：“任意”，等价于或，由得，，且在上的最小值为，所以，由得，，且在上的最大值为，所以所以，综上所述，或，它的否定是，所以实数的取值范围是．‎ ‎14．已知数列，记数列{}的前项和为 ，若对任意的∈N* ，恒成立，则实数 k 的取值范围 ．‎ ‎【答案】‎ ‎15．在平面直角坐标系中，设是圆:上不同三点，若存在正实数，使得，则的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，，设夹角为，对两边平方，整理得，可得到 ‎，以为横坐标,为纵坐标,表示出满足上面条件的平面区域．如图阴影部分所示，则，‎ 它表示点到点的距离的平方及点与点连线斜率的和，由可行域可知当点位于点时取到最小值2，但由题意为正实数，故的取值范围为 ‎16. 已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重 合的动点.是圆的一条直径，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，点是线段上, ，故选A.‎ 三、解答题 17．数列的前项和满足，且，，成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，①当时，，②‎ 由①-②得，即.‎ 由，，成等差数列，得，即，解得.故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.‎ ‎（Ⅱ），，则.‎ ，所以数列的前项和 .‎ ‎18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.‎ ‎（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关；‎ 平均车数超过 人数 平均车速不超过 人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 ‎（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.150‎ ‎0．100‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）‎ 平均车数超过 人数 平均车速不超过 人数 合计 男性驾驶员人数 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 女性驾驶员人数 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 合计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎……2分 ， ‎ 所以有的把握认为平均车速超过与性别有关. ‎ 分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ . ‎ 或.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，平面．‎ ‎（1）在线段上确定一点，使得平面平面，并说明理由；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求二面角的余弦值．‎ ‎（2）分别以所在的直线为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 其中轴，易得平面，所以，‎ 所以是二面角的平面角，大小为，所以， ‎ 设，则，‎ 所以，‎ 所以， ‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 令，则，所以， ‎ 因为平面，所以是平面的一个法向量，‎ 设二面角的大小为，由图可知为锐角，‎ 则．‎ ‎20.已知是直线：上的动点，点的坐标是，过的直线与垂直，并且与线段的垂直平分线相交于点．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设曲线上的动点关于轴的对称点为，点的坐标为，直线与曲线的另一个交点为（与不重合）．直线，垂足为．是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）依题意，，即曲线为抛物线，其焦点为，准线方程为：．‎ ‎∴曲线的方程为．‎ ‎（2）设，则，‎ 直线的斜率为，直线的方程为．‎ 由方程组得．‎ 设，则，，，所以，‎ 又，所以的方程为．‎ 令，得．即直线与轴交于定点．‎ 为直角三角形，并且，所以，即存在定点，使得为定值．‎ 则就是点．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，试求函数图像过点的切线方程；‎ ‎（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）当时，有.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴过点的切线方程为：，‎ 即.‎ ‎（2）当时，有，其定义域为：，‎ 从而方程可化为：，‎ 令，则，‎ 由或；.‎ ‎∴在和上单调递增，在上单调递减，‎ 且，‎ 又当时，；当时，.‎ ‎∵关于的方程有唯一实数解，‎ ‎∴实数的取值范围是：或.‎ ‎∴，当时恒成立，‎ ‎∴函数在上单调递减，∴，‎ 故实数的取值范围是：.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （ 为参数， ）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得，‎ 化成直角坐标方程，得，即直线的方程为. ‎ 依题意，设，则 到直线的距离 ，‎ 当，即时，.‎ 故点到直线 的距离的最小值为.‎ ‎（Ⅱ）曲线上的所有点均在直线的右下方，‎ 对，有恒成立，‎ 即（其中）恒成立，‎ ，又，解得，‎