2013高考数学冲刺(答题技巧)
2013 高考数学选择题答题秘诀
（一）数学选择题的解题方法
1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再
与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。
例 1、某人射击一次击中目标的概率为 0.6，经过 3 次射击，此人至少有 2 次击中目标
的概率为 （ ）
125
27.125
36.125
54.125
81. DCBA
解析：某人每次射中的概率为 0.6，3 次射击至少射中两次属独立重复实验。
125
27)10
6(10
4)10
6( 33
3
22
3 CC 故选 A。
例 2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α 的一条斜线 l
有且仅有一个平面与α 垂直；③异面直线 a、b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不
垂直。其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正
确的，故选 D。
例 3、已知 F1、F2 是椭圆
16
2x +
9
2y =1 的两焦点，经点 F2 的的直线交椭圆于点 A、B，
若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（ ）
A．11 B．10 C．9 D．16
解析： 由 椭 圆 的 定 义 可 得 |AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8 ， 两 式 相 加 后 将
|AB|=5=|AF2|+|BF2|代入，得|AF1|+|BF1|＝11，故选 A。
例 4、已知 log (2 )ay ax在[0，1]上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（ ）
A．（ 0，1） B．（ 1，2） C．（ 0，2） D．[2，+∞）
解析：∵a>0,∴y1=2-ax 是减函数，∵ 在[0，1]上是减函数。
∴a>1，且 2-a>0，∴1
tanα >cotα (
24
)，则α ∈（ ）
A．(
2
，
4
) B．（
4
，0） C．（ 0，
4
） D．（
4
，
2
）
解析：因 ，取α =－
6
π 代入 sinα >tanα >cotα ，满足条件式，则排除 A、
C、D，故选 B。
例 6、一个等差数列的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则它的前 3n 项和为（ ）
A．－24 B．84 C．72 D．36
解析：结论中不含 n，故本题结论的正确性与 n 取值无关，可对 n 取特殊值，如 n=1，
此时 a1=48,a2=S2－S1=12，a3=a1+2d= －24，所以前 3n 项和为 36，故选 D。
（2）特殊函数
例 7、如果奇函数 f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为 5，那么 f(x)在区间[－7，－3]
上是（ ）
A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5
C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5
解析：构造特殊函数 f(x)=
3
5 x，虽然满足题设条件，并易知 f(x)在区间[－7，－3]上是
增函数，且最大值为 f(-3)=-5，故选 C。
例 8、定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数，设 a+b≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－
a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正
确的不等式序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
解析：取 f(x)= －x，逐项检查可知①④正确。故选 B。
（3）特殊数列
例 9、已知等差数列{}na 满足 1 2 101 0a a a ，则有 （ ）
A、 1 101 0aa B、 2 102 0aa C、 3 99 0aa D、 51 51a
解析：取满足题意的特殊数列 0na ，则 3 99 0aa，故选 C。
（4）特殊位置
例 10、过 )0(2 aaxy 的焦点 F 作直线交抛物线与 Q、P 两点，若 PF 与 FQ 的
长分别是 q、p ，则 qp
11 （ ）
A、 a2 B、
a2
1 C、 a4 D、
a
4
解析：考虑特殊位置 PQ⊥OP 时， 1| | | | 2PF FQ a，所以 112 2 4a a apq ，
故选 C。
例11、向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深 h 的函数关系的图
象如右图所示，那么水瓶的形状是 ( )
解析：取
2
Hh ，由图象可知，此时注水量 大于容器容积的 1
2
，故选B。
（5）特殊点
例 12、设函数 ( ) 2 ( 0)f x x x ，则其反函数 )(1 xf 的图像是 （ ）
A、 B、 C、 D、
解析：由函数 ( ) 2 ( 0)f x x x ，可令 x=0，得 y=2；令 x=4，得 y=4，则特殊点
(2,0)及(4,4)都应在反函数 f－1(x)的图像上，观察得 A、C。又因反函数 f－1(x)的定义域为
{ | 2}xx ，故选 C。
（6）特殊方程
例 13、双曲线 b2x2－a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α ，离心率为 e,则 cos
2
等于（ ）
A．e B．e2 C．
e
1 D． 2
1
e
解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。
取双曲线方程为
4
2x －
1
2y =1，易得离心率 e=
2
5 ,cos =
5
2 ，故选 C。
（7）特殊模型
例 14、如果实数 x,y 满足等式(x－2)2+y2=3，那么
x
y 的最大值是（ ）
A．
2
1 B．
3
3 C．
2
3 D． 3
解析：题中
x
y 可写成
0
0
x
y 。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式 k=
12
12
xx
yy
，
可将问题看成圆(x－2)2+y2=3 上的点与坐标原点 O 连线的斜率的最大值，即得 D。
3、图解法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不
