【数学】2018届一轮复习人教A版不等式与线性规划讲学案文
专题05 不等式与线性规划
与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．
备考时，应切实文解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．
1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1和x2(x1
0(a>0)的解为{x|x>x2，或x0)的解为{x|x10(a≠0)恒成立的条件是
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
2．(1)ab≤2(a，b∈R)；
(2) ≥≥≥(a>0，b>0)；
(3)不等关系的倒数性质
⇒<；
(4)真分数的变化性质
若00，则<；
(5)形如y＝ax＋(a>0，b>0)，x∈(0，＋∞)取最小值时，ax＝⇒x＝，即“对号函数”单调变化的分界点；
(6)a>0，b>0，若a＋b＝P，当且仅当a＝b时，ab的最大值为2；若ab＝S，当且仅当a＝b时，a＋b的最小值为2.
3．不等式y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的区域；yx，即得不等式的解集．
设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x>0时，由x2－4x>x得x>5；
看出当f(x)>x时，x∈(5，＋∞)及(－5,0)．
考点二 基本不等式及应用
例2、【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【变式探究】(1)设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组无解，则a＋b的取值范围是________．
【答案】(2，＋∞)
【解析】通解：依题意，由ax＋y＝1得y＝1－ax，代入x＋by＝1得x＋b(1－ax)＝1，即(1－ab)x＝1－b.由原方程组无解得，关于x的方程(1－ab)x＝1－b无解，因此1－ab＝0且1－b≠0，即ab＝1且b≠1.
又a＞0，b＞0，a≠b，ab＝1，因此a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
优解：由题意，关于x，y的方程组无解，则直线ax＋y＝1与x＋by＝1平行且不重合，从而可得ab＝1，且a≠b.
又a＞0，b＞0，故a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
(2)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】通解：因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
优解：如图a，b分别是直线＋＝1在x，y轴上的截距，A(a,0)，B(0，b)，当a→1时，b→＋∞，当b→1时，a→＋∞，只有点(1,1)为AB的中点时，a＋b最小，此时a＝2，b＝2，∴a＋b＝4.
【方法技巧】
1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．
2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题．
【变式探究】已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞) ，则a的值是( )
A. B.
C．1 D．2
考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
例3、【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线,可知当其经过直线与的交点时, 取得最大值，为
,故选D.
【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
【答案】216 000
(2)(2016·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
【答案】－5
【解析】通解：作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观
【方法技巧】求目标函数的最值的方法
1．几何意义法
(1)常见的目标函数
①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
③斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
(2)目标函数z＝xy的几何意义
①由已知得y＝，故可理解为反比例函数y＝的图象，最值需根据该函数图象与可行域有公共点时进行判断．
②设P(x，y)，则|xy|表示以线段OP(O为坐标原点)为对角线的矩形面积．
2．界点定值法，利用可行域所对应图形的边界顶点求最值．
【变式探究】设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
【解析】通解：选B.二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处，z取得最小值，
1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．
2.【2017课标II，文7】设满足约束条件 ,则的最小值是
A. B. C. D
【答案】A
3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]
【答案】B
【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.
4.【2017北京，文4】若满足则的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值
，故选D.
5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
6.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
2.【2016高考天津文数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
3.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
4.【2016高考浙江文数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
5.【2016年高考北京文数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
6.【2016年高考四川文数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
7.【2016高考新课标3文数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.
【答案】
8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为
1.【2015高考北京，文2】若，满足则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
2．【2015高考广东，文6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=，
故选：B．
3.【2015高考天津，文2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
4.【2015高考陕西，文10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
【答案】D
5.【2015高考福建，文5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
6.【2015高考山东，文6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.
7.【2015高考新课标1，文15】若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
8.【2015高考浙江，文14】若实数满足，则的最小值是 ．
【答案】.
9．【2015高考新课标2，文14】若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
【答案】
【考点定位】线性规划．
10.【2015高考湖南，文4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A.
【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.
11.【2015高考四川，文9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
12.【2015高考陕西，文9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．
1. 【2014高考安徽卷文第5题】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
A, B. C.2或1 D.
【答案】D
【考点定位】线性规划
2. 【2014高考北京版文第6题】若、满足，且的最小值为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】若，没有最小值，不合题意；
【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值
3. 【2014高考福建卷第11题】若变量满足约束条件则的最小值为________.
【答案】1
【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.
【考点定位】线性规划.
4. 【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.
【答案】88
【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.
【考点定位】函数的最值.
5. 【2014高考广东卷文第3题】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
上的截距最大，此时取最大值，即；
当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即
.
因此，，故选C.
【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值
6. 【2014高考湖南卷第14题】若变量满足约束条件，且的最小值为，则.
【答案】
【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,且不等式组限制的区域如图,所以,则当为最优解时,,
当为最优解时,, 因为,所以,故填.
【考点定位】线性规划
7. 【2014辽宁高考文第16题】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .
【答案】
当时，，
综上可知当时，
【考点定位】柯西不等式.
8. 【2014全国1高考文第9题】不等式组的解集为D,有下面四个命题：
， ，
，
其中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词．
10. 【2014山东高考文第5题】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选.
【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.
11. 【2014山东高考文第9题】 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A.5 B.4 C. D.2
【答案】
【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直
【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.
12. 【2014四川高考文第4题】若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，又.选D
【考点定位】不等式的基本性质.
13. 【2014四川高考文第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【考点定位】程序框图与线性规划.
14. 【2014浙江高考文第13题】当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，，且在点取得最小值在取得最大值，故，，故取值范围为．
【考点定位】线性规划.
15. 【2014天津高考文第2题】设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【答案】B．
【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线经过点时，，故选B．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线性目标函数的最值问题．
16. 【2014大纲高考文第14题】设满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】5.
【解析】画出二元一次不等式组表示的平面区域（图4阴影部分）．，把平移可知当直线过点时，取最大值：．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算．
17. 【2014高考上海文科】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】，当且仅当时等号成立.
【考点定位】基本不等式.
18.【2014高考安徽卷第21题】设实数，整数， .
（1）证明：当且时，；
（2）数列满足，，证明：.
【答案】（1）证明：当且时，；（2）.
【解析】
综上所述，.
证法2：设，则，并且
.
由此可得，在上单调递增，因而，当时，.
①当时，由，即可知
，并且，从而.
故当时，不等式成立.
②假设时，不等式成立，则当时，，即有.
所以当时，原不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式.