等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几
性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结
合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用
数形结合思想解决，既简捷又迅速。
例 15、已知α 、β 都是第二象限角，且 cosα >cosβ ，则（ ）
A．α <β B．sinα >sinβ
C．tanα >tanβ D．cotα cosβ 找出α 、
β 的终边位置关系，再作出判断，得 B。
例 16、已知 a 、b 均为单位向量，它们的夹角为
60°，那么｜ ＋3 |= （ ）
A． 7 B． 10 C． 13 D．4
解析：如图， ＋3 ＝ OB ，在 OAB 中，
| | 1,| | 3, 120 ,OA AB OAB 由余弦定理得｜ ＋3 |=｜ ｜＝ ，故选 C。
O
A B
a
3b
b
＋3
例 17、已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：等差数列的前 n 项和 Sn=
2
d n2+(a1-
2
d )n 可表示
为过原点的抛物线，又本题中 a1=-9<0, S3=S7,可表示如图，
由图可知，n= 52
73 ,是抛物线的对称轴，所以 n=5 是抛
物线的对称轴，所以 n=5 时 Sn 最小，故选 B。
4、验证法：就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足
题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时，若能据题
意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。
例 18、计算机常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0—9 和字母 A—F 共
16 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如：用十六进制表示 E+D=1B，则 A×B= （ ）
A.6E B.72 C.5F D.BO
解析：采用代入检验法，A×B 用十进制数表示为 1×11=110,而
6E 用十进制数表示为 6×16＋14=110；72 用十进制数表示为 7×16＋2=114
5F 用十进制数表示为 5×16＋15=105；B0 用十进制数表示为 11×16＋0=176，故选 A。
例 19、方程 lg 3xx的解 0x ( )
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）
解析：若 (0,1)x ，则 lg 0x ，则 lg 1xx；若 (1,2)x ，则0 lg 1x，则
1 lg 3xx ；若 (2,3)x ，则 ，则 2 lg 4xx ；若 3,lg 0xx,则
lg 3xx，故选 C。
5、筛选法（也叫排除法、淘汰法）：就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只
有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、
推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获
得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案
正确。
例 20、若 x 为三角形中的最小内角，则函数 y=sinx+cosx 的值域是（ ）
A．（ 1， 2 ] B．（ 0，
2
3 C．[
2
1 ，
2
2 ] D．（ ，
解析：因 x 为三角形中的最小内角，故 (0, ]3x ，由此可得 y=sinx+cosx>1，排除
B,C,D，故应选 A。
例 21、原市话资费为每 3 分钟 0.18 元，现调整为前 3 分钟资费为 0.22 元，超过 3 分
钟的，每分钟按 0.11 元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（ ）
A．不会提高 70% B．会高于 70%，但不会高于 90%
C．不会低于 10% D．高于 30%，但低于 100%
3 5 7
O n
nS
解析：取 x＝4，y＝0.33 - 0.36
0.36 ·100%≈－8.3%，排除 C、D；取 x＝30，y ＝
3.19 - 1.8
1.8 ·100%≈77.2%，排除 A，故选 B。
例 22、给定四条曲线：①
2
522 yx ，② 149
22
yx ，③ 14
2
2 yx ，④ 14
2
2
yx ,
其中与直线 05 yx 仅有一个交点的曲线是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
解析：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符
合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直
线和曲线 是相交的，因为直线上的点 )0,5( 在椭圆内，对照选项故选 D。
6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析
和加工后而作出判断和选择的方法。
（1）特征分析法——根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，
进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。
例 23、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线
表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单位时
间内可以通过的最大信息量，现从结点 A 向结点 B 传送信
息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内
传递的最大信息量为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
解析：题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支
要以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为 3+4+6+6=19，故选 D。
例 24、设球的半径为 R, P、Q 是球面上北纬 600 圈上的两点，这两点在纬度圈上的
劣弧的长是
2
R ，则这两点的球面距离是 （ ）
A、 R3 B、
2
2 R C、
3
R D、
2
R
解析：因纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除 A、B、D，故选 C。
例 25、已知 )2(5
24cos,5
3sin
m
m
m
m ，则
2tan 等于 （ ）
A、
m
m
9
3 B、 |9
3| m
m
C、
3
1 D、5
解析：由于受条件 sin2θ +cos2θ =1 的制约，故 m 为一确定的值，于是 sinθ ,cosθ 的
值应与 m 的值无关，进而推知 tan
2
的值与 m 无关，又
2
<θ <π ，
4
< < ,∴tan >1，
故选 D。
（2）逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，
选出正确支的方法，称为逻辑分析法。
例 26、设 a,b 是满足 ab<0 的实数，那么 （ ）
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b| C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－b|<|a|+|b|
解析：∵A，B 是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支 C，D。又由 ab<0，
可令 a=1,b= －1，代入知 B 为真，故选 B。
例 27、 ABC 的三边 ,,abc满足等式 cos cos cosa A b B c C，则此三角形必是（）
A、以 a 为斜边的直角三角形 B、以b 为斜边的直角三角形
C、等边三角形 D、其它三角形
解析：在题设条件中的等式是关于 ,aA与 ,bB的对称式，因此选项在 A、B 为等价命
题都被淘汰，若选项 C 正确，则有 1 1 1
2 2 2，即 11 2 ，从而 C 被淘汰，故选 D。
7、估算法：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数
值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。
例 28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03 年某地区农民人均收入为
3150 元（其中工资源共享性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元），预计该地区自 04 年起
的 5 年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加 160
元。根据以上数据，08 年该地区人均收入介于 （ ）
（A）4200 元~4400 元 （B）4400 元~4460 元
（C）4460 元~4800 元 （D）4800 元~5000 元
解析：08 年农民工次性人均收入为： 5 1 2 2
551800(1 0.06) 1800(1 0.06 0.06CC
1800(1 0.3 0.036) 1800 1.336 2405
又 08 年农民其它人均收入为 1350+160 5 =2150
故 08 年农民人均总收入约为 2405+2150=4555（元）。故选 B。
说明：1、解选择题的方法很多，上面仅列举了几种常用的方法，这里由于限于篇幅，
其它方法不再一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结
合起来进行解题，会使题目求解过程简单化。
2、对于选择题一定要小题小做，小题巧做，切忌小题大做。“不择手段，多快好省”
是解选择题的基本宗旨。
（二）选择题的几种特色运算
1、借助结论——速算
例 29、棱长都为 2 的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A、 3 B、 4 C、 33 D、 6
解析：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）
若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半
径
2
3R ，从而求出球的表面积为 3 ，故选 A。
2、借用选项——验算
例30、若 ,xy满足
,0,0
,2432
,3692
,123
yx
yx
yx
yx
，则使得 yxz 23 的值最小的 ),( yx 是 （ ）
A、（ 4.5，3） B、（ 3，6） C、（ 9，2） D、（ 6，4）
解析：把各选项分别代入条件验算，易知 B 项满足条件，且 的值最小，
故选 B。
3、极限思想——不算
例 31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为 ，侧面与底面所成的二面角的
平面角为 ，则 2coscos2 的值是 （ ）
A、1 B、2 C、－1 D、 3
2
解析：当正四棱锥的高无限增大时， 90,90 ，则
.1180cos90cos22coscos2 故选 C。
4、平几辅助——巧算
例 32、在坐标平面内，与点 A（1，2）距离为 1，且与点 B（3，1）距离为 2 的直线
共有 （ ）
A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条
解析：选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方程。以 A
（1，2）为圆心，1 为半径作圆 A，以 B（3，1）为圆心，2 为半径作圆 B。由平面几何知
识易知，满足题意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置关系是相交，只有两条公切线。
故选 B。
5、活用定义——活算
例 33、若椭圆经过原点，且焦点 F1（1，0）， F2（3，0），则其离心率为 （ ）
A、
4
3 B、
3
2 C、
2
1 D、
4
1
解析：利用椭圆的定义可得 ,22,42 ca 故离心率 .2
1 a
ce 故选 C。
6、整体思想——设而不算
例 34、若 4
4
3
3
2
210
4)32( xaxaxaxaax ，则 2
024()a a a 2
13()aa
的值为 （ ）
A、1 B、-1 C、0 D、2
解析：二 项 式 中 含 有 3 ， 似 乎 增 加 了 计 算 量 和 难 度 ， 但 如 果 设
4
43210 )32( aaaaaa ， 4
43210 )32( baaaaa ，则待求
式子 1)]32)(32[( 4 ab 。故选 A。
7、大胆取舍——估算
例 35、如图，在多面体 ABCDFE 中，已知面 ABCD 是边长
为 3 的正方形，EF∥AB，EF=
2
3 ，EF 与面 ABCD 的距离为 2，
则该多面体的体积为 （ ）
A、
2
9 B、5 C、6 D、
2
15
解析：依题意可计算 62333
1
3
1 hSV ABCDABCDE ，而 ABCDEF E ABCDVV ＝
6，故选 D。
8、发现隐含——少算
例 36、 122
2
2 yxkxy 与 交于 A、B 两点，且 3 OBOA kk ，则直线 AB 的
方程为 （ ）
A、 0432 yx B、 0432 yx
C、 0423 yx D、 0423 yx
解析：解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线 AB 的方程就是 2 kxy ，它
过定点（0，2），只有 C 项满足。故选 C。
9、利用常识——避免计算
例 37、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收。
某人在 2001 年 9 月存入人民币 1 万元，存期一年，年利率为 2.25%，到期时净得本金和利
息共计 10180 元，则利息税的税率是 （ ）
A、8% B、20% C、32% D、80%
解析：生活常识告诉我们利息税的税率是 20%。故选 B。
（三）选择题中的隐含信息之挖掘
1、挖掘“词眼”
例 38、过曲线 33: xxyS 上一点 )2,2( A 的切线方程为（ ）
A、 2y B、 2y
C、 0169 yx D、 20169 yyx 或
错解： 9)2(,33)( /2/ fxxf ，从而以 A 点为切点的切线的斜率为–9，即
所求切线方程为 .0169 yx 故选 C。
剖析：上述错误在于把“过点 A 的切线”当成了“在点 A 处的切线”，事实上当点 A
为切点时，所求的切线方程为 0169 yx ，而当 A 点不是切点时，所求的切线方程为
.2y 故选 D。
2、挖掘背景
例 39、已知 RaRx , ，a 为常数，且
)(1
)(1)( xf
xfaxf
，则函数 )(xf 必有一
周期为 （ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：由于
x
xx tan1
tan1)4tan(
，从而函数 )(xf 的一个背景为正切函数 tanx，取
4
a ，可得必有一周期为 4 。故选 C。
3、挖掘范围
例 40 、 设 tan 、 tan 是方程 04333 xx 的 两 根 ， 且
)2,2(),2,2( ，则 的值为 （ ）
A、
3
2 B、
3
C、
3
2
3
或 D、
3
2
3
或
错解：易得 ),(),2,2(),2,2(,3)tan( 又 ，从
而 .3
2
3
或 故选 C。
剖析：事实上，上述解法是错误的，它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知
0tan,0tan,0tantan,0tantan 且故 . 从而
)0,2(),0,2( ，故 .3
2 故选 A。
4、挖掘伪装
例 41、若函数 2( ) log ( 3)( 0 1)af x x ax a a 且 ，满足对任意的 1x 、 2x ，当
221
axx 时， 0)()( 21 xfxf ，则实数 a 的取值范围为（ ）
A、 )3,1()1,0( B、 )3,1(
C、 )32,1()1,0( D、 )32,1(
分析：“对任意的 x1、x2，当
221
axx 时， 0)()( 21 xfxf ”实质上就是“函
数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“ )(xf 有意义”。事实上由于 3)( 2 axxxg
在
2
ax 时递减，从而
.0)2(
,1
ag
a
由此得 a 的取值范围为 )32,1( 。故选 D。
5、挖掘特殊化
例 42、不等式 32
12
2
12
xx CC 的解集是（ ）
A、 B、 }3{ 的正整数大于 C、{4，5，6} D、{4，4.5，5，5.5，6}
分析：四个选项中只有答案 D 含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将 x
值取 4.5 代入验证，不等式成立，这说明正确选项正是 D，而无需繁琐地解不等式。
6、挖掘修饰语
例 43、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派 3 名代表，校际
间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事
迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（ ）
A、72 种 B、36 种 C、144 种 D、108 种
分析：去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站
成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为 种722 3
3
3
3 AA 。故选 A。
7、挖掘思想
例 44、方程
xxx 22 2 的正根个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
分析：本题学生很容易去分母得 22 32 xx ，然后解方程，不易实现目标。
事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出
xyxxy 2,2 2 的图象，容易发现
在第一象限没有交点。故选 A。
8、挖掘数据
例 45、定义函数 Dxxfy ),( ，若存在常数 C，对任意的 Dx 1 ，存在唯一的
Dx 2 ，使得 Cxfxf
2
)()( 21 ， 则 称 函 数 )(xf 在 D 上 的 均 值 为 C 。已知
]100,10[,lg)( xxxf ，则函数 ]100,10[lg)( xxxf 在 上的均值为（ ）
A、
2
3 B、
4
3 C、
10
7 D、10
分析： Cxxxfxf
2
)lg(
2
)()( 2121 ，从而对任意的 ]100,10[1 x ，存在唯一的
]100,10[2 x ，使得 21,xx 为 常 数 。 充 分 利 用 题 中 给 出 的 常 数 10 ， 100 。令
10001001021 xx , 当 时， ]100,10[1000
1
2 xx ， 由 此 得
.2
3
2
)lg( 21 xxC 故选 A。
（四）选择题解题的常见失误
1、审题不慎
例 46、设集合 M＝｛直线｝，P＝｛圆｝，则集合 PM 中的元素的个数为 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、0 或 1 或 2
误解：因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为 0 或 1 或 2 个，所以
中的元素的个数为 0 或 1 或 2。故选 D。
剖析：本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合 M，P 就是直线与圆，从而错
用直线与圆的位置关系解题。实际上，M，P 表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们
没有公共元素。故选 A。
2、忽视隐含条件
例 47、若 x2sin 、 xsin 分别是 cossin 与 的等差中项和等比中项，则 x2cos 的值
为 （ ）
A、
8
331 B、
8
331 C、
8
331 D、
4
21
误解：依题意有 cossin2sin2 x ， ① 2sin sin cosx ②
由①2-②×2 得， 022cos2cos4 2 xx ，解得 1 33cos 2 8x 。故选 C。
剖析：本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上，由
cossinsin2 x ，得 02sin12cos x ，所以
8
331 不合题意。故选 A。
3、概念不清
例 48、已知 012:,022: 21 ymxlmyxl ，且 21 ll ，则 m 的值为（ ）
A、2 B、1 C、0 D、不存在
误解：由 21 ll ，得 .121 kk 1)2(2 m
m
，方程无解，m 不存在。故选 D。
剖析：本题的失误是由概念不清引起的，即 ，则 121 kk ，是以两直线的斜率
都存在为前提的。若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0，则两直线也垂直。当 m=0
时，显然有 ；若 0m 时，由前面的解法知 m 不存在。故选 C。
4、忽略特殊性
例 49、已知定点 A（1，1）和直线 02: yxl ，则到定点 A 的距离与到定直线l
的距离相等的点的轨迹是 （ ）
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线
误解：由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。故选 C。
剖析：本题的失误在于忽略了 A 点的特殊性，即 A 点落在直线l 上。故选 D。
5、思维定势
例 50、如图 1，在正方体 AC1 中盛
满水，E、F、G 分别为 A1B1、BB1、BC1
的中点。若三个小孔分别位于 E、F、G
三点处，则正方体中的水最多会剩下原体
积的 （ ）
A、
12
11 B、
8
7 C、
6
5 D、
24
23
误解：设平面 EFG 与平面 CDD1C1 交于 MN，则平面 EFMN 左边的体积即为所求，由
三棱柱 B1EF—C1NM 的体积为 1
8V正方体 ，故选 B。
剖析：在图 2 中的三棱锥 ABCD 中，若三个小孔 E、F、G 分别位于所在棱的中点处，
则在截面 EFG 下面的部分就是盛水最多的。本题的失误在于受图 2 的思维定势，即过三
个小孔的平面为截面时分成的两部分中，较大部分即为所求。事实上，在图 1 中，取截面
BEC1 时，小孔 F 在此截面的上方， 正方体VV BECB 12
1
11
，故选 A。
6、转化不等价
例 51、函数 )0(22 aaxxy 的值域为 （ ）
A、 ),0()0,( B、 ),[ a C、 ]0,( D、 ),[)0,[ aa
误解：要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数
x
axxf 2)(
22
1 ，
所以 0x ，故选 A。
剖析：本题的失误在于转化不等价。事实上，在求反函数时，由 22 ax•xy ，
两边平方得 222)( axxy ，这样的转化不等价，应加上条件 xy ，即
y
ayy 2
22 ，
进而解得， 0 yaay 或 ，故选 D。
2012 高考数学冲刺
4、能力考查与重点题型复习举例
（1）加强抽象概括能力的考查。
例 1.点 P 在直线 :1l y x上，若存在过 P 的直线交
抛物线 2yx 于 ,AB两点，且| | |PA AB ，则称点 P 为“A 点”，
那么下列结论中正确的是（ ）
A．直线l 上的所有点都是“A 点”
B．直线l 上仅有有限个点是“A 点”
C．直线l 上的所有点都不是“A 点”
D．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A 点”
解析：如图，如果 P 点在点 (0, 1) 时，当 PAB x 轴，
AB ，当 PAB 与抛物线相切时， 0AB ，直线 的斜
率是运动、连续、变化的， [0, )AB ，P 点是“A 点”，
一般地如果直线 上的 P 任意时，同理上述。直线 上的所
有点都是“A 点”，选 A。
例 2.已知函数 Rxxf , 满足 32 f ，且 xf 在 R
上的导数满足 01xf‘ ，则不等式 122 xxf 的解
为___________________.
解析：由 得 ( ) ( )g x f x x在 R 是 减 函 数 ， 结 合 ，得
(2) 2 1f 及 可化为， 22(2) 2f x x f 即 2 (2)g x g 得
2 2x ，解为( , 2) ( 2, )
(2).切实提高运算能力。
运算能力是高考四大能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问
题的能力）要求之一，是数学及相关学科的基本功，它与记忆、想象互相支撑和渗透。
例 3． 在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，a = 8 , b = 10,ΔABC 的面积为 20 3 ，
则△ABC 中最大角的正切值是_________.
解析：注意到同三角形中，大边对大角，两个解 53
3
或 3 。
例 4．某工厂生产某种产品，每日的成本 C(单位：元）与日产里 x(单位:吨）满足函
数关系式 C=10000+20x，每日的销售额 R(单位:元）与日产量 x 满足函数关系式
321 290 , 0 120,30
20400, 120.
x ax x xR
x
已知每日的利润 y = R－C，且当 x=30 时 y =-100.
(I)求 a 的值；
(II)当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大,并求出最大值
解：（Ⅰ）由题意可得：
321 270 10000, 0 120,30
10400 20 , 120.
x ax x x
xx
因为 x=30 时，y=－100，
所以 321100 30 30 270 30 10000.30 a
所以 a=3。
（Ⅱ）当 0＜x＜120 时， 321 3 270 10000.30y x x x
21' 6 27010y x x
由 21' 6 270 010y x x 可得： 1 90x ， 2 30x （舍）。
所以当 (0,90)x 时，原函数是增函数，当 (90,120)x 时，原函数是减函数。
所以当 x=90 时，y 取得最大值 14300。
当 x≥120 时，y=10400－20x≤8000。
所以当日产量为 90 吨时，每日的利润可以达到最大值 14300 元。
(3).空间想象能力
直观感知,强化运算。
例 5.如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，动点 E、F 在棱 11AB 上，动点 P，
Q 分别在棱 AD，CD 上，了若 EF=1， 1A E=x，DQ=y，DP＝Z（x，y，z 大于零），则四面
体 PEFQ 的体积（ ）
（A）与 x，y，z 都有关
（B）与 x 有关，与 y，z 无关
（C）与 y 有关，与 x，z 无关
（D）与 z 有关，与 x，y 无关
答案：D
四面体 PEFQ 的体积 1
3P EFQ EFQ P EFQV V S H ， EFQS 是等底 1，等高 2 ，与 x，
A B
C D
P
Q
A
1
B
1
C
1
D
1 E F
y 无关，P 点到底面 EFQ 的距离，即高 P EFQH 与 P 点位置有关，与 z 有关。
(4).实践能力和创新意识
例 6.汉诺塔问题是指有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的碟片。按下列规
则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上：
（1）每次只能移动 l 个碟片；
（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面。
如图所示，将 B 杆上所有碟片移到 A 杆上，C 杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一
根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将 B 杆子上的n 个碟片移动到 A 杆上最少需
要移动 na 次．
（1）写出 4321 ,,, aaaa 的值；
（2）求数列 na 的通项公式；
（3）设
11
11
nnn
n aaab ,数列
nb 的前 n 项和为 nS ，证明 13
2 nS
解：（Ⅰ） 11 a ， 32 a ， 73 a ， 154 a ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）推测数列 na 的通项公式为 12 n
na ．
下面用数学归纳法证明如下：
①当 1n 时，从 B 杆移到 A 杆上只有一种方法,即 ，这时 121 1 na 成立；
②假设当 1 kkn 时， 12 k
ka 成立．
则当 1 kn 时，将 B 杆上的 1k 个碟片看做由k 个碟片和最底层 1 张碟片组成的，
由假设可知，将 B 杆上的 个碟片移到 C 杆上有 种方法，再将最底层 1
张碟片移到 A 杆上有 1 种移法，最后将 C 杆上的 个碟片移到 A 杆上（此时底层有
一张最大的碟片）又有 种移动方法，故从 B 杆上的 个碟片移到 A 杆
上共有 121122121 1
1
kk
kkkk aaaa 种移动方法．
所以当 1 kn 时 成立．
由①②可知数列 的通项公式是 ．
（说明：也可由递推式 1,12,1 11
NNnaaa nn ，构造等比数列
11 2 1nnaa 求解）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知， ，
所以
111
111
nn
n
nnn
n aa
a
aaab
=
12
1
12
1
1212
1212
1212
2
11
1
1
nnnn
nn
nn
n
．
nS = nbbb 21
=
12
1
12
1
21 +
12
1
12
1
32 +…+
12
1
12
1
1nn
=
12
11 1 n ．
因为函数 12
11 1 xxf 在区间 ,1 上是增函数，
3
2
12
11 11min nS ．
又当 nN 时， 1
1 021n 1 nS ．
所以 13
2 nS ．
(5).树立信心，狠抓落实，非智力因素是学好数学的重要保证。
本质上讲：理解是数学学习的核心。理解对数学学习具有极端重要性。真正意义上的
数学学习一定要把理解放在第一位，一定要千方百计地去提高理解层次。
例 7．设椭圆 C：
22
221( 0)xy abab 的右焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交
于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o, 2AF FB .
(1)求椭圆 C 的离心率；(2)如果|AB|=15
4
，求椭圆 C 的方程.
设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，由题意知 1 0y ， 2 0y 。
(Ⅰ)直线l 的方程为 3( )y x c，其中 22c a b。
联立 22
22
3( )
1
y x c
xy
ab
得 2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b 。
解得
2
1 22
3 ( 2 )
3
b c ay ab
，
2
2 22
3 ( 2 )
3
b c ay ab
。
因为 2AF FB
uuur uur
，所以 122yy 。
即
22
2 2 2 2
3 ( 2 ) 3 ( 2 )233
b c a b c a
a b a b
。
得离心率 2
3
ce a。
（Ⅱ）因为 21
1| | 1 | |3AB y y ，所以
2
22
2 4 3 15
343
ab
ab
。
由 2
3
c
a 得 5
3ba 。所以 5 15
44a ，得 a=3， 5b 。
椭圆 C 的方程为
22
195
xy。
(6).少错=多对(数学基础的两个体系――知识体系与易错体系)
例 8．填空题：
（1）如果函数
2x
1axy
在(-2,+∞)是增函数，那么实数 a 的取值范围是_______。
解析 1：∵ 1
2
axy x
可化为
( 2) 2 1
2
a x ay x
，即 21
2
aya x
，
又在(-2,+∞)是增函数，故-2a-1<0
得 1
2a .
解析 2： 22
( 2) ( 1) 2 1' ( 2) ( 2)x
a x ax ay xx
令 y'x＞0，由于 x∈(-2，+∞)时，(x+2)2＞0
得 2a+1＞0 1
2a
解析 3：∵ y=f(x)在(-2,+∞)是增函数，
∴ f(0)＜f(1) 即： 11
23
a ， ∴ 1
2a 。
评注：
①函数的单调性是函数的最重要性质之一，解答题有：定义法和导数法；填空和选择
题还有：图像法、复合函数、单调性运算及特殊值法等。
②特殊值法在解填空题与选择题时，常常可收到事半功倍之效。
（2）已知 22-a-2＜x＜2a-2, 函数 y=3x-3-x 是奇函数，则实数 a=______。
解析：∵ f(x) 是奇函数，而函数具备奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称，
得：22-a-2=-2a-2 解得 a=2.
评注：
①函数的奇偶性首先应关注它的定义域。判定时要灵活运用定义的等价式；
()( ) ( ) 0, 1()
fxf x f x fx
等
②任何定义在对称区间上的函数 f(x)一定可以写成一个奇函数 ( ) ( )
2
f x f x与一个
偶函数 ( ) ( )
2
f x f x之和的形式。
（3）已知函数 ()fx的定义域为 R，且满足等式
)(1
)(1)2( xf
xfxf
，则 （填：
是或不是）周期函数；
解析： 1 ( )( 2) 1 ( )
fxfx fx
Q
1 ( )11 ( 2) 2 11 ( )( 4) 1 ( )1 ( 2) 2 ( ) ( )1 1 ( )
fx
fx fxfx fxf x f x f x
fx
11( 8) ( )1( 4)
()
f x f xfx
fx
∴f(x)是周期 T=8 的周期函数。
评注：
①函数的周期性是函数的整体性质。所以它的定义域至少一端趋近于∞。
②函数周期性与奇偶性在高考中是 A 层次(了解：对所学知识有初步的认识，会在有关
问题中运行识别和直接应用)，所以不会出现难度较大的题。而函数的单调性是 C 层次(掌
握：深刻的理性集训知识，形成技能，并能解决有关问题。)
（4）若曲线 y=a|x|与曲线 y=x+a 有两个不同的公共点，则 a 的取值范围是_______。
解析 1：联立 ||y a x
y x a
得 a|x|=x+a 有两个根，
∴
0x
ax x a
且
0x
ax x a
即 01
a
a
，且 01
a
a
，
解得：a>1 或 a<-1.
解析 2：数形结合，由函数 y=|x|与 y=x 分别作伸缩、对称与平移变换，
如图可知： 0
1
a
a
或
0
1
a
a
，即 a>1 或 a<-1，
评注：
①本题考查等价变换的逻辑运算或者数形结合之图象变换，解题时运用要准确熟练。
②去年开始高考能力要求由过去的“逻辑思维能力”改为“思维能力”，它包括“逻辑思维
和形象思维能力”。
例 9. 选择题：
（1）设实数 a∈[-1,3], 函数 f(x)=x2-(a+3)x+2a，当 f(x)>1 时，实数 x 的取值范围是（ ）
A、[-1,3] B、(-5,+∞) C、(-∞,-1)∪(5,+∞) D、(-∞,1)∪(5,+∞)
解析：反客为主，视 a 为变量，函数表达式为 y=(2-x)a+x2-3x, 由一次函数（或常数函
数）的图象知，只需端点 a=-1 及 a=3 时 y>1 即可。
由
2
2
( 2) 3 1 3 1
513(2 ) 3 1
x x x x x
xxx x x
或
或 ,
∴ x>5 或 x<-1, 选 C。
(2) 等差数列 na 中，若其前 n 项 的 和 n
mS n ，前 m 项 的 和
( , , )m
nS m n m n Nm
，则：( )
. 4 . 4 . 4 . 4 2m n m n m n m nA S B S C S D S
解析：用特殊值法。取 m=2,n=1，则 12
12, 2SS ，此时
2 1 3
3: 2, , 5, ; 4.52na S S
否 A,C,D,选 B
(3)已知： ,ab是正实数，则下列各式中成立的是（ ）
A、 22cos lg sin lg lg( )a b a b B、
22cos sina b a b
C、 22cos lg sin lg lg( )a b a b D、 22cos sina b a b
解析：逻辑分析，知 C、D 等价全错， ,,ab 都是变量，相等的可能性不大。
猜 A，用放缩法
2 2 2 2
22
cos lg sin lg cos lg( ) sin lg( )
lg( )(cos sin ) lg( )
a b a b a b
a b a b
选 A。
例 10.已知 ( ) 2sin 26
xfx
。
（1）若向量 3 cos ,cos , cos ,sin4 4 4 4
x x x xmn
，且 //mn，求 ()fx的值；
（2）在 ABC 中，角 CBA ,, 的对边分别是 ,,abc，且满足 2 cos cosa c B b C，
求 fA的取值范围。
解：（1） 2 3 1 1// 3 cos sin cos sin cos 04 4 4 2 2 2 2 2
x x x x xmn ，
即 1sin 2 6 2
x
，所以 ( ) 1fx 。
（2）因为 CbBca coscos2 ，则 CBBCA cossincossinsin2 ，即
2 sin cos sin cos cos sin sin( ) sin( ) sinA B B C B C B C A A
2cos ,2B则
4
πB ，
因此 3
4AC ，于是 30, 4A
，
由 2sin 26
xfx
，则 32sin , 0,2 6 4
Af A A
，
则 fA的取值范围为(1,2]。
例 11．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角
梯形（尺寸如图所示）
（1）求证：AE//平面 DCF；
（2）当 AB 的长为
2
9 ， 90CEF 时，求二面角 A—EF—C 的大小．
解：在 ,2
9, ABAHBRT 中 则 3tan BH
ABAHB ，
（1）如图，以点 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 xyzC
设 ,,, cCFbBEaAB
则 )0,,3(),0,0,3(),,0,3()0,0,0( bEBaAC
)0,,0( cF
于是 ),,0( abAE
（2）结合（1），
9(0,0,0), ( 3,0, ), ( 3,0,0), ( 3,3,0) 2C A B E ，进而求的
.60,60 的大小为所以二面角 CEFAAHB
例 12．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预
赛成绩中随机抽取 8 次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数．并说明它在乙组
数据中的含义；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位
学生参加合适?请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成
绩中高于 80 分的次数为 ，求 的分布列及数学期望. E
解：（1）茎叶图如下：
学生乙成绩中位数为 84，它是这组数据最中位位置的一个数或最中间位置的两个
数的平均数，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中。
（2）派甲参加比较合适，理由如下：
85)35124889290480270(8
1 甲x
)535353904801710(8
1 乙x =85
222222 )8585()8583()8580()8579()8578(8
1 甲S
])8595()8592()8590( 222 =35.5
222222 )8585()8583()8580()8580()8575[(8
1 乙S
])8595()8592()8590( 222 =41
22, 乙甲乙甲 SSxx
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A，
则
4
3
8
6)( AP
随机变量 的可能取值为 0，1，2，3，
且 服从 B（
4
3,3 ）
,)4
31()4
3()( 331
3
kCkP
k=0，1，2，3
的分布列为
4
9
64
27364
27264
9164
10 E
（或
4
9
4
33 npE ）
例 13．已知函数 .)1ln()( 23 axxxaxxf
（Ⅰ）若
3
2x 为 )(xf 的极值点，求实数a 的值；
（Ⅱ）若 )(xfy 在 ),1[ 上为增函数，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 1a 使，方程
x
bxxf 3)1()1( 有实根，求实数b 的取值
解：（I） axxax
axf 231)( 2
1
)]2()23(3[ 22
ax
axaax
)(3
2 xfx 为 的极值点， 0)3
2( f
013
20)2()23(3
2)3
2(3 22 aaaa 且 0a
又当 0a 时， )23()( xxxf ， 从而 )(3
2 xfx 为 的极值点成立．
（II）因为 ),1[)( 在xf 上为增函数，
所以 ),1[01
)]2()23(3[ 22
在
ax
axaxax 上恒成立．
若 ，则 ， ),1[)( 在xf 上为增函数不成产‘
若 .0101,0 axaxa 恒成立知对由
所以 ),1[0)2()23(3 22 xaxaax 对 上恒成立．
令 )2()23(3)( 22 axaaxxg ， 其对称轴为 ,2
1
3
1
ax
因为 ,3
1
2
1
3
1,0 aa 所以 从而 ),1[)( 在xg 上为增函数．
所以只要 0)1( g 即可，即 012 aa
所以
2
51
2
51 a 又因为 .2
510,0 aa 所以
III）若 1a 时，方程
x
bxxf 3)1()1(
可得
x
bxxx )1()1(ln 2
即 0ln)1()1(ln 322 xxxxxxxxxxxb 在 上有解
即求函数 32ln)( xxxxxg 的值域．
法一： )(ln 2xxxxb 令 2ln)( xxxxh
由
x
xxxxxh )1)(12(211)(
0x 0)(,10 xhx 时当 ，
从而 )1,0()( 在xh 上为增函数；当 0)(,1 xhx 时 ，从而 ),1()( 在xh 上为减函数．
)(,0)1()( xhhxh 而 可以无穷小． ]0,( 的取值范围为b
法二： 2321ln)( xxxxg xxxxxxg 126621)(
2
当 0)(,6
710 xgx 时 ，所以
6
710)( xxg 在 上递增；
当 ,0)(,6
71 xgx 时 所以
6
71)( cxg 在 上递减；
又
6
710,0)(,0)1( 00
xxgg 令 ,0)(,0 0 xgxx 时当
所以 00)( xxxg 在 上递减；当 0)(,10 xgxx 时 ，
所以 1)( 0 xxxg 在 上递增；当 1)(,0)(,0 xxgxgx 在所以时 上递减；
又当 )(, xgx 时 ，
)4
1(ln)(lnln)( 232 xxxxxxxxxxxg
当 ,04
1ln,0 xx 时 则 0)1(,0)( gxg 且 所以 ]0,(的取值范围为b
例 14．设椭圆 1C 、抛物线 2C 的焦点均在 x 轴上， 1C 的中心和 2C 的顶点均为原点，
从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 3 —2 4 2 3
y 32 0 —4
2
2 -
2
1
（1）求 12CC、 的标准方程；
（2）设直线l 与椭圆 1C 交于不同两点 ,MN、 且 0OM ON ，请问是否存在这样的
直线l 过抛物线 2C 的焦点 F ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
解：（1）设抛物线 )0(2: 2
2 ppxyC ，则有 )0(2
2
xpx
y ，据此验证 5 个点知只
有（3， 32 ）、（ 4，-4）在统一抛物线上，易求 xyC 4: 2
2 2 分
设 )0(: 2
2
2
2
2 bab
y
a
xC ，把点（-2，0）（ 2 ，
2
2 ）代入得
1
2
12
14
22
2
ba
a
解得
1
4
2
2
b
a
∴ 2C 方程为 14
2
2
yx
（2）假设存在这样的直线l 过抛物线焦点 F （1，0）
设其方程为 ,1 myx 设 ),(),,( 2211 yxNyxM ，
由 0ONOM 。得 (*)02121 yyxx
由
14
1
2
2
yx
myx
消去 x ，得 ,032)4( 22 myym △ 04816 2 m
∴
4
3,4
2
221221
myym
myy
① ;)(1)1)(1( 21
2
212121 yymyymmymyxx
4
44
4
3
4
21 2
2
2
2
2
m
m
mmm
mm ②
将①②代入（*）式，得
04
3
4
44
22
2
mm
m
解得
2
1m
假设成立，即存在直线l 过抛物线焦点 F 的l 方程为： 022 yx
